Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(11.32) Каждое из этих частных решений имеет различную физическую интерпретанию. В самом деле, решение (11.31) соответствует бегущей по окружности волне и отвечает, например, равномерному вращению электронов, в то время как решение (! 1.32) связано со стоячими волнами и соответствует, например, колебаниям электрона по некоторой дуге, Чтобы функция Ф описывала вращение электрона вокруг ядра, она должна быть выбрана в виде бегущих волн (11.31). Так как второе решение, пропорциональное е ' В, может быть получено из первого путем замены т на — тл, то, не ограничивая общности, решение следует вообще выбрать в виде: Ф=СР' В, (1! .33) причем величина т может пробегать как положительные, так и отрицательные значения, Учитывая, что волновая функция должна удовлетворятьтребованию однозначности (см.
3 4), на функцию Ф(ф) необходимо наложить условие периодичности: Ф(ф) =Ф(ф+2п), (11.34) нэ которого следует, что Еыпм ! Отсюда для величины т, получившей название магнитного квантового числа, имеем: пт=О, -Р!, .Р2, РЗ, .... (11.35) Из условия нормировки (11.30) находим С = . Непо- 1 *т зи средственным вычислением легко показать, что функции ! Ф = е'ч (11.36) будут удовлетворять условию ортонормированности мФм "ф= пипо Поскольку собственные значения пе известны, а также найдена волновая функция, зависящая от азимутального угла ф, можно приступить ь решению уравнения (11.24), в 11.
Оботая теоряя данмення частнц в центрально-снмметрнчном поле 151 Вводя новую переменную х = созд (11 37) и обозначая производные по х штрихами, вместо (!1.24) получаем уравнение: [(1 — хт) 6'!' + ~а —, ) 6 = О. (!1.38) Нетрудно видеть, что последнее уравнение имеет особые точки при х= ь1. В этих точках один из коэффициентов при В обращается в бесконечность. Чтобы исключить указанную расходимость, будем искать решение 6 в виде 6=(1 — хт)' и. (!1.39) Подставляя (11.39) в (11.38) и сокращая все равенство на (1 — х')"т, получаем (1 — хт) и" — 2х (з +! ) и'+ (Х вЂ” зт — з +, ] и = О. (! 1.40) Мы исключим особенность в последнем члене, полагая з= ч- (лт!.
(!! .41) Учитывая последнее соотношение, будем решать уравнение (!!.40) при з=т)~0. (11.42) В силу же соотношения (11.41) оно автоматически распространяется также и на отрицательные значения лт. При условии (11.42) уравнение (1! АО) принимает вид (1 — х')и" — 2х(т+ 1)и'+ (Х вЂ” т(т+ 1))и= О. (1!.43) Поскольку последнее уравнение не имеет особенностей, его решение может быть представлено в виде ряда и = ~~ ааха, (! 1.44) а-.о в результате подстановки которого в уравнение (11.43) получаем: ~ (й (й — 1) а,х' '+ (Х. — (й + пт) (lг + и + 1)] а, ха~ = О. Решения, отвечающие этим двум значениям э, удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению, поскольку основное уравнение (11.38) зависит лишь от тт.
Следовательно, эти решения могут отличаться друг от друга только постоянным множителем В(',тп!) =Ай( — )т!). 152 ч л с т ь ! ИегелятиВистскля кВАИЕОВАя мехАиикА ГРуппиРуя члены с одинаковымн степенями х, приходим к Равенству ~~ ((й + 2) (й + 1) аАте + [Л вЂ” ()г + т) (Й + пе + 1)] а,) х" = О, А-О Л= (Ч+т) (Ч+ш+ 11, д = О, 1, 2, 3, ..., (11.46) (11.47) где т. е. равно той степени, на котооой мы обрываем рял Звс !я орбитальное квантовое число )=г)+т, (1 Ц48) находим, что оно может принимать, так же как и числа д и и, лишь положительные целые значения, включая нуль, т, е.
1=0, 1, 2, 3, ..., (11.40! причем в силу (11.48) * 1тР ГП (11.50) Принимая во внимание, что согласно (1!.48) и (11.46) Л=1(!+1), (11.51) уравнение (11.40) можно привести к виду !1 — хе) ит — 2х(т+1) и'+ [!(1+ 1) — гп (т+ 1) ]и = О, (11.52) ая и = а -тХ' и+ а~-т-ЕХ~ т ! ! (11 53) а,х 11!ы не будем выражать коэффициенты аА через и,.ее с помощшо рекуррентного соотношения (11.45), а предста~зим сразу последнее решение в свернутой форме. Для этого введем функцию с = (хи — 1)', (11 54) где из которого следует рекуррентное соотношение ()е+ 2)(!е+ 1)аАЯЯ= — [Л вЂ” (й+ гп)(!е+ т+1)] аА, (11.45) связывающее между собой все коэффициенты ряда (11.44).
