Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 32
Текст из файла (страница 32)
~ г Я„'г г(г = 1. о (13.57) Отсюда находим величину 0(г), характеризующую распределе- ние плотности вероятности по радиусу: В(г) =г !гп!. (13.58) ' Есяи воспользоваться классическчм выражением для е (см П3 3911 и подставить вместо квадрата момента ьт его квантовые значения, то мы най. дем ем се го (13 551 .=)/ 1(1-1-! ) (13.55з! т.
е для з-состоячий в обратится в единицу, как для параболы Позгоггу дополнитслы!ьгй к (.г член, рзьпыи й' !см (!3531!. следующий ич кп.!нтового опредеыиия е, исправляет згу неточность (для з-состонннр сч.1!. Круговые орбиты. Для того чтобы найти вероятность распределения электрона по радиусу, воспользуемся условием нормировки для радиальной составляющей волновой функции и !а. Теория аодородоподобпого атома (проблема Кеплера) !ав о т~ нон плоппютп орбит. 0(г) Гоа В случае круговых орбит, когда ! = и — 1, а радиальное квантовое число й = О, последнее выражение дает 0 (г) = г')т'„„ (13.59) Принимая во внимание, что согласно (!3.26) Р„„, = сопз! и-м«р"-', для плотности 0(г) найдем следующее значение (фиг. 13 2): тат 0(г) = сопз1 г'"е (13.60) (ло(г) ) 0 (13.61) имеем: пт г =а= — ао и т О (13.6! а) В частности, при л=! и и=! (наинизшее состояние атома водорода) найдем радиус первой боровской орбиты: ат ао= —, = 0,5 10 см.
«тоно (13.62) * Эллиптические орбиты. Если ! ( а — 1 (й Ф 0), то движение можно назвать эллиптическим. При анализе этого случая по квантовой механике мы должны исследовать распределение плотности вероятности 0(г) = сопз(«моте н«(Я",+') = сопз!рм«'е «(Яи+') по радиусу. Нетрудно показать, что функция 0(г) имеет при р = О, р = ео и Я'-«ы = 0 (й корней) А + 2 минимумов, ко~да она обращается в нуль, и й+ 1 максимумов, ко~орые могут бысть Отсюда, определяя то значение г, при котором эта функция до- стигает максимального значения 1во ч х с т ь т.
неавлятнвнстская квантовая механика найдены из уравнения с)г)аг е1 ]2 (1.1- 1) — р] Яааг+ + 2р — = О Область изменения радиуса (г, ( г < га), в которой функция 0(г) описывает колебательный процесс и соответствует в классическом приближении эллиптической орбите, когда расстояние частицы до центра также изменяется в этих пределах. е Понятие о гиперболических орбитах.
В случае гиперболических орбит уравнение (13.2) можно записать в виде (13. 63) где - / 2'"оЕ , лгохе! При больших значениях г, когда можно пренебречь величинами порядка и1га, асимптотическое решение уравнения (13.63) принимает вид и,1 — /:а 2 — Ми)хг+ у!п2хг — — '+ б1) 2 йг =1 (13.63а) при помощи соотношения !сг = сопз1ге — "'Ф(1+1+ г,, 21+2, 2йсг). 1 2гнчи ' Обычно величину )г Ла мы обозна ~аем через й.
Однако а этом параграфе буквой й обозначено радиальное ьаантоаое 1нсло. В этом нетрудно убедиться, если подставить последнее выражение в (13.63). Тогда сократится не только основноп член, пропорциональный и, но благодаря введению фазы у1п2хг и член, пропорциональный игг. Фазу — ' мы-написали для того, чтобы 2 при у=О величина бг также обратилась бы в нуль, поскольку асимптотическое решение (13.63а) должно перейтн в асимптотическое решение для свободной .астипы.
