Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 37
Текст из файла (страница 37)
(15.8)) (15. 42) где ф'. удовлетворяет уравнению (Е Но) фо 0 (15. 43) Из последних равенств находим ч)~~ С ( ) о еелхо о (! 5.43а) Здесь частота излучения Ел — Е ° озы = (! 5.44) сохо ле,л С 2Ь ежа+ ш (15. 45) Подставляя (15.45) в (15.42), находим искомую функцию (15.46) где матричный элемент х,, равен: х,„= ) фо;хааа исзх. (15.
47) Умножая (15.43а) слева на ф"", и интегрируя затем по всему пространству с учетом ортонормированности собственных функ-. ций для коэффициентов Св, получаем выражение: 224 Ч А С Т Ь Е НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (15.5!)  — ! Л'ео "( 1о А 2 2 2 (15.54) 4Н е(о А, НА.А — (02 Заметим, что если бы с самого начала была учтена квантовым путем сила радиационного трения, то для частот 0(, близких Заменяя в (15.46) го иа — го, получаем: (15. 48) Общая же волновая функция ф,(1) согласно (15.37) и (15.39) запишется в виде Ф (О= ' ~Н вЂ” — д,' *,! ( — ( ( (().
(((.(() д, (оо,о — 0( Определив волновую функцию (ро(1) электрона во внешнем поле, глы легко сможем найти вектор поляризации среды Р. В самом деле, по классической теории Р„= еу' = Л~р = — Феох, где (т' — число атомов в единице объема. Чтобы это выражение обобщить на квантовый случай, вместо р следует взять его среднее значение. Тогда ег" =Л((р) = — Лгео ) 2р,О) х2ро(1)гРх.
(15.50) Подставляя сюда (РА(1) из (15.49) и оставляя только члены первого порядка малости относительно д'0, находим: 2А(ео ~х ИАА ! 22 2! ~0 СОЗ 001. Ь При выводе этого соотношения мы учли, что ф(ехфое(от ) (т(,0(2х (ох (! поскольку подынтсгральная функция является нечетной функцией х. Сравнивая (15.51) с (15.32а), получаем дисперсионьую формулу и — ! 2дзео у (оо,о ! Хне (2 4и Ь еое но,о — н 2 2 Вводя новую переменную (15.53) получившую название силы осциллятора, преобразуем равенсгво (15.52) к виду й 15, Стационарная теория возмущений и ее простейшие приложения 225 Фяг.
!5.1. Кривые дисперсви. а-полоаснтельиая дисперсия (иа иа 2)1 б — отрицательная дисперсия гиа ееа 1 кваммы имели бы (аналогично классическому случаю) в области аномальной дисперсии конечное значение для па (фиг. 15.1 а — штриховая линия). Формула (15.54) напоминает по своей структуре классическое выражение.
Однако по сути дела квантовые результаты принципиально отличаются от классических. В самом деле, согласно квантовой теории аномальная дисперсия лежит в области частот, соответствующих разрешенным переходам, а не в области собственной механической частоты колебаний электрона, как это вытекает нз классической теории. Такой вывод следует из того, что в дисперсионной формуле (15.54) существеняую роль играет сила осциллятора )а,„определяемая матричным элементом хм [см.
(15.53)), характеризующим правила отбора, т. е. разрешенные переходы. Д. С. Рождественский, используя так называемый метод к р ю ко в, экспериментально подтвердил этн выводы квантовой теории. Вторым очень важным отличием квантовых результатов от классических является то, что согласно квантовой теории наряду с обычной положительной дисперсией может также существовать еще и отрицательная дисперсия (фнг. 15.! б), не имеющая классического аналога. Действительно, если рассеяние света происходит на воз- бужденных атомах, то следует учитывать состояния с Еа > )Еа, для которых Еа.
— Еа 1, -щ, - — ' — <б. аоа да Для этих состояний дисперсионная формула (15.54) принимает внд: и- — ) гул~ ъч (15.55) 4и лго ы»,„- щ 2 2 ° 15 Заи. 22Е 226 ч А с т ь 1. нерелятиВистскАя кВАнтоВАя мехАникА Е7гт Чэиг. 15.2. Энергетическая схема Е рассеяния фотонов: Ью- энергия падающего фотона; Ьы'- энергия рассеянного фотона; 1, М-упругое рассеяние фотона (Аы у* Ьыд Ь и ЬыФЬыоо ); 111, 1К-вынужденные пе- редоды (Ьы Ьюо Ь нли Ьыоо.). а кривая дисперсии изображается пунктирной линией на фиг.
15.1 б. Экспериментально явление отрицательной дисперсии было обнаружено Ладенбургом. Таким образом, и этот вывод квантовой теории также получил свое подтверждение. Найдем значение силы осциллятора 7ь,ь, а следовательно, и дисперсионную формулу в случае гармонического осциллятора. Замечая, что при этом отличными от нуля будут только матричные элементы (ськ (10.67)) уг Л(В+1) 1 / ль и хь 1 ь= ~' —, (15.56) 2нтощо ' которым соответствуют квантовые частоты излучения, «случайно» совпадающие с соответствующими механическими частотами колебаний (15.57) ото+1,о=ото и оть-т,ь = — ото, находим 1ь -, « = (м + 1) (!5.58) т.
