Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(Вб)) ' Математнчесин зто приводит и отбрасыванию нулевой энергии 1 Ео — йа, имеюшей в илассическом приближении, т. е. в области больших 2 ивантовых чисел (л ))1) по сравнению с энергией Š— Ео, порядок а. ' Здесь мы сделали переход от одномерного случая а трехмерноиу ну~ем замены матричного элемент» координаты ~ хи,„(' матричным элементом р»- диэс-вектора ('л .. 1» ('л л (о+( Рл л ('+! .л и ('.
По квантовой же теории она определяется выражением (9.3), которое при наличии одного осциллятора (Й = 1) дает ))У" = йшии Аии. (9.7а) т1в часть г негелятивнстскхя квхнтовля механякх то, сопоставляя ее с формулой (9.6), можем написать также и коэффициенты Эйнштейна для вынужденных переходов (9.8а) Для интенсивности излучения согласно (9.7а) имеем: (9.8б) Хотя этот вывод и дает точные квантовые результаты для так называемого дипольного излучения (см ниже), тем не менее его нельзя признать последовательным (это относится также и к первоначальному выводу формулы Планка, см.
9 2). При первом чтении книги, однако, можно ограничиться этими простыми соображениями, Для лиц, желающих познакомиться с современной квантовой теорией излучения, следует прежде всего получить коэффициенты Эйнштейна А и В, а затем, подставляя эти значения в формулу (9.6), дать строгое квантовое обоснование формулы Планка. Все это будет проделано ниже в оставшейся части $ 9 и 9 10. Здесь же мы ограничимся некоторыми общими замеча. ниями о квантовой теории излучения. В общих чертах квантовая теория излучения сводится к следующему, В рамках теории Шредингера можно обьяснить лишь вынужденные переходы, происходящие в результате взаимодействия электронов атома с внешней электромагнитной волной, Спонтанные же переходы из возбужденных энергетических состояний в более низкие остаются в этом случае фактически не объясненными, поскольку отсутствует внешнее воздействие, хоторое могло бы привести к этим переходам Ответ на этот вопрос был найден только после создания квантовой теории излучения, в которой был использован аппарат квантования электромагнитного поля (вторнчное квантование).
Прн этом электроны и поле излучения рассматриваются как две взаимодействующие квантовые системы, причем это взаимодействие не исчезает даже при отсутствии реальных фотонов. Фотоны, которые в данный момент не существуют, но могут появиться, называются виртуальными. Они образуют так называемый электромагнитный вакуум. Классическим аналогом взаимодействия электронов с полем виртуальных фотонов является действие на движущийся элект рон силы лучистого трения Планка г" плана 2 3 обусловленной электромагнитным полем, создаваемым самим же электроном. Именно это поле и может отрываться от электрона й В.
Квантовая теория язлуяення в виде светового излучения. На языке вторичного квантования это соответствует переходу фотонов из виртуального состояния в реальное. Прежде чем приступить к построению квантовой теории излучения, остановимся на вопросах, связанных с квантованием свободного электромагнитного поля, что, как мы уже отмечали, выходит за рамки обязательной программы и поэтому соответственно отмечено *. Я Квантование свободного электромагнитного поля. Как известно, поле фотонов (поперечные электромагнитные волны) можно описывать вектор-потенциалом, удовлетворяющим уравнению Даламбера: (9.9У Решение уравнения (9.9) будем искать в виде ряда Фурье: А= —, у А(х, !)е'"', ъ-т —,*с, 2а (9.! О'г наложив на волновую функцию (9.10) условие периодичности е'"с™ = е'"", причем В =Е,„=с.,=С [см.
также (4.5?)1. Тогда для составляющих волнового вектора х мы имеем 2н 2н 2н ил=и! — ~ ха=ля С хс=л3 (9.! 1) где п„п,, п,=О, я-1, +2, .+3, Подставляя (9.11) в (9.9) и учитывая, что тле™ = — хте'"", найдем, что амплитуды А(х, !) подчиняются уравнению, кото- рому удовлетворяет также гармонический осциллятор А(х, !)+ с'х'А(х, !) =О, А(х, !) = А(х) е сс с ! В(х) е с с (9.!2) с решением (9. 13) В (х] = А' ( — х). (9.!4) Для того чтобы вектор-потенциал А был веществен, следует положить 120 г! А Г Т Ь ! НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Последнее соотношение легко доказать, если подставить (9.13) в (9.! О) и в сумме, составленной из коэффициентов В(х), сделать замену х- — х Учитывая еше равенство (9.141, разложение (9.!О) приведем к виду: А = — у (А(х) е — ""'+'"'+ А*(х) еьм — ыг) (9,15) 1 %т г '~., и = — ~ (Еэ+ РР) сРХ, (9.16) причем в случае наличия только поперечных электромаппшпык волн 11! = с)! ч А = О, (9.17) имеем !ад Е= — — —, О= го(А.
(9.18) с д' Примечание Вообще говоря, в и~ременном во времени электромагнитном поле наряду с вектор-потенциалом А' должен быть отличным от нуля также и скалярный потенциал Ф'. Одкако в вакууме ны всегда можем ироизвестн калибровочные преобразования 1 дг Ф = Ф' + — — —, А = А' — г„гад 1, с др' которые не изменяют связи векторов элгкгпнческон 1 дА и- — — — — ига;1 Ф с дЕ и магнитной Н=го1А напряженногти как со штрихованными, так н с нештрихованнымн потенциалами Точно так же и условие Лоренца 1 гнч А+ — дФ,'гз' Г) нг изменится, если калибровочная функция ! будет с удовлетворять уравнению даламбера г Чэ! — '= 0 Ав дм Поскольну для вакуума все составляющие потенциалов также должны удовлетворять уравнению ггаламбера, то, не нарушая общности.
