Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 42
Текст из файла (страница 42)
если все четыре величины а„антикоммутируют друг с другом апа„+ а„ап — — О, 1з чь р.г (!8.6) и квадрат каждой из них равен единице а'-„= 1. (18.7) Напомним, что аналогичными свойствами обладают также двух- рядные матрицы Паули Ц 16) О '" = . О = О 1 (188) а именно все они антикоммутируют между собой 1см, (16.28)1 и квадрат каждой из них равен единице (см. (16.27)) Однако для «извлечення» квадратного корня из четырех- члена необходимо иметь четыре соотношения (18.5) (1з = О, 1, 2, 3), а не три, которым удовлетворяют матрицы Паули. ' Они коммутируют друг с другом и при переходе к операторам, когда отсутствует злектромагиитиое поле. Таким образом, в квантовом случае сначала необходимо извлечь квадратный корень из оператора для свободной частипы, а затем обобщить полученное уравнение иа случай наличия полей.
Чтобы установить, каким условиям должны удовлетворять величины а„, возведем обе части соотношения (18.1) в квадрат. Тогда в случае, если импульсы р и р, коммутируют друг с другом ', найдем ~ Последнее равенство совпадает с (18.3) только в том случае, когда 256 Для этого Дирак предложил взять совокупность четырехрядных матриц о„и Р„, связанных с двухрядными матрицами при помощи соотношений (о'„О' т (18.9) '=(г о) '*=(а о) '=(о -о) Оо'" где о'„— матрицы Паули, О'= и 1'= (18.11) Эти четырехрядные матрицы удовлетворяют тем же соотноше- ниям, что и матрицы Паули: (18. 12) о„о„, + о„,о„= р„р„, + Р„.Р„= 26„„,.
(18.15) К этим равенствам мы должны добавить коммутативность матриц о~ и Р„: о„р„, = РА,о„, (18.16) что проще всего доказать непосредственным вычислением, исходя из формул (18.9) и (18.10). В качестве матриц еей в равенстве (18Л) Дирак предложил выбрать следующие: ао=ро= О (18.17) Ч А С Т Ь П РЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1 О О О О 1 О О ОО = ОТ = 1 =. ОО ! О~ О О О 1К о,ое = — о,о; = )о, и т. д.
РоРВ = РЯРо = 'Ро " т. Д" Последние соотношения мы можем записать в виде: / О' о'„то оо (! 8.! 3) (18.14) й 1Гк уравненне генрака которые согласно (18.15) и (18.16) удовлетворяют условиям (18.5). В самом деле, аа = репо = 7 ог = рг = ! о г ага + а,а = Рг (о, а, + ого„) = О, аоаг+ агав= ог (рарг+ р,р,) = 0 и т.
д. (18.18) Расписывая эти матрицы, мы найдем 0001 0 0 0 0 0 1 0 ОО! 0 0 0 г 0 0 00 — 1 О! 00 а 0 — г 0 О ~а 1 00 0 1000 г' 0 0 0 Π— 1 0 0 ! 0 0 0 0 1 0 0 = ра = 0 0 0 — ! аг = (18. 19) (18.20) где операторы Е и р, как и обычно, равны д Е=И вЂ”, р= — ИЧ, дг ' а гамильтоннан Н определяется выражением Н = с(ар) + рзпгоса.
(18 21) При движении электрона в электромагнитном поле, заданном векторным и скалярным (А, Ф) потенциалами, мы можем пользоваться теми же уравнениями (!8.20) и (18.21), только н соответствии с общими правилами волновой механики в качестве операторов энергии н импульса должны быть взяты нх обобщенные значения (см. (!7.5)1: Е= И вЂ” — еФ, д (!8.22) Р = — гИг'Р— е А с Поэтому волновое уравнение Дирака при наличии электромагнитного поля может быть записано в виде: (Š— с(аР) — Р,пгосг) гР = О. (18.23) !7 Зак ага Уравнение Дирака.
Плотность заряда и тока. Переходя к операторам в линеаризованном с помощью матриц ак релятивистском соотношении между энергией и импульсом (18.1), мы получаем уравнение Дирака для свободной частггцы (Š— Н)г(г = О, 468 Ч А С Т Ь !! РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАННКА В соответствии с числом строк и столбцов матриц а и р4 волновая функция 4р должна иметь четыре компонента, которые мы объединим в виде матрицы, состоящей из одного столбца: ч4! 4)т ффз 4)'4 (18.24) понимая под сопряженной функцией эрмитово-сопряженную матрицу, состоящую из одной строки. ф' = (фХФХ).
(18.25) Таким образом, матричное волновое уравнение ширака (18.23), аквнвалентно системе четырех уравнений: (Р— тдсд) 4Р! — с (Р, — 4РР) 4(44 — сР,ф, = О, (Р— тдст) 4» — с(Р + 4Рд) ф + СР44р4 = О, (Г+ тос~) фз с(Є— 4Рд) фт — сР,4(4! О, (18.26) (Р + !Нос ) 4('4 с (Рд + 4Рд) ф! + сР 4(4е 0 Комплексно-сопряженное волновое уравнение также может быть представлено в виде одного матричного уравнения: Ф (Р с("Р) Рдпздс ) = О. (18.27) В котором действие операторов И вЂ” и — ИЧ на волновую д д! функцию, стоящую слева от них, следует понимать в несколько необычном смысле — ф+!»Ч-Р ИЧф~, 4)РИ вЂ” — — И вЂ” ф+.
