Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 43
Текст из файла (страница 43)
ф 19. ДВИЖЕНИЕ ДИРАКОВСКО- ГО ЭЛЕКТРОНА В ПОЛЕ ЦЕН- ТРАЛЬНЕВХ СИЛ Орбитальный, спиновый и полный моменты количества движения. Исследуем прежде всего законы сохранения момента количества движения в поле центральных сил. (г = егР(г).
(19.1) Как было показано в нерелятивистской теории Шредингера, в атом случае сохраняется орбитальный момент количества движения: 1. = (гр]. Однако в теории Дирака, где учитывается также н спин элек- трона, оператор орбитального момента количества движения не коммутнрует с гамильтонианом, т. е.
не является интегралом движения. В самом деле, представив гамильтониан в виде Н = сагР„+ савР»+ со Р, + Р,гпнсе+ Р (г), (19.2) Подставляя сюда значения для тр' из (18.39) и принимая во вни- мание, что 262 часть и велятивистскля квантовая механика мы видим, что с составляющей ' (.,= (хр„— ур„) не коммутируют два первых его члена Н1., — 1.,Н = са|Р (Р х — хР„) — са,Р„(РуУ вЂ” УРу).
(19.3) Принитлая во внимание, что л (Рлх хрх) = (РуУ Рру) = —. ° находим: Н1., — 1.,Н = — (а,ру — азр,) ~ О. сл (19. За) Вводя понятие оператора полного момента количества дви- жения (19. 4) равного сумме орбитального 1. и спинового 1 8 = -- Ье, 2 (19.4а) мы видим из равенства (19.3а) и (19.3б), что только его составляющая (в данном случае на ось г) коммутирует с гамильто. нианом, т.
е. удовлетворяет закону сохранения. Перестановочные соотношения для операторов момента. Как было показано в ф 17, составляющие оператора орбитального момента не коммутнруют между собой и подчиняются перестановочным соотношениям 1 1 у 1 у1 161 (!9.5) и т. д, (х - у - г - х ...). Поскольку оператор собственного момента (спин) пропорционален матрицам Дирака 8= — йо, 1 2 (19.6) то поэтому его составляющие также не должны коммутировать между собой. Поскольку двухрядные матрицы Паули о' и четы- Л д ' Заметим, что составляюгную ь, мо>ьно зависать в виде ь» —.—, н 1 дм лоэтому в случае центральнмл сил она иоммузнрует с но~енциальиоа энергией У1т). Для того чтобы найти закон сохранения момента для частиц, обладающих спнном, воспользуемся еше соотношением Ноз — озН = ср,р, (огиз — озо,) + + ср р, (озоз — о,оз) = — (атр, — а|ру).
(19.3б) 2с й 19. два«пенне лнраковского электрона в поле центральных снл 2аа рехрядные матрицы Дирака и подчиняются одним и тем же правилам коммутации [гм. (!6.28) и (18.13)], мы найдем для дираковского спина (19.6) такие же перестановочные соотношения, какие были установлены нами для паулевского спина (см. (16.36)], т. е. 8 8 — 8,8 = г'ЬЗ« (19.6а) и т. д. Несмотря на то что компоненты орбитального и спинового моментов являются операторами и подчиняются совершенно тождественным перестановочным соотношениям, друг с другом они ьоммутируют, поскольку операторы, образующие эти составляющие, носят совершенно различный н независимый характер (производные н матрицы).
Учитывая эти замечания для составляющих оператора полного момента (19.4), легко получить аналогичные с (19.5) и (19.6а) перестановочные соотношения: Л» ! у )у )х = (1 х + 8«) ()у + Ву) (1 у + 8у) (1 «+ 8х? = гЬ (1 х + 8«) Отсюда находим: Л,Л вЂ” Л Л, = !ЬЛ„ Л,Л вЂ” Л«Л, =1ЬЛу. Два последних соотношения получены из первого путем циклической перестановки координат х д, у - з, г — х, ..., Оператор квадрата полного момента Ла = 1.2+ 8'+ 2((.8) (19.7) (19.8) содержит три члена. Первый член (19.9) соответствует квадрату оператора орбитального момента При действии на шаровую функцию Г~ его собственное значение равно: 1 а Ье((!+ (19.9а) является числом и описывает спин (в единицах Ь), равный по- 11 ловине (з = — 1.
2)' т. е. он описывает состояния, когда орбитальный момент равен ! (в единицах Ь) . Второй член 8 = — Ь' (от + и'+ и',) - — Ьа = а (з+ 1) Ь' (19.10) 4 яи ч А с ть и РелятнвнсускАя кВАнтоВАя мехАникА Наконец, третий член 2 (1.$) = 2 (1 3 + 1 у8 + 1,8,) (19.10а) характеризует так называемую с и и н - о р б и т а л ь н у ю с в я з ь. Следует отметить, что составляющие моментов 1., и 5, коммутируют по отдельности как с оператором (19.9), так и с (19.!О), но со спин-орбитальной связью оии по отдельности не коммутируют.
В самом деле, учитывая равенства (19.5) и (19.6а), легко показать, что 1.г(1 В) (1 5)1 В = ~Д (1 уВА 1 «Лу) ~~(~ ~) ( ~)5 'д( 'Ву 1«5~). (19.11) Отсюда видно, что только составляющая полного момента должна коммутировать с этим членом а вместе с тем и с квадратом полно~о момента 3-Р—.!Ч, = О. (!9.!3) Поэтому в задачах, в которых сохраняется полный момент количества движения (например, спиновая частица в поле центральных сил), квадрат полного момента и любая из его составляющих (например, на ось а) могут иметь общие собственные функции.
