Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 24
Текст из файла (страница 24)
4 2), путем обобщения соответствующей классической теории на квантовый случай, Дипольное, магнитное (дипольное) и квадрупольное излучение. Исследуем спонтанное излучение в более точном, чем в дипольном, приближении. Полагая в формуле (10.34) % = О, найдем для вероятности перехода следуюп!ее выражение; В „СЬ (1О. 46) где 5 определяется формулой (!0.32), а для матричного элемента Рп» мы имеем выражение (!024). Определив вероятность спонтанного перехода, можно легко вычислить также и соответствуюгцую интенсивность излучения )Г'пп = ага»п»4»пз (10.47) е-'"' = 1 — 1(хг), (10.48) найдем для матричного элемеята ! !0.24) значение Р; Р Г((иг) Р) р (10.48) а танже и вероятности вынужденных переходов по формулам (10.41) и (!0.44). При вычислении матричного элемента (!0.24) следует учитыг вать, что величина (хг) — — является малой.
В самом деле дли- Л на волны излучаемого света Л вЂ” 10 'см, а размеры атома г— г — 1О ' см. Позтому — = 10 « 1. Л В дальнейшем наряду с днпольным членов ((нг) 0) мы учтем еще члены, пропорциональные (хг), которые позволяют определить так называемые квадрупольное и магнитное (дипольное) излучения.
Тогда полагая !зт й ГП Теория переяодиых процессов которое легко получить, если подставить сюда выражение для гамильтонпана Н = — — + р(г). ра зпаа Заметим, что в (!0.50) оператор Ч действует только на функцию )() Полагая в формуле (10.50) функцию ! равной х, найдем, что ! — в,х, — — — с(р ааа ил и в векторной форме (10.51) (10.52) Р. = — ств,г,. и и О оп' и'и' Полагая далее ! =.Т(хг), получаем ! — в„„,(х(хг))„, = — ((хг)р, + х(хр) — с!!хе), Заметим, что последний член правой части равенства в силу ортогональности собственных функций (л'~л) равен нулю (х,) = х„б„,„= О. Поэтому в векторной форме последнее соотношение можно записать в виде — в, (г (хг)), = — ((хг) р + г(хр)), .
(10.53) ! Учитывая (10.53), второй член правой части равенства (!049) можно представить в виде ! ! ! (,.г) р — (хг) р+, (хг) р — (хг) р — г(хр)— сто!цел' — г(хг), Отсюда для матричного элемента (!0.49) в нашем приближении находим следующее выражение: Рс = — мп„в„.г, + — ((х (гр)!)„, —, (г(хг)),, (10,54) Первый член в правой части равенства (!0.54) описывает обыч- ное дипольное излучение, второй — магнитное (дипольное) и, на- конец, третий — так называемое квадрупольное. где р„,„= ~ ар'„.рар„сг!ах — матричный элемент оператора импульса.
Воспользуемся далее следующим тождеством: в„,„(1(г)), = — (Н1(г) — 1(г) Н)„,„= — ( — (Ч)р) — — ' Че1~ (!0.50) !за Ч А С Т Ь Е НЕРЕЛЯТИВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Найдем прежде всего вероятность дипольных переходов. Подставляя первый член правой части равенства (10.54) в формулу (10.32), получим: 5 = Н22В22,[(г', г, ) — (хлг", )(и'г, )). Последнее равенство легко проинтегрировать по углам с по мощью соотношений: ~ ~И= 4н, ~ (НЕА) (хо!У) г(1) н (А71) (! 0.55) Тогда находим значение для вероятности дипольного перехода 2 З (10.56) где (10.57) Если ввести матричный элемент дипольного момента 2(л л = ЕГл л, (! 0.58) который в класснческом приближении играет роль магнитного момента (более подробно см. 3 16), найдем: Учитывая при интегрировании по углам равенство (10.55), для вероятности магнитных переходов получаем следующее выражение: 4 (! 0.62) Так же как и в классическом случае, магнитное излучение отли- чается от электрического заменой дипольного электрического мо- мента дипольным магнитным моментом.
