Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 27
Текст из файла (страница 27)
щения являются совершенно равноправными, поскольку а,„1. Однано там, 7 где необходимо использовать рекуррентные соотнсшенля между шаровыми функциями с различными индексами т [см. ниже формулы (12.!7), (12.18) !, например при нахождении правил отбора для рстатора (см. $12) или в релятивистской теории центральных сил (см. й 18), следует брать значение для коэффициента а в виде (11 67 б).
Наконец, найдем четность шаровой функции, т. е. ее поведение при инверсии пространства, сводящейся к изменению направления всех трех осей декартовых координат. Тогда и+гр, б- и — () или созд- — сов 6. Как видно из формулы (11.61), в этом случае Р~' (х) -ь Р! ( — х) = (- Вг+жР~ (х), а е'"" е' " ес ж= 1 — !)'"е' е, Поэтому шаровая функция при инверсии пространства будет преобразовываться по закону; У. (0, Р) = Ог Р,'и(х) е' е- ( — !) Уг™((), <р), )'2п Отсюда видно, что орбитальное квантовое число ! характеризует четность паровой функции, При четных ! шаровая функция будет четная (при инверсии пространства она не изменяет своего знака), а при нечетных ! — нечетная (при инверсии пространства она изменяет свой знак на противоположный). физический смысл квантовых чисел т и !.
Момент количества движения. Выше мы нашли, что квантовое число! характеризует собственное значение ).= г(!+ !) оператора — Чо е (см. При интегрировании же по углу д в полиномах Лежандра следует положить т'=т. тогда, не ограничивая общности, можно выбрать !'<!. Случай !'=! только что рассмотрели при определении нормировочного коэффициента.
С помощью аналогичного способа легко пока~ать, что при !'<! в результате переброса производных с функции, характеризуемой индексом !4-т, на функцию с индексом !о-ш интеграл (11.68) обратится в яуль 2. С помощью соотношеаия (1!.62) мы мо кем выражение дли шаровой функции (11.67) представить в виде У (б, ! = о т~ Р1~ '(соз б) е'~Е, (1!.67а) "' 1' 4и(!+)щ()! (11.22) и (! !.51)[, входящего в кван~оное операторное выражение функции Гамильтона (т.
е. в гамильтониан): грч~ ьтв л~р Н = — ч + Г(г)= — ч ' — ч ',— + Г(г). (11.69) Сравнивая последний гамильтониан с классической функцией Гамильтона щ„ст р- те Н = —,-'- Г(г) = — +, + Г(г), (11.70) где р„=лтег, а (.=тог'ф, мы видим, что оператору ( — д Че, ч) в классическом случае соответствует квадрат момента количества движения (.т, а оператору ( — л Ч,) квадрат радиального импульса р'. Исследуем это соответствие более подробно. Как известно из классической механики, момент количества движения Е определяется формулой Т =[гр[ (11,7! ) Заметим, кстати, что если имеется момент М = [гг[ внешних спл г', то изменение Е со временем будет происходить по закону — =М, Л.
лг (!1.72) причем в случае центральных сил (г[!г) момент внешних сил М обращается в нуль и мы имеем Е = сопз!. Этот результат известен в классической механике как закон сохранения момента количества движения и используется, в частности, в проблеме Кеплера как закон сохранения секториальной скорости. Чтобы обобщить классическое выражение момента количества движения на квантовый случай, мы должны в выражении (!1.7!) класси ~еский импульс р заменить оператором импульса в р = —. Ч. Тогда буде:,*. иметь: 1. = [т р[ = —. [гЧ[, л ! (11.73) или = ур* яра 1.„= гр — хр„ 1,=хр„— ур . (! 1.74) Прежде всего заметим, что операторы компонент момента количества движения 1ии [н и )., не коммутируют между собой.
