Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Термин «внутреннее» отражал неясные на том этапе какне-то внутренние свойства ча тнц. нйя для любых задач, связанных с движением частицы с полу- целым спином в поле центральных сил. Подставляя эти решения для функции Ч' в (19.14), находим, что проекция Л, полного момента количества движения принимает значения У, = Ьпт;, причем квантовое число ту равно ! (. 11 птт —— пт — —.
Для решений первого типа 1) = !+ — ), как 2' 2)' видно из (19.24), гп может изменяться в пределах от — ! (гп. = — ! — — = — )) до !+! 1гп1=! + — = )). Точно так же 2 11 согласно (19.25) для решений второго типа 1) =! — — ) число пт 2) может изменяться в пределах от — 1+ 1 (ту= — !) до (гп, = 1) '. Таким образом, наши результаты сводятся к следующему: квадрат полного момента количества движения имеет собственные значения Ч А С Т Ь П РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА характернзуюшнх состояния, в которых сохраняется орбитальный момент количества движения, мы должны использовать шаровые спиноры У~', характеризуюшне состояния, в которых сохраняется полный момент количества движения (орбитальный плюс спиновый).
Поскольку шаровые спиноры в нерелятивистском приближении составляются из шаровых функций, имеюших одно и то же значение квантового числа 1, то для радиальной части в этом случае получим то же самое уравнение, что и для нерелятнвистсьой бесспи ~овой частицы, т. е. таю).а+ (2анаЕ !(!+ !) ) )Ха дю гю (! 9.30) Таким образом, волновые функции для электрона в поле центральных сил имеют вид: а)а Ох у о! (19.31) где шаровой спинор У~" определяется выражениями (19.24) нли (!9 25).
В частности, для ротатора мы можем положить г = а = сопз(, а радиальную часть волновой функции положить равной единице Я = 1). Тогда спиновые эффекты в данном приближении не дадут каких-либо дополнительных членов для энергии рота- тора, которая будет определяться выражением, установленным для бесспиновой частицы, т. е. Лю! (1+ Ы 2жюаа (19.32) причем в последней формуле д может принимать трн значения: д=а=созб, д=х-~!у=э!пбе™ (19.34) (для простоты прил'ем радиус ротатора равным единице: а = 1). Если вместо шаровых спиноров подставить ил значения (19.24), Что касается волновой функции, то она характеризуется шаровым спинором Ую, поэтому мы должны прежде всего устано- Ф. вить правила отбора для квантовых чисел 1, пю, н 1, которые должны иметь место не только для задачи ротатора, но и для любой задачи о движении частицы в поле центральных сил, в том числе и для задачи атома водорода.
Вместо формул (см. 2 12), на основе которых были установлены правила отбора для бесспнновых частиц, теперь имеем: (а1)ью = 'За (Угюа') а)уг', аюю) (19.33) й !З. двнженне анраковского влектрона в поле центральных снл 26$ и и (19.25), то для этого матричного элемента получаем: н( =О т(у ! дг, хо~с ~ т(у ! дугин. пкза 0(сюда видно, что оба интеграла в (19.35) будут точно совпала!гь с интегралами (12.19) — (12,21). Поэтому для квантовых чисел! и гп находим такие же правила отбора, какие былиустановлены для ротатора без спина, т.
е. д! = ! — !' = ч- 1, лгп = О (д = г), Лгп = .~ 1 (д = х .+. !у). (19.35) Найдем далее правила отбора для квантовых чисел лт! и !. Поскольку т! для обоих типов решений связано с гн одним и ! тем же соотношением ш! = т — —, правила отбора для пг! и т должны быть одинаковыми, т. е. Ллт;=О, "=1. (19.37) Если при определении правил отбора для ! рассматривается случай, когда переходы совершаются между состояниями, ха- рактеризуемыми одинаковыми типами решений(! =! + — - 1= ! 2 -!+ — или ! =-! — — — )=! — — ), коэффициенты 0 и С !,, ! . !! (ш! !!'и как видно из (!9.24) и (19.25), всегда положительны, и поэтому подобные переходы разрешены. В этом случае возможное изме- нение ! должно также совпадать с изменением орбитального квантового числа 1, т.
е. Л! = б! = ч-1. В том же случае, когда переходы совершаются между со- стояниями, характеризуемыми различными типами решений ('- ' ° ! . 1 ! . ! ! !'=у+ — — 1=! — —, или ! =! — — -к!=!+ — 1, то, учитывая, 2 ч!о М = ч- 1, получаем три возможных значения для Ь! = О, +2, -2. Однако здесь следует учесть то обстоятельство, что коэффи- циенты 0" "и С" ' имеют разные знаки. Более того, оказывается. что при Ь! = =" 2 оба члена взаимно компенсирукт друг друга, благодаря чему этот переход становится запрещенным.
