Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Здесь пс является массой протона, а !хе — магнетоиом Бора. Кроме этого момента, протон, как показывают экспериментальные данные, обладает еше и аномальным магнитным моментом, равным р'"'" = 1 79р р который и следует подставлять во взаимодействие (!9.71). В противоположность дираковскому магнитному моменту аномальный момент сохраняет свое значение не только в нерелятивистском приближении, но н не исчезает в ультрарелятивистском приближении.
Таким образом, в нерелятпвистском приближении общий магнитный момент протона равен )хдир ! )харри 2 79!1 р р р ' ял' Поскольку электрический заряд нейтрона равен нулю, его дираковский момент должен отсутствовать. Однако, как гоказалп опыты Блоха — Альвареца, он обладает аномальным магнитным моментом, равным р„= — 1,91(хаж Возникновение аномальных моментов протона и нейтрона связано с их ядерным взаимодействием с пи-мезонным полсм (сильное взаимодействие)'.
Более полробно смл А А С о к о л о в. Введение в квантовую электродинамику й1, Физмахтиз, 1958, $ 19 ' Заметим, что сильное взаимодействие между протонамн и нейтронами превалирует над электромагнитным лишь на малых ядерных расстояниях, порядка 10™ схс На больших а окиыл расстояниях (порядка 10 4 н 1О-" см! короткодействзюшее сильное взаимодеиствие обращается праитически в нуль.
часть и. еелятивистскхя квхитовхя меххникх 9 20. ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА Постановка вопроса. Теория движения электрона в кулоновском поле ядра !водородоподобный атом) по уравнению Шредингера дает выражение для энергии (см. ф 13): Ез дпх' (20.!) и и' согласующееся с экспериментальными данными.
Однако этч энергию можно принять только за нулевое приближение. Более детальное изучение спектров атомов показывает, что спектраль. ные линии обладают тонкой структурой, которую не может описать теория Шредингера, где не учитывается релятивистская зависимость массы электрона от скорости и спиновые эффекты.
Теорию атома водорода с учетом тонкой структуры можно построить с помощью уравнения Дирака. Заметим, что проблему Кеплера по теории Дирака можно решить точно. Однако это решение в математическом отношении требует весьма громоздких выкладок более сложных, чем по теории Шредингера. За этими выкладками не всегда удается уловить физический смысл полученных результатов. Поэтому мы используем более элементарный метод решения, основанный на приближенных формулах предыдущего параграфа. Этот метод позволяет не только получить с точностью до членов порядка ~ — ) формулы, характеризующие тонкую структуру, но ~с( и дать интерпретацию отдельных членов как результат проявлений релятивистских или спцновых свойств электрона. Учет релятивистских и спииовых эффектов. Как следует из 19 (см.
(19.24) и (!9.25)), волновая функция частицы с учетом спина имеет вид: тр )! у(п (20.2) Здесь У~~ — шаровой спинор, причем при !'= !+ — спин паралсл 2 ! лелен орбита.тьному моменту, а при 1' = ! — — — антипаралле- 2 лен; Р„~ — радиальная часть волновой функции. Хотя решение (20.2) формально относится к нулевому приближению, однако оно может быть использовано для определения энергетических уровней с учетом членов порядка ( — ), которые содержат сппн-орбитальное взаимодействие, пропорциональное (ЕВ) (см. (19.64)).
й 20. Тонкая структура спектра водородоподобного атома 28$ Это связано с тем обстоятельством, что с оператором спин- орбитального взаимодействия коммутирует лишь составляющая полного момента 3, [см. (19.11) и (19.12)), а решение (20.2) как раз и является собственной функцией это~о оператора '. Поэтому решением (20.2) можно пользоваться, когда на атом не действуют еще какие-то внешние возлгушающие силы, по порядку величины превышающие спин-орбитальные.
Иначе спин-орбитальная связь, как говорят, рвется, и соотношение между шаровыми функциями, входящими в (20.2), должно быть установлено исходя из новой постановки задачи. Шаровые спнноры, так же как и шаровые функции, удовлетворяют уравнению о гг пи 1(1+ 1) «гмп (20.3) поэтому, учитывая равенство (!1.17), для определения радиальной функции в равенстве (20.2) находим такое же уравнение, которое было установлено в нерелятивистской теории Шредингера (2шони 2лге хео 2 туД„г +, + )гш=-О Волновая функция (20.2) полностью определяет правила отбора для всех квантовых чисел: правила отбора для «ваюовых чисел 1, ! и иг задаготся формулой (19.38), а правила отбора для главного квантового числа и, очевидно, будут такими ж, как и в теории Шредингера (см.
(!3.68)). Учитывая все это, приходим к следующим правилам отбора в теории водородоподобного атома с учетом спиновых эффектов: ф = Аиуг !2шза) где У~г — шаровая функння. Однако выражение (20.2а) является собственной функцией оператора В„который не коммутирует с оператором спин-орбигилвного взаимодействия. Г)пятому решение (202а) оказывается не пршолиои для вычнсления тонкой с|руитуры, обязаггиой, в чашноши, с~шгг-орбиги.
ному взаимодейшншо. Ы= ч-!, Л)=0, ш!, Ьт) — — О, ш1, Лп — любое целое число. (20 4г В данной задаче, зная нулевое приближение волновой функции (20.2), а также дополнительную энергию взаимодействия, описывающую релятивистские (свь (19.59)) и спнновые !см. (19.64) и (19.65)] эффекты, мы можем найти соответств)юшую поправку к энергии (20.1) нулевого приближения, ' В связи с шим заметим, что решение в нулевом приближении мы могли бы выбрать тзк ке в виде 282 ч х с ть и ъелятивистскхя квхнтовхя механика для дополнительной энергии, хапактеризуюшей релятивистские эффекты, получаем: хЕм ](Ео)з 1 2Еогез(г ') -1- узе4(г ~)] = где а=- — = /ц,— постоянная тонкой структуры. ео — ~зг При выводе последней формулы мы воспользовались равенством (13.29а), согласно которому х ! 2ям г з ае н езн Формула (20.8) точно совпадает с выражением для дополнительнои релятивистской энергии, которая была вычислена в гом же приближении при помоши релятивистского уравнения Клеина — Гордона [см.