(18 28) д. д! Й д — е4Р)4д — с(а ( — ИЧ вЂ” — А) ) ф — р,тдст4Р = О, (18.29) ( ° ) (( д ) д ( — й — — еФ) ф+ — с((ИЧ вЂ” — ' А) ф+а) — ст стф+рз= О. (18 30) Умножая уравнение (18,29) слева на ф, а (!8 30) справа на ф н вычитая В!орое ура!!пенне из первого, получаем соотношение: ! д — —, !)'ф+ с(4т Ч'аф=-О, (18.31) Таким образом, уравнения (18.23) и (1827) могут быть записаны в виде: 259 й 18.
Уравнение ззираиа когорое можно рассматривать как уравнение непрерывности для плотности вероятности р и плотности тока 11 д —,р+ б)ч(' О, (13.32) где р = езр+зр, 1' - есф+аф. Из последней формулы видно, что матрицу са можно интерпрегнровать как оператор скорости. Если раскрыть равенства (!8.32), найдем' Ф р „з(зз 1' =,р.ф =(ф,ф;ф,ф,) - р;,р, +ф,ф, + ф,.ф, + ф,.ф„(18.33) з ф4 т. е.
р, является матрнпей, состоящей из одного элемента, и поэтому представляет собой обычную функцию. Точно так же легко показать, что ф4 фз (ф',зр',ф',зр',) = зр',ф, + ф,',фз + зр',фз + ф",фс (18.34) фз Заметим, что в отличие от уравнения Клейна — Гордона плозность рс является положительно определенной величинои.
Однако это не означает, что в теории Дирака рв следует рассматривать как плотность числа частиц. Так же как и в теории Клейна — Гордона, в теории з(ирака наряду с электронами должны существовать частицы противоположного заряда— позитроны (см. ниже 4 22).
'" Трансформационные свойства волновой функции при преобразованиях Лоренца и пространственных вращениях. Согласно специальной теории относительности физические законы не должны зависеть от выбора лоренцевой системы координат. Поэтому как уравнение Максвелла, так и уравнение Клейна — Гордона и уравнение )аирака должны быть инварнантными относительно преобразований Лоренца, 12» О О О 1 О О 1 О се ф зф ( 'фзфз ") О 1 О О 1 О О О Ф зрз фз Ф4 ч х с т ь и челятивистскхя квхнтовхя механика Исследуем трансформационные свойства волновой функции Дирака. С этой целью прежде всего запишем преобразования Лоренца с!'=с1сЬу — хзЬу, х'=хсЬу — с1зЬу, (1835) где ц =е, 7 =з, сЬу=, зЬу = ! р «« Р! — Р' 1'! — Р' е Этому же преобразованию должен удовлетворять любой четырехмерный вектор и, в частности, плотность заряда и тока~ ср' ср сЬ у — )„зЬ у, 1,' = )„сЬ у — ср зЬ у, Исходя из определения этих величин, по теории Дирака имеем; «р' ф'= ф+(сЬу — а«зЬу)ф=ф "е-1'"ф, ф' а«ф'=ф+(а,сЬу — зЬу)ф=ф+а«е-т'"ф (!8,36) ф' а2 зф = ф+а««ф.
Здесь мы приняли во внимание, что е-т"=сЬуૠ— зЬуа, = =сЬ у — а, зЬ у, поскольку а'," = 1, ав' "« = ан где и — целое число. Чтобы удовлетворить последним соотношениям, мы должны положить: ф (сЬ вЂ” — а зЬ вЂ” )ф=е т 2 ' 2! «.! т т «г' = ф+ ! сЬ ~~ — а, зЬ вЂ” « = ф+е (18.37) Тогда принимая во внимание, что т т т ае ' =е ' аь ае ' =е2 а, (18.38) легко показать справедливость соотношения (18.36). Из (!8 37) ьидно, что волновые функции преобразуются не как вектор (целые углы у) н не как тензор (двойные углы у), а как полувектор, преобразование которого характеризуется углом —.
Ве. У 2 ' личины, преобразуюшиеся по закону (18.37), получили название с п и н о р о в илн т е н з о р о в и о л о в и н н о г о р а н г а. Аналогичным способом можно показать, что при обычном пространственном врашении (например, вокруг оси а на угол Ч«) спннор преобразуется по закону «р'=е '«р, ф'' =- ф е (18.38) ф !В.
движение кирвковского влектронв в ноле нентральнык сил 26! Последние соотношения следуют из преобразовании для векто. ра тока: 1'„= 1„сов ~р + 1„я п ~р, (18.40) 1„' = 1„созгр — 1,яп р, 1, = 1л. которые в теории Днрака могут быть представлены в виде: тр' агтр' = тр+ (а, соз гр + а, з!п гр) ф, р' азр'=В~акр и т. д. (18.4!) ч о аз ' =а,,соз — +1овз!п — 1= соз — =1озз!п — ~а,=е ваг, гм — го,— Ф . и ае т=е *на приходим к соотношениям (18.40).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
