Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(см. (16.27), 116.28)1, имеем: (а'а) (н «) = а„ь„+ акьи+ а,ь + !о',(а„ьа — аэь ) е гат(а о'„— а„ь ) + +Во! (аиЬ вЂ” а Ьв), откуда и следует (!9.46). 4 !в. двнженне анраковского электрона в поле нентральнык снл 273 и поэтому (и'Р) (а'Р) = Р' — — ' (а'Н). с Т]~ким образом, уравнение Дирака при учете членов, пропор(о! црональных только ! — ], переходит в уравнение Паули ]ем. ( 1~6.20)] ] Š— еср — 2 +, ' (и'Н)) ф = О. (! 9.46) Появление дополнительного выражения для энергии электрона в магнитном поле !" "" = — (РН) автоматически приводит к существованию магнитного момента электрона р= — и', (19.47) 2пгас величина которого в теории Паули постулнровалась, исходя из анализа экспериментальных данных.
Заметим, что, поскольку этот магнитный момент (его называют кинематическим или дираковскнм магнитн ы м м о м е н т о м) появляется при переходе к нерелятивнстскому приближению, учитывающему только члены первого порядка малости по —, дополнительная энергия !сьгэгн относис ' тельно нерелятивистских энергий должна иметь порядок с Принимая во внимание значение механического момента электрона ]ем. (!9.4а)] 8= — о', 2 находим требуемое нз опытов Эйнштейна де Гааза соотношение р= — Я, е тес (!9.48) !В зкк. мэ являющееся следствием теории Днрака. Рассмотрим теперь влияние релятивистских и спнновых эффектов на движение электрона в электрическом (например, кулоновском) поле.
Для этого в уравнении Дирака мы должны удержать наряду с нерелятнвнстскими членами также члены порядка( — ), отбрасывая при этом вектор-потенциал (А=О), т. е. полагая Р = р. Кроме того, прн переходе в указанном приблп кении от четырехкомпонентных функций к двухкомпонентным мы должны 274 часть и»елятиввстская квантовая механика произвесги «неренормировку», исходя нз соотношения (19. (9) арг Полагая ш (~р|грз) ( ! ~ г) г" ' получим следуюыее выражение «малых» компонент через «больг „аг шне» с точностью до величины порядка ( — ): йс ) (!9.50) Принимая во внимание, что (а'р)(а'р) = рг, н удерживая в дальнейшем только члены, не превышающие второго порядка г„ы малости ( — ) с помощью условия «перенормировки» (19.49), находим: Отсюда получаем: Р' гй = !в Зиггсг с (19.БП в чем нетрудно убедиться, подставляя это значение гУ в пре- дыдущее равенство.
Поэтому в данном приближении (19.52) Между прочим заметим, что в приближении Паули (учитываю»! щем только члены порядка — ) псренормнровочный коэффициент с) обращается в единицу. 4 18. движение дираковското электрона в поле иентральных сил 278 Подставляя последние выражения в уравнение (19.4!), на хо)!им: ')[, ~тр~\ т( — еФ вЂ”,, (Š— еФ)рх~~ ) 8ттст )[,р.[ — — ' - „"....1(") ~О 4~~~~ (о'р) (Š— еФ) (а'р) = (Š— еФ) рх — !йе (а'Е) (а'р) = н = (Š— нФ) Р' — Ин (Ер) + ей (а' [Ер[) (19.541 р» 2,„Р (Š— еФ) = (Š— еФ) р'+ — "' (Ер) + йтеЧтФ, (19.5о) где Е= — ЧФ вЂ” вектор напряженности электрического поля, а операторы Ч и Ч' действуют только на потенциал Ф. Из (!9.55) следует, что 4 (Š— ЕФ) рх= Р + 2(йе(Ер) — йхеЧтФ.
2тд» (19.56) Подставляя (1954) и (1956) в (!9.53), найдем уравнение Днрака в рассматриваемом приближении: П 9.» 7) где дополнительная к нерелятивнстскому уравнению Шредин~оы гера энергия, имеющая порядок [ — [, равна: !с[' )т'= —,, — —,,(а'[Ер])+ —,Ч'Ф. (19.58) 8тос 4юсс 8с»о~с Левая часть уравнения (19.571 описывает движение частицы в нерелятивистском приближении в постоянном во врел|ени электрическом поле.
В правой части этого уравнения стоит дополнительная энергия взаимодействия, описывающая релятивистские и спиновые эффекты. Первый член в правой части последнего равенства р»л р 8тос (19.59) ' Этн соотношения носят операторный характер, и поэтому для нх доказательства необходимо оператором р и матрндей а' действовать еще н иа подравумеваемую справа волновую функпию (матрицу), !8» Для дальнейших преобразований воспользуемся следующими соотношениями ' ч а с т ь и эплятнвистскдя квантовая механика которое описывает взаимодействие движущегося магнитного мо- мента с электрическим полем. Примечание Г)аявление этого взаимодействия может быть интерпретировано по классической теории следующим образом: движущийся со скоростью о магнитный момен г как пространственная составляющая тензорной величины приобретает дополнительный электрический момент, являющийся пространственно-ьременнои составляющей той же тензорной величины 1 1 и»- — !пр)- — !рр1.
(19.61) с т»с Благодаря появлению М»» элентрон получает дополнительное взаимодействие с электрическим полем ядра ей У»»= — (Ерэл) = — (и'(Ер) ) 2»нос (! 9.62) Это классическое выражение лля энергии взаимодействия в два раза больше соответствующего квантового выражения (см. (19.60)). Заметим, что еще до появлении теории Лирака была сделана попытка объяснить тонкую структуру помощью пол)ил»сои»еского введения спин-орбитального взаимодействия. Однако, чтобы получить согласие с экспериментом, Томас и советский теоретик Фреинель предложили в классическом выражении для энергии взаимодействия (19.62) поставить коэффициент '/т. Этот коэффициент, которыи соьершенно автонатическн следует из теории Дирака, получил назьанне но.