Для того чтобы найти фазу бь мы должны прежде всего написать точное решение уравнения (13.63), которое имело бы место как при малых, так и при больших значениях г. Это решение может быть записано через вырожденную гипсргеометрическую функцию а н а(аж)) н' Ф(а,!),д)=1+ — — + — + ... 11 !1 !гав -1- 1) 21 В 19. Теория водороаоподобпого атома (проблема Кеплера) 191 Затем следует учесть асимптотическое поведение функции Ф при г- оо. Тогда найдем, что ~ (хт =,1-~-т1п 2хс) ал (хс —, 1Ет!п 2хс) сонм е е г1 = $Г((4-1+ т) гт (( о 1 — (т) Далее, полагая 1 (1+ 1 — (У) = ! Г (1+ 1 + (у) ! е где б, = — ага Г(1+ ! ( (у) (! 3.64) получаем асимптотическую формулу (13.63а), но уже с заданной фазой бь В случае больших (1+ (у(»1, воспользовавшись формулой Стирлинга 1 )!';Ча+ст — +2+ т~ ! Г (! + 1 + (у) ! е ' 1 = 'у 2и ( можно найти для фазы значение б~= — '(1+ — ) агс!о ( — у(!и)/(1+'/,)'+ут — 1).
(13.64а) (+— 2 Как и следовало ожидать, при у- О (отсутствие кулоновских сил) б~ — хО. (р) с =~ф гф,(лх (13.65) Подставляя сюда ф„, = у, яы, получаем: (г)„", " = ~ г(0 М )* —, ус' ) Йхтг'Р,п й. (13.66) Интегрирование по углам б и ~р дает, как известно (см, (12.24)— (12.26)), правила отбора для орбитального квантового числа Ы=1 — 1'=е! и магнитного квантового числа Ллт=т — т'= = О, +.
1, пользуясь которыми вместо (13.66) будем иметь: 1бм (г),", ™ =сонэ(~ )Ьг,~п~ ) й„~ ~г'й„,с(г. (!3.67) (6....) ' -' о Правила отбора. Спектр излучения водородоподобных атомов. Чтобы определить правила отбора в проблеме Кеплера, необходимо вычислить матричные элементы 192 ч А г т ь г пвявлятивистскля квантовая мвхлникл Однако если вычислить интеграл 1 аг г'г ~ г% Я г(г-~ го+ми'е "~" "'ганг ( — )(7*г~ —,)г(г, ()3.68) ь а то легко показать, что он не обращается в нуль ни при каких значениях и', т, е, для всех разрешенных переходов главноеквантовое число может изменяться произвольно. Принимая во внимание правила отбора водородоподобного атома, перейдем к исследованию его спектра излучения.
Для этого введем некоторые условные символы для обозначения энергетических уровней в атоме. Прежде всего спектральные термы атомов ! — Евг(й), зависящие в общем случае не только от и, но и от 1, будем обозначать через (п1), т. е. ~ — — ) =(и1), ((3.70) где и = 1,2,3, ..., а для 1, как уже указывалось в $ !2, приняты буквенные обозначения: з, п, пг, 1, д, 1г, ..., соответствующие 1 = О, 1, 2, 3, 4, 5, .... Поскольку квантовые числа 1 ( и— — 1, то могут быть только термы (з; 2з, 2рч Зз, Зр, Зо(1 4з. 4р, !г1, 41; 5з, 5р, 5гу, 51, 5д, ...
и т. д., но н ° может быть, например, термп !р, поскольку здесь и = 1 и 1 = 1, или не может быть терма 31, так как прн этом п = 1 = 3 и т. д. Частота излучения в обозначениях (п1) принимает вид: ń— Е„, ю„о = ", — = (ггТ) — (п1), ((3 7!) причем здесь необходимо учитывать правила отбора для орбитального квантового числа 1: р = 1 ч- !. Пользуясь выражением (!3.33), терм (п1) мо.кно еще представгпь в форме: гггоео л х 2 з (и!) = — —. 21г' иа и' (!3.72) В опш*м случае этот интеграл выражается через гипергеометрические грх ~глгпгг (сы, например: Г.
Б е те. Коьнтоваз 'механика гро тейших систем Л вЂ” М., ОНтИ, 1936, стр. 230), В гастносги, при переходе элйгггрона на наннизший энергетический уровень !з (серия Лаймана) легко поьазвть, что а 2 нг (и 1) л-о г'гх г„1х„г йг =— (13.69) (гг т-1) о Отсюда видно, что при чюбых возможных зна геш,а я=2, 3, 4 ... этот интеграл отли:ен от нуля. й 13. теория водородоподобиого атома !проблема Кеплера) !93 где постоянная Ридберга о слово )7 = —.
