Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(10.5) '!'огда полное р~шение нестационарного, но невозмущенного уравнения Шредингера ( — —" —" — И') фе(1) =О (10.6) мы можем предсзавпть в вале ~в„с фе(г)= ~~С„е ' ф„, в (10.7) В звх ыв где ф— некоторые постоянные коэффициенты, квадрат модуля которых характеризует вероятность нахождения частицы в квантовом состоянии а. При учете в уравнении (10.3) энергии возмущения Г мы общее решение также ншем в форме (10.7) ]лр„и ń— собственные функции и собственные значения стационарной задачи (!0.5)], но вводим дополнительное условие.
согласно которому коэффициенты Св должны быть функциями времени. Матемц- !за часть ь иееелятивистскля квантовая механика тически этот метод напоминает решение дифференциальных уравнений способом вариаций постоянных коэффициентов. Поскольку под действием возмущения вероятностные коэффициенты С„сами должны быть функциями времени, становится возможным описать переход электрона из одного квантового состояния в другое. Подставляя решение (10.7) в уравнение (10.3) и считая, что коэффициенты С, зависятот времени, мы найдем, учитывая еще равенство (10.5): ~~ —,. С„„ф„„е " =,)' У'(!)С„„ф„„е " " .
(10,8) Умножим обе части равенства на ф„",е" " гак, н проинтегри« руем по всему пространству. Тогда, принимая во внимание ус« ловие ортонормированности ) $„',ф„„арх=б„,„„, (10.9) получаем систему следующих уравнений для определения коэффициентов С„н (10.10) где частота Е„, — Е„ гамп.= а матричный элемент (10.11) (г) / ф' р~(!)ф,уз„ (10. 12) С„=С„+С„+С„+ ..., (10.13) где коэффициенты нулевого приближения С„не должны завио сеть от Г. Коэффициенты же первого приближения С„'„второго приближения С„", и т.
д. должны быть пропорциональны соответственно Г, (У') и т. д. Подставляя (1О.!3) в (!0.10) и учитывая лишь члены нулевого и первого приближения, находим следующую систему урав- Заметим, что система уравнений (10.10) является точной, т. е. совершенно эквивалентной начальному уравнению (10.3). Однако в общем случае решить ее точно невозможно и аппроксимация теории возмущений состоит в том, что решение ищется в виде разложения й 1В.
Теорие переходных процессов пений для определения коэффициентов Сл: С, =0 (нулевое приближение), о (10.14) — —. С, = ~~~ С„.е' "л'""$'„л (!) (первое приближение) л" и т. д. Первое из уравнений (10.14) показывает, что искомые коэффициенты в нулевом приближении не должны зависеть от времени, т. е. С„= сопз!. (1О. 15) Их значения задаются начальными условиями и характеризуют начальное состояние электрона до того, как на него начинает действовать возмущение.
Допустим, что в начальный момент времени, т. е. прн ! = 0 элеитрон находится в состоянии и, Тогда можно написать С'„- = блл-. (10. 16) Последнее выражение определяет начальные условия нашей задачи. Подставляя (10.16) в (10.14), находим (и' = п): Сл' = Сл (1) = — — ~ с(1еоол л$г', (1) (10.17) о Как правило, в квантовой механике вычисляется вероятность перехода ш за единицу времени. Учитывая, что вероятность нахождения частицы в состоянии п' равна квадрату модуля амплитуды ! С„ ~', для вероятности перехода в единицу времени, получаем выражение (10.!8) Формулы (10.18) и (10.17) н лежат в основе исследований многих квантовомеханических задач первого приближения нестапионарной теории возмущений.
С помощью этих формул можно, в частности, построить теорию переходных процессов. *Вывод коэффициентов Эйнштейна по квантовой теории излучения. При определении энергии возмущения в формулу (!0.4) мы подставим вместо вектора-потенциала [см. (9.15) и (9.25)) выражение А = —, т 1,' — (а(х)е '"'е'"+а+(х)енес-1 ! (10.19) 1 %з l 2псл дь х 3 132 Ч А г Т Ь ! НЕРГЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЬХАНИКА при условии, что амплитуды аз(н) подчинены перестановочным соотношениям (9.51), а частота ю = сх.
Тогда для коэффициентов С„(0 согласно (10.17) найдем ' (нл'л н) г Сл (()= ",, ~ 1хг ' ~ пг'хз(з*,емг(а(х)р)зр — ' л е "" ) — 1 — ~ 'хф„, -'"'(а'(н) РИ„' ' . (10.20) Если мы хотим исследовать излучение фотонов, то в последней формуле следует оставить член, пропорциональный а'(н) (оператор испускания). Тогда имеем: ' (з'ла' н) à — ~ г(зхз!з*„,е-'"г (алр) ф, юа (оз „,— ю) (10.21) (спонтанный Сл (() = Отсюда для суммарной вероятности перехода плюс вынужденный) д шлл = Алл + р(м)Влл = — Сл (() Сл (() (10.22) получаем ш где матричный элемент гз„, = ) гРхзр*„.е-м" ртр,.
(!0.24) Сделаем далее переход от ряда к интегралу при помощи соот- ношения ' чар~ З з (! 0.25) а также учтем, что при достаточно больших значениях времени мы можем положить ззп (ю ехал') 1 = б (ю — сола ). (! О. 26) ' Для обоснования (10.25) следует воспользоваться равенством (9.11), 2н нз которого следует, что Лн» = Лнн = Лнз = —. Отсюда при переходе и н пределу б-ь ю получаем (10.25). $ 10. Теория переходных процессов 133 Примечание Равенство (!0.26) о я«знает, что Г сап(ы — ы„„,) ! 1(ш) пю =1(ы„„,).