Ввиду того что коэффициенты ал связаны лишь аА„Я, т. е. через один, функция и будет либо четной, либо нечетной в зависимости от того, является лн старший член (см. ниже) четным нли нечетным. Требуя, чтобы ряд (11.44) был ограничен некоторой максимальной степенью Й=г), т. е. был бы полиномом порядка д, мы должны ввести условие а„.э=О. а,ФО, Отсюда иа основании (11.45) получаем: подчиняющуюся уравнению (! — х') о'+2х!о=О, (! 1.55) которое нетрудно получить, взяв первую производную от о по х. Лифференцируя (11.55) с помощью правила Лейбница !сьг. (8.34а)! ((+ т+ 1) раз и голагая Нгч пг о" ! = — (х' — ') = и, ! .!еж (!1.56) для функции и, получаем уравнение: (1 — х)и" ,— 2х(т+1)и,'+ !!(!+ !) — ггт(т+1)]иг =О, (11.57) точно совпадающее с дифференциальным уравнением (11.52) для функции и. Следовательно, функции и и и, должны быть пропорциональными друг другу и=-сопя! иг.
(1! гт8) Поскольку нормировочный коэффициент функшги !9 пока еше 1 не определен, эту постоянную положим равной —, исходя нз 2г!! тех соображений, олобы при т=О последнее решение переходило в полипом Лежандра нгг. — !!' Р,(х) =— 2'!! г!х! (! !.59) Таким образом, будем иметь: «!+ж и = — (х' — 1) . и геж Отсюда с помощью (1!.39) находим значение для функции 61 !! О!'"=Г', Р, (х). (! !.6О) ' Второе решение уравнения (11.38! прн Х=!(!Ч-1) будет пропорпиональио функнин чг 2 Я, = ( — 1) (! — х ) — О (х), !!ьша) где ф!ньиия дежанлра второго рола г Р,!д!ггл ! 1+х Ог(х) = — ! = — Рг (х) !п — Кгг г (х), 2 З х — р 2 ' ! — х (11.б!б) а атг,(г! является налим полиномом степени ! — 1 !причем Ят г(х) О), несодержашим никаких расхолимостей.
Поскольлу перьый член правой чаши равенства (11 б1а) дает для функции О~~ (х! расходямость в особых точках (х=."1), то поэтому ьго решение следует а случае уравнения Шредингера ьообпш отбросигь. й 11. Обжав теория движения частим в пентрально-симметричном поле 1ба 454 Ч А С Т Ь 1. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Здесь Р1 — присоединенный полином Лежандра, определяемый выражением (11.6!) Их~т [ 2!! а С! — нормировочный коэффициент.
Хотя последнее выражение было получено для положительных значений гп в силу известного соотношения ' (11.62) оно автоматически распространяется также н на отрицательные значения гп. Из равенств (!1.6!) и (11.62) можно окончательно установить область изменения квантового числа лгг от=О, ч-[, ч-2, ... ~ь[; (! 1.63) это следует из того факта, что прн [пт[>! решение Рг обра.
Сдается в нуль. [чоэффициент С!" в (!1.60) может быть найден из условия нормировки я 191"стг з!пйг(6= 161 (х)Е1 (х),(х=[. о -1 ' 1(ля доказательства выражения (1! 62! преобразуем его с и и „ равенства (!1.61) к форме 11-1-1т ! 11-!т1 (1 [т[) 1(хг !) т! (хт — 1)1= (1+ ! т [) ! (хг — 1)1 (!! 64) г(х'е! т! 1-1т! Поскольку же Р1т и Р, т должны быть связаны между собой линейным соотношением [см. (1!.4!)1, нам достаточно показать, что козффнпиенты при старшей степени х в обеих частях равенства (!!.63) совпадают друг с дру.
гом, т. е. 11+1 гп! ж Л1-! т! (1 — [т!)!х !т! -(1+!т[)! хг, Лхи-1 ,1 1-1т1 в этом нетрудно убедиться, учитывая, что ! и хп х при й<п, г(ха О при й>в. б 11. Общая теория движения частиц в центрально-симметричном поле 1бб Подставляя сюда решение (11.60) и учитывая (11.62), получаем: ! '(...'),",+"," (сг11~ — ', . ( '-()1~ '„(, — (Г~х,=(. -! Перебрасывая производную со второго множителя на первый (1+т) раз, т. е. раскрывая последний интеграл 1+лт раз по частям, имеем: .(-! (21!) Р— т) ! ((х ! ' ~ С! ~ ) (1 — х') —, (х' — 1) (!х = 1.
Принимая во внимание равенство [см. также (11.64)1 р ( 2П (п=2!), ((хд! 1 0 (л С 2!), а также учитывая, что +! (Г1)а 2а)+! ( (1 — х')'с(х=-- (21+ 1)! -! находим: С)=ч~("+""-т)! )г 2(1+т)! И( 65г Тогда ~ч ч / (21+ 1) (1 — т) ! 2(1+ т)! (11.66) Для шаровой фуикпии У! (6, Ч)), удовлетворяющей уравне. нию (!1.22), на основании (11.23), (11.36) и (1!.66) имеем: причем условие ортонормированности для шаровых функций принимает вид ~(У)~' У!" = бп,б., (11.68) ( (м- ') ч с(Ч( 2п З Примечания !.
Чтобы доказать условие ортоиорннрованиости (!!.бб), следует подставить в зто равенство для шаровых функций их выражение (1!.б7). Тогда, интегрируя по углу (р, легко показать, что 156 Ч А С Т Ь ! МЕРЕЛЯТЫВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА где 1 при лт)0, ( — 1) прн гп ( О. (11.676) Заметим. что многие авторы вообще полагают коэффициент а =1. В там случае, когда можно огрэиичитьсн нахождением шаровых функций, удовлетворяющих только условию оптонормнроаанности (11.68), оба ре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