то выражение (10.56) можно представить в виде 4 ~10.59) Вычислим далее вероятность переходов, обусловленных магнитным излучением. Подставляя второй член выражения (10.54) в формулу (10.32) и вводя оператор й 1О. Теория перехопяых процессов Как мы увидим в дальнейшем, вероятность магнитных переходов (в особенности в атоме) во много раз меньше вероятности электрических переходов. Наконец, вычислим вероятность квадрупольных переходов, Подставляя третий член правой части равенства (10.54) в формулу (!0.32), будем иметь: 2 4 Я =, [(х,(и г)) (х,(н г)) — ((ног) (ног))', ((ног) (ног))„,„1, (10,63) причем по индексу з, входящему дважды, мы должны просуммироватьот!доЗ (х~ =х,хе=у,хз=г), В данном случае при интегрировании по углам, кроме (10.55), следует учесть еще выражение: (моА) (ло18) (ноС) (хоО) с(() = оц ((АН) (С0~) -1- + (АС) (ВО) + (АВ) (НС)).
(10.64) Тогда с помощью равенства (10.46) для вероятности квадрупольного перехода находим: А,'„';" = „",", ~3 (х,х,,)"„,„(х,х,,) — (г')',„(г')„,„1. (10.65) Вводя далее понятие квадрупольного момента (тензор) 1;1,г = е (Зх,хг — геб„,), мы окончательно получаем: (10.66) Излучение гармонического осциллятора. Рассмотрим на примере гармонического осциллятора вопросы, связанные со спонтанным излучением. Как было показано в $ 8 (см. формулы (8,68), (8.69)1, отличными от нуля будут только следующие матричные элементы координаты (10.67) где !40 ч л ст ь з иррелятивистскля квлитоеля мехлиикл т.
е. дипольные переходы возможны лишь между соседними уровнями и правила отбора для дипольного излучения имеют вид: Ли=и — и'= -~- !. (10.68) В частности, спонтанный переход возможен по схеме пи — ! (фиг. 8.1). Соответствуюшая частота излучения Да — ба- ~ ып. л-1 (10.69) равна механической частоте колебаний. Здесь мы учли, что согласно (8.28) Е„= Ьсс(и+')2).
Для интенсивности излучения найдем согласно (10.47) и (10.56) выражение аиа 2 еав' 2 еаааа (на"." 1 = 3 иаез = 3 а (Еа Ес) (!О 70) 3 тас' 3 тас' где ! Ее= —,вм. 2 Полагая Ь- О, мы получим для энергии излучения гармонического осциллятора известное классическое выражение (см. (8.!0)] (10.71) 3 т,с' С помощью формул (10.47) и (10.66) находим следующее выражение для и~зтенспвности квадрупольного излучения: (уаалаар аа' ( )Е е аа !3са ' а'и' (10.? 3) Матричный элемент произведения двух оператоьов может быть вычислен по формуле (8.89) (сумма произведений соответствуюшей строки на столбец): (хз)„.„= ~ х„,,х,„. е-О (10.74) Переходы в более высокие энергетические состояния и — и + ! возможны лишь при вынужденном поглощении.
Спрашивается: возможно ли в случае гармонического осциллятора излучение гармоник? С этой целью мы подсчитаем интенсивность квадрупольно~о излучения, которая пропорциональна матричному элементу (хе)к,т поскольку ссср= (е„=- — е(хе), Я,=2е(х'). (10 ?о) й 1а Теория переходных пропессов 141 (хе)лее „= — ' 3/(и + 2)(п + 1) (хе)„л = х„'(и ч- '1,). Таким образом, правила отбора для квадрупольного излучения осциллятора имеют вид: Лп=п — и'=О, -~-2.
(10.75) (10.?б) В частности, в случае спонтанного излучения, когда и — в и— — 2, должен излучаться не основной тон (как для дипольных переходов), а первая гармоника Ел — Е„ сол. л-е = л = 2ов. (10.77) Учитывая формулы (10.77) и (10.75), найдем: квадр 1беа Ьаы' (Рл л-в — в е и (и 1). 1 бе лао (10.78) Производя замену в классическом приближении осоп Е, получим: квадр 1бе Е~соа ))р 1бс тО 5 (10.79) Сопоставляя формулы для дипольного и квадрупольного излучения, мы видим, что дипольные переходы происходят при Ли = -р 1, а квадрупольные при Ьп = О, "= 2.