яп (10.27) Лля доказательства последнего соотношения в левой части равенства Пб 27! сделаеи замену ( чч')» тогда оно принимает вид Г 1 .Г й) . ! Г з!пй — — 1~ .+Х)д;-=1(,) — ) — еЛ. ач' Г) яч' ) ичжг Здесь иы перешли к пределу !-» со. Учитывая затеи, что 1 Г Мп', — — 'Цэ=!, и ) мы докажем соотношение 0027), а вместе с тем л (!026). Вообще говоря, сама функция, стоящая а левон части равенства (!0.26), имеет острый максимум при ы= ы„„,.
Однако для конечных моментов вреыени 1=11, прошедших от начала процесса, эта функция допускает «разброс» (т. е. будет практически отлична от нуля) лля интервала частот )Лы! =)ы †я.1, лежащих в области !йш!61 1, что эквивалентно разбросу энергии !аеЬ! — а. (!028! Последнее соотношение иожно рассиатривать как че~вертое соотношение неопределенности. Оио хорошо известно в любом волновом процессе. В частности, в классической оптике оно характеризует уширение спектральных линий, связанных с конечным значением длительности излучения (см. также й з) Формула (10.25) для достаточно больших времен à — оо приводит к постулату частот Бора или к квантовой формулировке закона сохранения энергии го — шияц (10.29) где ń— Е„, шлч = (10.30) (аР„"ы) (а'Р„ы) = 5 (1 + йГ (шхе) ), (Р" Р ) (мер )Гмер (10.3!) где (16.32) Таким образом излучение возможно только при переходе с более высоких энергетических уровней на более низкие Е„ ) Е„.
Используя далее перестановочные соотношения (9.51), легко показать, что ва4 Ч А С Т Ъ 1 НЕРЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Перейдем далее к сферическим координатам волнового век- тора х (х = —, 6, гр), когда с ' мг ггы г!О с' (10.33) где с(ьс = з!п ~Ыбт!гр — элемент телесного угла. Предполагая, что внешнее излучение изотропно, т. е. число частиц не зависит от сферических углов б и Чг (й! = Лт(от) ), найдем после интегрирования по 6-функцни следующее значение для вероятности перехода сверху вниз (с излучением света) '. иг„„= ", (! + У(от„п))~ звало. (10.34) 2лпг(с~э С другой стороны, перепишем равенство (10.22) Пгпп' = Лпп'+ рцппп (10.35) Сопоставляя две последние формулы, мы видим, что вероятвость спонтанного перехода (ттт = 0) определяется выражением (1О.
35) Из последних формул находим: гт'с' д,в (1О. 40) г Заметим, что после интегрирования оо б-функции в выражении лля 5 слехует положить си - ы„ым'. Для вероятности же вынужденного перехода имеем (10.37) р Для того чтобы число частиц тт' выразить через плотность р, будем исходить из следующих соображений. Плотность энергии электромагнитного поля равна и = ~ р (от) с(от. (10.38) о С числом же частиц !у(от) ее можно связать при помощи формулы (изотропное излучение) и ~ з = з ~ ха с(хМ(от) = г в ~ от ЙоМ(от). (!0.39) е о $10. Теория переходных процессов Отсюда, учитывая еще (10.37), имеем: песе В„= —,„, А„„. (1О. 41) Определим далее вероятность перехода с нижнего состояния л' на верхний п, т.
е. найдем вероятность перехода с поглощением света. Для этого в формуле (10.20) мы должны поменять местами уровни п (в данном случае конечный) и и' (в данном случае начальный), а также оставить члены, пропорциональные амплитуде а(х) (оператор поглощения). Тогда имеем: / я (олл' о) я С (1) = ме,~~ )/ — ~ с(Яхф'ем'(аР)ф„,. (!0,42) а,а,+ (1 + ЛГ), а+а йГ~а пе Я 5 ю х Поэтому при вычислении вероятности поглощения света ш„.„мы получим результат (10.34), в котором вместо множителя (1+Ж(сояо)) будет стоять множитель Л'(оз„„), т. е.
гря я = Р Во о =,"", У(соня) ~ с(РЯ. 2пиРюсзй (!0.43) Отсутствие единицы говорит о том, что поглощение может быть только вынужденным (спонтанное поглощение, как и следовало ожидать, должно отсутствовать). Сравнивая формулу (10.43) с формулой (!0.34), имеем: (1О. 44) т. е. вероятности вынужденных переходов сверху вниз и снизу вверх оказываются равными и пропорциональными соотвезствующей вероятности спонтанного перехода [см. (10.41)].
Сопоставляя формулы (10.42) н (10.21), мы видим, что их правые части представляют собой две комплексно-сопряженные величины. При вычислении квадрата модуля обе величины должны дать как будто один и тот же результат. Однако здесь, благодаря тому что амплитуды а и а+ являются операторами, возникает одно существенное различие, имеющее большое принципиальное значение. Как видно из формулы (9.5!), Ч ЛЕТ Ь ! НЕРЕЛЯТНВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАННКЛ Подставляя соотношения (10.41) и (10.44) в формулу (О.б), дадим квантовомеханическое обоснование формуле Планка: Гпм' 1 НЕС»»Апя»Г (! 0.45) характеризующей распределение спектральной плотности равновесного излучения. Напомним, что первоначально формула Планка была получена из принципа соответствия (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