б (1, Общая теория ааижеиня частин и иентрально-симметричнам пале !бт 168 ЧАС ГЬ 1. ИЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА В самом деле, определяя, например, перестановочные соотноше- ния между 1„и 1.у, находим: 1.„(,т — 1,Т1„= (ур, — гр„) (гр„— хр,) — (гр, — хр,) (ур — гру). !.х(.9 — ЕР1 = — И(ур„— хру) =И1, (11.75) Аналогично можно показать, что 1Е1 1 1 =И1 1.,1 „— 1 „1, = И1 „. Чтобы выразить в сферических координатах оператор квадрата момента количества движения (11. 76) 1.т = 1.'„+ 1 г + 1.', (11.77) вычислим сначала в сферических координатах составляющие Е„, (.„и 1, Принимая во внимание соотношения (1!.2) между декартовыми и сферическими координатами, имеем: дф дх, дф ду дф дг — — + — — + —— дх дд ду дв дг дб = гсовбсовф — +гсовбв!пф — — г япб— дф дф .
дф дх ду дг хг дф уг дф дф = — — + — — — р —, р дх р ду дг ' дф дб (!1.78) дф дф дх дф ду дф дг — = — — + — — + — — = дф дх дф ду дф дг дф = — г яп бяп ф — + г яп бсозГр — = — у — + х —. (11.79) дф .
дф дф дф дх ду дх ду Умножая (11.78) на —, а (11.79) на ( — У, 1 и учитывая, что р'=х'+у', после сложения этих двух равенств придем к со- отношению г -= — х — = сов Гр — — в! п ф с1п б — . (1! .80) дф дф дф дф дх дг дб дф Если же равенства (11,78) и (11.79) умножить соответственно иа ( — — ) и ( — —,), то аналогичным способом получим: р) ( у) у — — г — = — '(яп 1р — + сов1р с!О б — ~. (11.8!) дф дф ! . дф дф 1 дг ду 1 дб дф!' Пользуясь далее перестановочными соотношениями между импульсом и соответствующей координатой [см. (7.25а)), находим: равенства (11.79) и (11.74), находим, что — — ~ з!п ф — + соз ф с!ц б — ~, (11.82) л!.д д дд э Л ! д д — )созф — — з!пфс!аб — ~, дд дф ! л д (11.84) дф Отсюда, учитывая (11.83) Вводя переменную х=созб (эту переменную не следует путать с декартовой координатой х), выражения (11.82) и (11.83) можно представить в виде 1.
ь Л.э=лен'е !1! х д д — ч- )'Т вЂ” х' — ~. (11.85) 1' 1 — х' дф дх Чтобы определить действие этих операторов на шаровые функции, воспользуемся тем обстоятельством, что одну и ту же шаровую функцию можно представить двояким образом: либо в виде (!1.67), либо в виде Действуя оператором 1., непосредственно иа шаровую функцию, находим: 1-Л'!" = Лпе у! . (11. 87) о* ° .,~„„, -. «......,......р.„„„, „„р„„,„ о ..~ -.
д..ь При определении же действия оператора ),+1).э на шаровую функцию подставим вместо У! ее выражение (11.67), а при действии оператора 1,„— Л „— эквивалентное выражение (11.86)„ Тогда из равенства х д . д т Еь«Р(! — т- т/! хт — )е' е(1 — х') ' !(т)= 1' 1 — хэ дф " дх — лщояии(! Хт) э ~~4 дх следует, что (1 * ~ '1-э) 1~ = " у (!+ ! ~ лт)(! ч- и!) у!" '.
(11,88) ' В этом равенстве следует положить д! т !(х) = (хт — !)!. Ых и й !!. Общая теория движения частиц я центрально-симметричном поле !бя ! ба ЧАС1 ь ! нсгслятивистсххя кьхнтовхя %1ххиик1 С помощью последних соотношении находим 1 У~(1+~1)(1ар)+ -г —. (Б — 11 а)(Е.
+11-„)+(.:1УГ= = — Ь Чэ, ч У; = — Ь'! (1+ 1) У~ . (1!.88а) Отсюда видно, что У~ является собственнои функцнеи операторов 1, и 1.~. Это возможно, так как операторы Б, и )-э коммутируют друг с другом, а также с гамильтонианом Н. Поскольку же операторы 1., и (., не коммутируют с (.„то поэтому нельзя подобрать такую волновую функцию, которая являлась бы собственной функцией как оператора (.„так н операторов (., нлн 1.„. Это, однако, не означает, что произвольное направление з является каким-то преим)щественным. Можно записать шаровую функцию таким образом, что оца будет собственной функцией операторов (., и ( э. Тогда она не будет собственной функцией оператора 1, (см, ниже (!2.38)).