Так как квантовое число и характеризует четность волновой функпии (св1. (8.42)), зо дипольные переходы возможны из четного состояния в нечетное или наоборот. Квадрупольные же пз четного состояния в четное или из нечетного состояния в нечетное. Определим далее отношение интенсивности излучения. Из формулы (10.79) н (10.?1) находим: где а = —, — квадрат классической амплитуды колебаний.
От2Е лавы сюда видно, что в неРелЯтивистском пРиближении (Е((тосе) вероятность квадрупольиых переходов будет во много раз меньше, чем для дипольных. Г!ринимая во внимание значения для матричных элементов к„,„ (см (8.68)), найдем следующие три отличных от нуля значения матричных элементов квадрупольного излучения: хял (хе)л, „= —,, )~ п(п — 1), 142 Ч А С Т Ь !. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Правила отбора для дипольных переходов равны (зп = -!- 1, (! 0.81) а для квадрупольных ' ЬН=О, ч-2. (10.82) Заметим, что магнитные переходы для гармонического осциллятора будут отсутствовать, так как при прямолинейном движении механический момент, а вместе с тем и магнитный должны обращаться в нуль.
Понятие о квантовых усилителях и генераторах. Вынужденное, или индуцированное, излучение за последнее время нашло весьма большое применение при создании советскими учеными Басовым и Прохоровым квантовых усилителей и генераторов. Для простоты рассмотрим систему, состоящую из двух уровней Е! и Ез > Еь Спонтанное излучение, связанное с самопроизвольными переходами Ез -и Е! (вероятность перехода Ам) испускается по различным направлениям с беспорядочной фазой, т. е.
представляег собой некогерентное излучение. Направление распространения, фаза и поляризация вынужденного индуцированного излучения (вероятность перехода рВ„, где р — спектральная плотность внешнего излучения) должны совпадать с направлением распространения, фазой и полярт)зацией внешнего электромагнитного излучения. Это приводит к тому, что вынужденное излучение должно быть когерентным.
Полная вероятность перехода с более высокого уровня на нижний (Ез — Ег) определяется выражением ' шз! — — Аз! + рВз!, (10.88) причем частота внешнего излучения ш должна лежать в пределах ширины линии резонансного перехода Ез — Е~ шз! = >О. й (10.84) ' В оптической области дипольные переходы называются разрешенными. Все остадьные переходы обычно называют запрещенными, хотя они и могут быть разрешенными для квадрупольных и магнитных излучений. Учет последних существен именно потому, что в риде случаев слабые линни, запрещенные для дипольного излучения, обязаны своему появлению квадрупольному или магнитному излучению.
Лля атомна-молекулярных систем длина волны излучаемого света (А !О-' см) во много раз больше их размеров (а !О з сл), и поэтому вероятность квадрупольного перехода (см. (!0.80)1 понижаешься примерно в 10т раз по сравнению с дипольным. Поскольку нас интересует качественная сторона вопроса, мы ограничимся рассмотрением нзотропного излучения Обобшение теории на распространение лушй с заданным направлениелс можно зайти в специальной литературе. й 10. Теорпя перехоцпых процессов 143 Ради простоты мы ограничимся рассмотрением только резонансных переходов (ог = ым). В этом случае система может под действием внешней волны также переходить с нижнего на более высокий энергетический уровень, поглощая при этом соответст~ующий квант энергии.
Вероятность такого процесса равна (10.85) шм = РВць Обозначим число атомов в единице объема с энергией Ег через Л'г, а с энергией Е1 через Мь Числа )гг и йГ~ носят названия н аселенностей уровней. Тогда интенсивность (мощность) индуцированного излучения будет равна (10.86) рм = ЯымйгВмр. Точно так же для индуцированного поглощения имеем Ргг = йсо„И,В1гр = — Ьсог~Л,Вдр. (10.87) Принимая во внимание, что согласно формуле (10.44) В~г Вгз, для суммарной мощности индуцированного излучения и погло- щения находим значение Р = Ргц + Ргг = ЛвмрВм (гу г — гу1). (10.88) В случае термодинамического равновесия температура Т вполне определяет населенность уровней, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