25о (13.73) Для частоты излучения ао„при этом получаем формулу: 1 1 ! аао' гсл к ) ° (л' пг (13.74) Отсюда видно, что в случае атома водорода (Е =!) для серии Лаймана, соответствуюшей переходу на наиниэший энергетиче- ский уровень и'=1, т. е. на уровень 1к, имеем (фиг. !3.3): (! 1! алкая = (18) (пр) )с '1 о г ) (13.75) где и = 2, 3, 4, .... Для серии Бальмера (фнг.
13.4), соответст- вующей переходу па уровень а' = 2 с уровней а ) 2, имеем трп типа возможных частот а'„, =(2к) — (пр), а"„„, = (2р) — (лэ), а"„,'„„= (2 р) — (лс(), (13. 76) Так как для атома водорода по орбитальному квантовому числу имеет место вырождение, то эти трн линии сольются в одну: (13.76а) Аналогичная картина получается и для серии Пашена: (13. 76б) ' Для вероятности диполвиого псрсхода пр-+1о согласно (10.55) имеем (13.75а) т.е. время всивии для атома водорода (Л-1) в состоянии 2р равно: т= — = 1,5 10 сек.
1 о Аг, 13 эак. авв гдеп=4,5,6,,... Схема энергетических уровней в атоме водорода (с учетом как дискретных уровней, так и непрерывного спектра) представлена на фиг. 13.3. На этой схеме наглядно демонстрируется вырождение по 1, проявляюшееся в слиянии всех уровней с одинаковым а в КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Е,ад вй! 1й лт 9 рлу=ймЗ (1Зыубв) ит г гтИ 194 Ч А С Т Ь Г НСВЕЛЯТИВИСТСКАЯ Фнг. !3.3. Спектральные серии атома водорода, Длины волн, соответствующие у щсынвыы ие.
реходам, вирен енм в ли~стремен Ъ~ У„Нд .,5 ' Фиг. !3.4. Спектральная серия Бальглера Длины волн, соответствующие видимым линнвм Нв. НВ, НТ и НЬ, иривслены в нгстре. мах ~лл и дает теоретитесиое иоложенне границы серии. один. Помимо обычных переходов, между дискретными уровнями в атоме возможны по существу еще два обратных друг другу процесса, а именно процессы нонизации и захвата.
При ионизации электрон переходит с дискретного уровня (Е<0), например из низшего состояния, в область положительных энергий (Е)0), образующих непрерывный спектр (гиперболические орбиты). Этот процесс происходит с поглощением энергии. Наоборот, прн захвате свободный электрон переходит на один нз возможных дискретных уровней, выделяя при этом соответствующую энергию. Для того чтобы перевести электрон пз низшего энергетического состояния (п = 1) в область Е)0, необходимо затратить энергию (фиг.
1З.З) Евон Т Е Щ+Т лтеот где Т = — ' — кинетиче- 2 ская энергия электрона, практически не свяранного с ядром. Энергия Енин определяет так называемую энергию ионнзацни атома. Своего минимального значения энергия ионизации достигает при Т = О, что соответствует переводу электрона с уровня а = 1 в состояние непрерывного спсктра с минимальной энер~иейг (Е = О), й 1З. Теорпп аодородоподобпого атома (проблема Кеплера) !95 когда электрон может покинуть атом. Для атома водорода иое , ее Е„п, = Рй! = — = 13,5 эв. зао Учет движения ядра.
До сих пор все проводимые нами расчеты производились без учета движения ядра. Поэтому построенная выше теория водородоподобного атома будет строгой лишь в случае, когда масса ядра бесконечно большая, что, вообще говоря, в особенности для легких элементов (например, для водорода и гелия) можно принять лишь в первом приближении. Учет движения ядра привел к объяснению ряда экспериментальных фактов. В случае учета движения ядра классическое выражение для энергии будет равно: 1 е ! Е= У(г, — га)+ — Р'!+ — Р~ (13.77) где та и М являются соответственно массами электрона и ядра, а г, и г, нх координатами, вместо которых мы введем относительную координату г г! гз (13.78) и координату центра тяжести т,г, +Мг, г '! т !па+ М (13.78а) В системе координат, для которой центр тяжести покоится (гп, = 0), находим: Р! = Ра = Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