Ь=Р = — =гпэгф=сопз(, дг э=э„,= о (! 1.89) Применяя правила квантования, находим дискретные значения, которые может принимать этот моменз Р гйр= 2пйв — — 2пвп, Ф Ф' откуда йь= п,,Ь (11.90) где квантовое число а„=),2,3,..., (!1.91) Кроме того, если ось г направлена не перпендикулярно к плоскости орбиты, то, следуя боровской теории, можно произвести квантование проекции момента на ось г, т. е. произвести так называемое пространственное квантование. Анализ полученных результатов.
Как правило, при анализе квантовых результатов или находятся их классические аналоги, или производится сравнение с полуклассической теорией Бора, результаты которой имеют простую физическую интерпретацию. При исследовании движения в поле центральных снл по теории Бора прежде всего воспользуемся классическим законом сохранения момента количества движения, из которого следует, ч~о движение должно происходить в одной плоскости, а момен ц направленныйперпендикулярно к этой плоскости, долмген иметь значецне Тогда (1 в)а — нпо (11.92) где квантовое число п,у= — пч, — по+1, ..., О, ..., п, — 1, п,, (11,93) Произведем сравнение кваптовомеханических результатов с результатамн боровской теории для квадратов моментов и их проекций на ось г.
= Й1(1+1), Лв=й пт 1=0, 1, 2, 3, ..., пи=1, 2, 3, 4, „(11.94) Е., = ат, (Х.г)а = йпо, — 1~ (гп ~(1, — и (па(~ п,, Отсюда видно, что (.т при 1=0 обращается в нуль, в то впемя как Ьв не может вообше обратиться в нуль. Таким образом, со- стояние с 1=0 не имеет классического аналога. Отсюда, в част- ности, следует, что механический момент атома, находящегося в наиннзшем состоянии, вопреки результатам теории Бора, обра- щается в нуль. Экспериментальные данные из области спектро- скопии атомов целиком подтверждают этот кванговомеханиче- ский результат.
Далее, согласно боровской теории, за направление орбиталь- ного момента можно выбрать направление осн г. В этом случае п, =по, и поэтому (11.95) (4 = (Лв)' „„„ По волновой же теории такой случай соответствует па=1, когда 2 2 т Тх иткс в то время как Ь = а 1 + йт1 = 7.~ ч,„, + Ь'1.
(11.96) (11.97) Появление дополнительного орбитального момента Ьт( связано с некоммутативностью операторов проекций момента Е„(.т и 1., друг с другом, благодаря чему их все невозможно задать точно. Поэтому, когда 1.,=-)х„„„, = й1, проекции 1„и 1„не обращаются в пуль и принимают некоторое минимальное значение, в связи с чем 7.т= Лт +(Ай )т +(ЛТ. )т (11.98) мивимальное значение (ЛТ х)' и (Лбу)т может быль получено с помощью соотношения неопределенности !см. (7.27)] (Л! х)-'„„, (Лх у)нанн = 4 ! 1 х) у — 1 у1 х ! = 4 й Л. макс — 4 (11.99) ф Ч К Оавля теория аиюиеиии чистии и иеитральио-симметричном поле !6! гвэ Ч А С Т Ь 1 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА В силу симметрии задачи относительно осей х и 1! можно положить (Л(„)2 =(ДТ.,)2 ... откуда получаем: (ййи)иин ( у)иин з ' (!1.!00) сумма же (ЛЕ,)2ии и (Л7.„)'и„как раз н равна дополннтельчому моменту 1>% В результате приходим к соотношению (11.97).
Таким образом, природа этого дополнительного члена та же, что и природа нулевой энергии гармонического осциллятора,т.е. связана с соотношением неопределенности. Заметим, что в области больших значений орбитального квантового числа 1 членом й2! в (11.97) по сравнению с В212 можно пренебречь, и мы в этом случае имеем фактически полукласснческое боровское решение. ф 1Д РОТАТОР И СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ Ротатор представляет собой частицу, движущуюся вокруг неподвижной точки, находясь от нее на одном н том же расстоянии. Таким образом, ротатор мы можем рассматривать как свободное движение частицы по сфере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