Заметим, что две составляющие полного момента одновременно не могут иметь общей волновой функции, поскольку они не коммутируют между собой [схь (19.7)). Сложение моментов. Найдем угловую часть волновой функции, которая удовлетворяет закону сохранения для полного момента. Поскольку полный момент равняется сумме орбитального и спннового, подобная задача называется задачей на сложение моментов. Для простоты ограничимся приближением Паули, когда спин описывается двухрядными матрицами о'. В этом случае решение следует искать в виде двухкомпонептной матрицы (19.14) между элементами которой может быть установлена связь, учитывающая закон сохранения полного момента количества а га. движение ннраковского алектрона в поле нентральнмх сня ааа движения ! ~ = С~)'г, Чгг = Сгуг (19,16) где Уг" — шаровые функции (см. 9 11). Тогда, принимая во внимание, что 1.' = вг1 (! + 1) согласно (19.15), (19.12) и (19.13) имеем: (,ту~l С ) ) 4)! ту )' (19. 17) — ((1-. — г(-,) '1'г+ (,Ч'1 ! ! И~.т+г у) ! 1"х г1 ч г (19.
18) где о = И+ 1) — !(1+1) — —,. 3 (19.18а) Воспользуемся далее соотношениями (11.87) и (!1.88). т . д т т 1.,Уг = — 1л — Уг = пгвуг, до (1, ч- г1я) У," = — д У (! + ! ч- т) (! =,- т) Уг (!9.19) (!9.20) Отсюда видно, что мы сможем сократить в левых и правых частях шаровые функции, если положим т'= пг — !. Тогда найдем следующее соотношение между коэффициентами: (и — т + ! ) С1 + )г (! + ! — т) (1 + т ) Сг = О, (19.21) У (!+ 1 — т)(!+ т) С, +(д+ т) Сг= О. Из условия равенства нулю определителя системы находим два значения величины д, соответствующие двум возможным типам ' Прн разлвчных значениях т н т' сохраняется лишь квадрат орбнтального момента, но не его проекннн на ось з. где Е = [гр! — оператор орбитального момента, н' — двухкомпо- нентные матрицы Паули.
Решение системы уравнений (19.15) ищем в виде'. 2ВВ Ч А С Т Ь П РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАННКА решении: /1 — т ф ! с,= — ~/ 1+ пг с,, / 1-1- т С,=~/, ~, СР 1 1=1+ —, 2' (19.22) ! 2 (19.23) г) = — (1+ 1), М— 21+! 1, 1,,1> у 1 1+ ! — пг упг 21+ ! 'кг 2) (19.24) 1 В случае же, если 1=1 — —,1=1, 2, ... (второй тип решения), 2 ' волновая функция равна: = Уг „=, "1, (!9,25) где Уг — так называемые шаровые спиноры, условие ортош иормированности для ноторых имеет вид: ~ 21!1 У!1„',+ у,"' = б„,бп,б (19.26) 1 где 1=1+ — соответствует случаю, когда спиновый и орбнталь- 2 1 ный моменты параллельны, а 1=1 — —, когда они антипараллельны.
Условие (19.26) может быть легко получено, если учесть, что шаровой спинор Уг представляет собой матрицу с одной Фе строкой, и также принять во внимание условие ортонормнрованностн шаровых функций. Шаровые спиноры (19.24) и (19.25) представляют собой спинорное обобшение обычных шаровых функций (см. $ 11) н представляет собой угловую часть реше- ' Кроме того, имеется также другое решение с отрицательными звачениями 1, которое мы просто отбрасываем ' Заметим, что зта связь нежат шаровыми функциями устанавливается только нри наличии свин-орбитального взаимодействия. Коэффициенты С, и Св определяюшие соотношения между шаровыми функциями, при сложении двух моментов (в данном случае орбитального и спинового) носят название коэффициентовтов Клебш а — Горда н а.
Воспользовавшись также условием нормировки С!+Се=! 2 ! решение первого типа, когда 1=1+ —, 1=0, 1, ..., запишем в виде': 4 1в. лвнженне днраковского электрона в поле центральнык сял 2в1 — — ! 4= О, ут = й /() + 1), / = ~ 1=0, (19.26а) т, е. квантуется подобно орбитальному моменту, но при этом квантовое число /, называемое внутренним квантовым ч и с л о м з, принимает полуцелые значения. Собственные значения проекции момента на ось также характеризуются полу- целыми квантовыми числами — .., +). Исходя из соотношений (19.8) — (19.10), а также правил квантования (19.26а), нетрудно получить важные в спектроскопии формулы квантования скалярных произведений лт (!.8) = 2 ()' — 1 — 8') = 2 (ХО+ 1) — !(!+ 1) — з(а+ 1)) (19.28) и (38) = — ( гз — 1 т+ 8т) = — (! (/+ 1) — ! (! + 1) + з (з + 1)).
(19 29) (19. 27) Движение частиц, обладающих спином, в поле центральных сил. Ротатор. Если мы хотим исследовать движение частицы в поле центральных сил в нерелятивистском приближении, но с учетом спиновых эффектов, то вместо шаровых функций у~ ' Этн пределы установлены с учетом, что щаровая функция У"' прн !гп!>! обращается в нуль, « Это название связано с историей вопроса: число ! было введено спектроскопнстамн до открытия спина чисто эмпирически.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