е Х~,,,= 1. (15.59) Поэтому дисперсионная формула (15.54) запишется в виде р1ео Ь+ 1 "Уьо Ь Агоо — — (15.60) 4н нто соо со г"о соо со гно ото щ Отсюда следует, что в этой частной задаче квантовая и классическая теории дают для показателя преломления и одне и то же значение. Явление отрицательной дисперсии здесь не наблюдается. Это связано с тем обстоятельством, что для гармоническил осцилляторов область отрицательной дисперсии, благодаря тому что ~ отьог, ь ~д = ) вь е ь ~ ь, совпадает с соответствующей областью положительной дисперсии, которая ее и перекрывает, й 15. Стационарная теория возмущений и ее простейшие приложения 227 Фиг. !5.3.
Комбинационное рассеяние света: ям-эяергяя падающего фотона; ям' я яю"-эяергяя рассеяяяык фсгеяса, отвечающие «стсксеаым» я «аатастексеаым» ливиям. Комбинационное рассеяние света. Проанализируем явление дисперсии с точки зрения энергетической схемы. Предположим, что на атом, обладающий всего лишь тремя уровнями Еь (Еа(Е» (фнг. 15.2), падает фотон с энергией е= йш.
Вообще говоря, рассеяние этого фотона представляет собой эффект второго порядка и может происходить двояким путем: 1) вначале произойдет поглощение падающего фотона (при этом электрон, находящийся в начальный момент на уровне й, перейдет в некоторое промежуточное состояние, которое, вообще говоря, может быть и запрещенным ' (фиг. 15.2, 1), а затем непускание рассеянного фотона; 2) сначала атом испустит фотон (фиг. 15.2, О), а потом только произойдет поглощение падающего фотона. Если электрон после этих двух процессов возвратится в свое прежнее состояние, то согласно закону сохранения энергии частота ш' рассеянного фотона равна частоте падающего фотона ш. з Может оказаться, что из промежуточного состояния электрон перейдет не на начальный уровень й, а на уровень гг', лежащий выше, или на уровень й", лежащий ниже, чем уровень (г (фнг.
15.3). Тогда частота рассеянного света (го' или ш") не будет равна частоте ш падающего света. В таких случаях говорят о так называемом комбинационном рассеянии, или р а м а н - э ф ф е к т е. Экспериментально комбинационное рассеяние света впервые было обнаружено в жидкостях индийским физиком Раманом, а в твердых телах — советскими физиками Л.
И. Мандельштамом и Г. С. Ландсбергом (1928). ' Точнее, в промежуточных состояниях закон сохранения энергии может нарушаться. Только в окончательном результате этот закон должен выполняться. Я В случае резонанса (ы = ыь,ь) наряду с рассеянием фотоны могут также поглощаться, а электроны в атоме совершагь вынужденные переходы. Вероятность вынужденных переходов определяется коэффициентом Эйнштейна Ваь, (фиг. (52,Л!). Наличие внешнего поля может также усилигь переходы сверху вниз Тогда наряду со спонтанным появляется еще и вынужденное излучение, пропорциональное коэффициенту Ваа (фиг.
!5.2, ((Г), 15' 228 ч д с т ь у. нгрелятивистския квантовая механика в' = в — ве й ( в, (15.61) называемые стоксовымн линиями (смещение происходит в сторону «красной» части спектра), соответствуют возбуждению атома, так как в результате рассеяния атом оказывается в энергетически более высоком состоянии. Во втором случае возникают так называемые антистоксовы линии (смещение происходит в сторону «фиолетовой» части спектра) (15.61а) вм = в+ вее. ) в, причем они могут появиться только в том случае, когда свет рассеивается на возбужденных атомах (фиг. 15.4).
Важную роль комбинационное рассеяние играет при исследовании строения молекул. В самом деле, ротацнонные и вибрационные (а также вибрационно-ротацнонные) спектры расположены в глубокой инфракрасной области (см. 6 12) и поэтому труднодоступны наблюдению. Изучая же комбинационное рассеяние, можно иметь дело с видимым светом н судить о спектре молекул лишь по изменению частоты в результате рассеяния. * Эффект Штарка. Если атом поместить в постоянное электрическое поле, то его спектральные линии, вообще говоря, могут расщепляться. Такое явление было обнаружено в 1913 г. в опытах Штарка. Эффект Штарка не нашел своего объяснения в классической теории, и только квантовая механика позволила построить теорию этого эффекта, В самом деле, согласно классическим представлениям движение электрона в атоме всегда можно разложить на три взаимно ортогональных колебания.
Направим ось з параллельно постоянному электрическому полю Е(Е„= Е„= О, Е, = св ). Тогда для описания колебаний по оси з ' получаем уравнение (е = — еа): гп й+ гпаваз = е и, (15. 62) ' На остальные два колебания по осям к и у, перпендикулярным к Е, электрическое поле не действуе ь Фиг, 1бги Наложение молекулярных частот на частоту падающего света: и — спектральная линия ы беа учета молекулярных колебаний; б — смечиенне спектральной линии, обусиоилеиное моленуляр.
ными нолебеинями: ы' ы-ые.а и + ылл« Как видно из фиг. !5.3, частота рассеянного фотона в раман-эффекте может быть как меньше, так и больше частоты падакнцего. В первом случае линии й !3. Стационарная теория возмущений и ее простейв|ие приложения 229 где тпо — масса электрона, а що — круговая частота его колебаний. Нетрудно видеть, что решение уравнения (!5.62) имеет вндэ г = — — ', + Асов(отву+~р). (15.63) нэсыо о"„,= — ' = 5 ° 1Оэ в/см аэ а (здесь ав — радиус первой боровской орбиты), для решения поставленной задачи можно использовать теорию возмущений, относящуюся к вырохсденному случаю, причем в качестве возмущения Г мы должны взять потенциальную энергию электрона во внешнем электрическом поле )т' = ево а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