При д! = О эта разность не обращается в нуль, однако благодаря тому, что оба члена входят с разными знаками, интенсивность излучения становится слабее, чем при переходах между состоя- ниями, характеризуемыми одинаковыми типами решений, когда б! Итак, окончательно правила отбора для квантовых чисел, в поле центральных сил с учетогл спина, принимают вид: 51= 1, Лгп =О, (19.38) ~ ч-1 (нормальная интенсивность), Ь7= О (ослабленная интенсивность), часть М аплятнвнстская квхнтовчя меххннкх Уравнени борелятивис Дирака мы но небольшими скоростями ~ — ч" 1), то влияние магнитнг)го поля на движение электРона, связанное с проявлением спи)га, сказывается уже пРи учете членов порядка — (нерелятивнст- с ское приближение Паули), в то время как при движении в электрическом поле спиновые эффекты проявляются в членах ~сЫ второго порядка пропорциона.чьных ( — ! (слаборелятианст- 1с) скос приближение) '.
Поэтому при сравнительно небольших скоростях мы запишем уравнение Дирака в приближенной форме, учтя в нем лишь величины не выше порядка ~ — ) . Как бу- 'х с, дет показано ниже, при таком приближении особенно отчетливо вырисовывается роль как релятивистских, так и спинонгчх членов. С этой целью прежде всего представим уравнение Дирдка (18.23) в виде матричного уравнения Тогда, разбивая его на два матричных уравнения с двухрядными матрицами (см.
(18,17) и (18 11)), мы получаем нмс то одного уравнения с четырехряднымн матрицами дна уравнения с двухрядными матрицами: (Р— глас') = с(а'Р) (Е+ пгвс') = с(о'Р) (19.39) ' Нчпомннм, что в неоелятнвнстскоа влектролпнамнке Максвелла учнгы. и ваются члены первого порядка налостн —, поскольку прн налнчнн алек~рнческого н магннтного поля величина с, равная скоростн света, выражает отношение величин, н меренных а алек(рох гегнческнх н магнитных еднннпчх. релятнвнстснав влектродннамнка начннается с учетов членов второго по- рядка ( — ) . 4 тв, движение лврвковского электрона в поле пеитрвльпмк сил 271 Заметим, что последнее уравнение является по форме хотя но ой, но точной записью того же уравнения Днрака [см. (18.26)], Вообще говоря, в уравнении (19.39) компоненты волновой фу кции фс зависят от времени, т. е.
фс(г,1). Если же электриче ое и магнитное поле не зависит от времени, то мы можем пе ейти к стационарному случаю (т 1) — е-плЯ+тчсчгф (г) (19.40) н ограничиться только положительными значениями энергии Е -ь нтест > О, выделив из обшей энергии собственнчю энергию птест. Это оказывается очень удобным при исследовании движения прн сравнительно малых скоростях, когда основной вклад дают нерелятивистские члены Подставляя (19.40) в (19.39) и сокращая все члены уравнения на временной множитель е-'" ш+ ~", мы получим: (Š— еФ) = с(п'Р) (19.41) (2твст+ Š— еФ) = с(о'Р) (! 9.42) Из последнего уравнения следует: ( )-г (~ +, ) и'Р)( ) (19АЗ) (к) (.
~(т) (19.44) В отличие от П9.39) в уравнениях (19.41) и (19.43) компоненты волновой функции не должны зависеть от времени. Рассмотрим прежде всего переход от уравнения Дирака, представленного (19.41) и (!9.43), к уравнению Паули, в котором учитываются лишь члены порядка — (нерелятивистское с приближение) . ,т Принимая во внимание„что Š— еФ= — "—, мы можем 2 Š— еФ в данном приближении пренебречь величиной 2, по сравне2смст нию с единицей. Тогда из (19.43) найдем: *! А С Т Ь т!. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Отсюда видно, что при положительной энергии компоне!)Ты с М /о! 1 являются «малыми» и имеют порядок ~ — ] относителрно $4 С 1г Ф!'1 Р о ! «больших> ~ 71, поскольку — — — .
2 т,с с Подставляя (19.44) в (!9.41), мы исключим «малые» коцпоненты, а для определения «больших» получаем: (Š— еФ) = — (а'Р) (а'Р) Далее, принимая во внимание равенство- (и'а) (и'Ь) = (а Ь) + ! (и' [аЬ! ), (19.45) справедливое как в случае матриц Паули, так и в случае матриц Дирака, имеем: (и'Р)(п'Р) = Р'+ 2(п'[РР]). Подставляя сюда значение для е Р=р — — А, С находим: [Р Р! 4) = — — ( [рА] + [Ар! )тр. Учитывая, что оператор р действует на все функции, стоящие справа от него, можем написать: [РА! 4 = — [Ар] ф+ ф [рА] = — [Ар] ф+ —.
Н р, Ь где Н= го1 А — напряжеччость магнитного поля. Следовательно, [Р ],р= — — — Нф, ей .'с ' Длк отрипательнык энергий Е -» — 1Е] — оь„сэ мы найдем, что, наобо- рот, компоненты [ ] будут «маль!ми», а компоненты ( ] — «большимим [ „Ь, ] 494 ' Для того чтобы обосновать это равенство, предстгвим левую часть (19.461 в виде (а и)(о Ь)=(о,а Ва а +и а )(о Ь +отЬ„+паба), м= т г . / Учитывал, что и! =! и т. д., о!От = — а,а, = !па и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