ир»ькн Томаса — Френкеля. В частности, для кулоновского поля ядра Ле» 2е»г Ф вЂ” Е= —. е= — е. ,»» (19.63) Взаимодействие движущегося магнитного момента с ядром согласно (19.60) становится равным: лео (эь) й где $ = — о' — спиновый, а 1. = [гр! — орбитальный моменты. дает поправку на релятивистскую скорость частицы. Аналогичная дополнительная энергия должна появиться также и в рез)ятивистском уравнении Клейна — Гордона.
Классический аназ)ог этого члена мы получим, если релятивистское выражение для 1 о (т гамильтониана разложим в ряд, удерживая члены порядка(-11 ,с! р» )»У 1»лттс4 „1 ртст нт сд „1 Р 2шо вп»ос 3 2' Следующий член разложения характеризует так называемое спин-орбитальное взаимодействие У ' ' = — —, (и'"(Ер'1), 4»пос й 29. Лвнгкенне лнраковского электрона в поле вентралвнмк енл 277 Заметим, что спин-орбитальное взаимодействие (19.64) долж. но отсутствовать для з-состояния, у которого орбитальный момент обрашается в нуль. Последний член взаимодействия, который в случае кулонов- ского поля равен )тте нй Ее„ Уконт 1Ртф " б (г ) Япт с 2гв с о а (19 65) носит название контактного взаимодействия.
Соответствуюшая ему дополнительная энергия цЕкокт ~ тРа Рконтт)т 13 (19.65 а) пропорциональная ~Чг(0)12, отлична от нуля лишь для з-состояния (1= 0), поскольку только в этол2 случае 1Ч'(О) !2ФО. Для всех других же состояний (1Ф 0) этот квадрат волновой функции при г = 0 обрашается в нуль. В этом смысле контактный член можно рассматривать как спин-орбитальное взаимодействие для з-состояний. Таким образом, два последних члена в энергии взаимодействия (19.58) характеризуют спиновые свойства электрона. * Уравнение Дирака для нейтрона и протона.
Как известно, уравненце Дирака описывает движение частиц со спином Чт. Оно применимо не только к электрону, но и к протону и нейтрону. При наличии электромагнитного поля следует учитывать наличие заряда лишь у протона, а также наличие особого врожденного магнитного момента у протона и нейтрона, который получил название аномального. Здесь следует напомнить, что энергия взаимодействия заряженной дираковской частицы с злектрол2агннг2тым полем )г, = еф — е (е2А) (!9.65). который получил название кинематического илн дираковского Однако при переходе к релятивистскому случаю в последнем выражении вместо массы то мы должны подставить ее релятивитпо стское значение, и поэтому с увеличением скоростидвнрг! рт ' женин до ультрарелятивистской (о- с) дираковский магнитным момент обрашается в нуль.
! а благодаря наличию собственного механического люмента ~ —,, а) ! содержит в себе также в нерелятивистском приближении ешк н магнитный момент ев (19.66а) 2л2ос часть и ннлятивястскля квантовая механика НаРяду с дираковским магнитным моментом, который проявляется только в нерелятивистском приближении и величина которого определяется зарядом, частица может обладать еше аномальным магнитным моментом, не исчезаюшим даже в ультра- релятивистском случае и не зависиШим от заряда частицы, Составим теперь энергию взаимодействия аномального магнитного момента с электромагнитным полем.
Энергия взаимодействия (!9.66) электрона с электромагнитным полем с точки зрения четырехмерного пространства представляет собой скаляр. В самом деле, скалярный и векторный потенциалы образуют четырехмерный вектор Ю = Аь А„= Аь А, = Аз, А, = А,. Точно так же единичная матрица! есть четвертая составляюшая матрицы скорости ссз = Н '.
Отсюда энергию взаимодействия (19.66) мы можем представить в четырехмерной записи как скалярную величину 4 )г,= — 2'. нА„. (19.666) Как известно, электромагнитное поле образует антисимметричный тензор 2-го ранга: длч дАв (19. 67) где хз = зс! Отсюда имеем: Н,= Нзъ Нз — Нз1 Н,= Н|г. (19. 68) !Е„=Ни, з'Е„=Нсв !Е,=Нчз. Поэтому энергия взаимодействия аномального магнитного момента р с электромагнитным полем должна определяться формулой (19.
69) где а„„вЂ” тензор 2-го ранга, составленный нз матриц Днрака '. Воспользовавшись правилом преобразования волновой функции как при лоренцевых (сзь (18.37)), так и при пространственных поворотах (см. (!8.39)), можно показать, что матрицей, об- ' Точнее, по закону четырехмерного вектора будут преобразовываться велнчаны зв — — все~о„зР !см (~ж32)1, гле а= а, з з аз М. ' Тензором 2-го ранга является величина ф авчф. $19. Движение днраковского электрона в поле центральных сил 279 разующей тензор 2-го ранга, являются величины '. птз = Рзсгь пз! = Рзпз, п12 = Рзоз, с44! = — 1Рзо1.
4242 4Р2422 с!43 гР2пз (19.70) Поэтому энергия взаимодействия аномального магнитного момента с электромагнитным полем принимает вид: )2 = )ь [рз (пН) + Рз (пЕ)). (19.71) В качестве единицы взмерения магнитных моментов протона, нейтрона и вообще ядер выбирается ядерный магнетон 2трс тр который равен дираковскому значению магнитного момента протона ((хд"р = (хях) и связан с наличием у протона заряда (е„ = еэ) и собственного механического момента (т. е. спина!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