(17.31)). Аналогичным способом с помощью формулы (19.64) найдем дополнительную энергию, обязанную спин-орбитальному взаимо- действию 7ез АЕ' =,~ (3$.)(г з). 2 Ос (20.9) Воспользовавшись далее для (» ') выражением (13.29а): (г )— — — '18 ) 2/ Согласно формуле (19. 69) релятивистская поправка к энергетическим уровням равна; вт„е В рассматриваемом случае — = 1,Е + — ), (Ч ) 2т — — (Ч ) (Е„-1- — ), (20.6) это дополнительное взаимодействие не зависит от сферических углов д, ~.
Поэтому, учитывая, что при интегрировании по телесному углу ~,() (У]п)+ У<~ 1 (20. 7) б 20. Тонкая структура спектра водородоподобного атома 2ВВ а для (Ы ) выражением (!9.28) и (19.18а): йг 12 ( — „д при 1ФО, (8Ь) = 0 при 1=0, получим для энергии (20.9) следуюц(ее значение: тзЕ '=Рй 2, 11, 1' 1 (20.10) В последних формулах 1 при 1=1+ —, 1 2' г( =1((+ !) — 1(1+ !) — з(з+ 1) =( (20. ! 1) ! 1 — (1+ 1) при 1=1 — —, а величина 0 при 1~ О, 1 при 1=0.
и (20.12) Наконец, для энергии, соответствуюц(ей контактному взаимодеиствию, согласно (19.65) получаем: конт (анонс ! Чг(0) (г 2шег' где ! Ч' (О) !' = Л (О) УЖ Уй (20. 13) Принимая далее во внимание выражение для ! 11нг (О) Р = „з бге ( — ') также, что ~ Уг' '1'= — при 1 Н!13 1 ж( 1 =0 и 1= — на- 2 ' [см. (!3.28а)1, а ходим: (20. ! ч) (20. ! 5) т.
е. ЛЕк'н' = гей —, бю '. и' ' Кстати заметим, что формула (2012] для контактного взаимодействия иоткет быть получена кнк предел выра кения (20.10) для спин-орбитачьного взаимодействия йрп (-но, если в последком отбросить множитель б~о, огрзннчиваюший его применимость Позтону чно не авторы получают формулу тонкой структуры, не вводя предполонтения о сушествовании контактного азаилюдействия. Однако такое совпадение носит «случайный» харантер, поскольку в числителе формулы (2010) мы имеем для з-состоянии всегда нуль, а в зналтенателе нуль — только в нерелятнвнстском приближении. В ряде других задач, например при наличии в атак~с ьесколькнк зтектронов энергия, связанная с контактным втаимолейст вием, ие ивлиегси пределом ьырнженка для спин-орбитального вмгнгтодеисгвия. ч А с т и и релятннистскхя квлнтовлч михли икл Отсюда для дополнительной энергии, в которой учтены релятивистские эффекты, а также спин-орбитальные и контактные взаимодействия, находим: ЛЕ = ЛЕ "*э + !з Еа" + 73Е' ' = Л'аз л 3 ел (1 — бгр) пб, 1.
— (.-') « Подставляя сюда значение г) из (20.1!), имеем: (20.16) ( !+— 2 Учитывая оба результата (20.1) и (20.16), получаем формулу тонкой структуры спектра водородоподобного атома; ) !+в 2 Отсюда видно, что расшепление уровней пропорционально квад- рату постоянной тонкой структуры. Прнмечанне Точвое решение уравнения ширака дает следующее обобщение формулы (!7 30), учитывающей релятивистские эффекты на случай наличия также н спина: яраг Еч! = э!ос' 1 + ~ 2 ~ 2 | ~ ~ ! 2 ~ ~ р ~ 2 ~ ~ ~ ~ Š— трс'. (20.17а) |г! — 1- — + 1/ |! ф — ) -кза') Формула (20.!7) может быгь получена нз (20.17а), если последнюю разложить в рвд по Л'ар и ограничиться первыми двуми членами.
Взяв минимальное ! значение ! = †, мы найдем, что устойчивое движение в кулоновском поле 2' точечного ядра согласно теории Лнрака простираетсн до Лрр=137, в то 1 время как в теории Клейна — Гордона оно было ограничено крр =- — ° 137 2 !см. (!7.33)). Такое увеличение 2 р связано с тем обстонтельством. что спииовые эффекты несколько компенсируют релятивистские. Таким образом, устойчизое состояние (включан наинизшее) электрона ~~О ~г э '1 в кулоновском поле ()г = — — ] (т. е.
движение по круговым или эллиптиг ческим орбитам) ограничено некоторым максимальным значением потенциальной энергии (Лрр — — 137), что приводит к критической энергии Е,р= — т,с*. При 2)Л р в кулоновской потенциальной име становятся возможным появления электронно-познтронных пар (парадокс Клейна), и проблема одного тела теряет свой смысл. В связи с э!им следует замочить, что мы сможем получить устойчивые кру!оные орбиты (включан наиннзшее состояние) при любых энергиях, если 5 20. Тонкая структура спектра водородоподобного атома 265 помемим электроны в постоянное и однородное магнитное поле (более подробно см. сборник «Синхротронное излучение», М., «Наука», 1966, редакторы А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