ны можгм по- 1 дг пожить — — — Ф', что автоматически эедег к условии попсречности с д' (9.17), а также к выражению (9.18). Поскольку последнее выражение представляет собой сумму двух комплексно-сопряженных величин, оно является вещественным. Найдем далее полную энергию поля фотонов, которая, как известно, равна: й я. Квантовая теория ихлучеиия Подставляя разложение (9.18) в (9.16) и принимая во внимание соотношение ел>л ~ — „! с(зхе>м+"чс= — ( Йхе ' г"> ль'х >> ь ь =б, б, 6 е=б л, л л .
л л, л с > а л (9.19) а также (9.15), найдем гам> льтониан: 1 ( (9.20) При дальнейших вычислениях учтем, что согласно (9.!4) равенство (9.13) мы мсжем представить в виде А (х, 1) = А (х) е-"" + А*( — и)е'с ' (9.21) Кроме того, при вычислении гамильтониана необходимо учесть еще выражение для производной — = — гх(А(к) е ""' — А*( — х) егсл>! (9.22) ! дА(и, г) с дс а также условие поперсчностп поля фотонов, которое следует из (9.17) (хА (х) ) = (хА*(к) ) = О. (9.21) Подставляя последние соотношения в (9.20), легко показать, что гамнльтоннан не зависит от времени и равен: 1! = — в ч х''А*(х) А (х) + А (х) А*(х)].
(9,21) л >,а,э В последнем члене правой части равенства (9.24) мы сделали замену к — — х. Из условия поперечности (9.23) следует, что нельзя все три составляющие амплитуды вектор-потенциала считать за независимые переменные. За независимые переменные можно выбрать только две. что связано с двумя возможными поляризациями фотона. Хотя разложение амплитуд потенциалов по состояниям поляризации не является однозначным, однако к:>- иечный результат не должен зависеть от этого, если произвести усреднение или суммирование по состояниям поляризации. Поэтому мы выразим три составляющие амплитуды потенциалов через две независимые таким образом, чтобы авто1иагичсски выполнялось условие псперечности н сохранялась бы квад- Ч А С Т Ь ! НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ратичная форма связи гамильтониана через независимые ам- плитуды.
Для этого мы полагаем 1/ —" ,~ — ";„" ь, — —,"" ь,), '$// — „~„" ь,+ — „" ь,~, ., / 2хсй х,а — р — — Ь! к х Г 2псй А,(х) = )~ — а, = Г 2псй Ау (2С) у/ х а2 (9.25) / 2псй А,(н) = р' — а,= к где х = )/на +х', с у' х = )/х' +хе = )/хам+к +ха !2 а л у г (9.26) Зависимость амплитуд Ь, и Ь, от вектора х мы ради краткости писать не будем, т.
е. Ь, = Ь,(х), а' (У) — Ь е-ссх! Ь!+ (!) = Ь,+е "ш. (9.27) Точно так же мы введем обозначение Ь =Ь (х). Нормировочный коэффициент 1/ — введен для того, чтобы / 2нсь х правила перестановок [см. ниже (9.32)] были бы нормированы на единицу. Подставляя (9.25) в выражение для гамильтониана (92ч), мы найдем: — ~~~~~ сьт! (Ьн Ьн + Ьн Ьнй) (9,28) ' В дальнейшем амплитуды б мы представим в виде матриц, и поэтому сопряженные амплитуды будут не комплексно-сопряженными, а эрмитовосопряженными величинами, обозначаемыми через б', Если волновое уравнение рассматривать как результат первого квантования (более строго это замечание относится лишь к уравнению Шредингера, а не Максвелла), то в результате первого квантования могут быть описаны волновые свойства процесса, когда постоянные амплитуды Ь„являются обычными числами (с-числа), т.
е. должны коммутировать друг с другом. Можно ввести дополнительную гипотезу, что квадрат амплитуды описывает число частиц, однако это число не должно из. меняться со временем, 9. Квантовая теория излучения 123 (9.29) Аналогично легко показать, что гсхЬ„= — „(НЬй — Ьв Н). (9.30) Подставляя сюда гамильтониан (9.28), соотношение (9.29) преобразуем к виду — схЬи= ~~~~~,Уа 2 [Ьи (ЬиЬы — ЬиЬн)+(ЬирЬв — ЬнЬи+.)Ьн+ и 1 + Ьн (Ьв+Ьи — Ь„Ь„)+(ЬиЬи — ЬвЬи)Ьи'1 (9.31) Мы удовлетворим последнему равенству, если положим '[Ь„Ьм'1 = Ь„Ь'„" — Ь„'" Ьв = Ь,„Ь ч (9.32) [ЬиЬи (з= ЬиЬи — Ьн Ьи —— О, (9.33) Из (9.30) следует еще [Ь„'Ь„'".1= О.
(9. 34) Последние равенства и определяют вторичное квантование амплитуды электромагнитного поля. Примечание Заметим, что пересзановочные соотношения (932) — (934), которые соответствуют гамильтониану (928), описывают вторичное квантование частиц, подчиняюшикся статистике Бо е — очшштейна Б случае, если Оы гаиильгониан имел другой вид Н= — ~ сйк'(С тС' — С'С'т), 1 \ч 2 2а (9.35) нак, например, для частиц, подчиняюшихся уравнению бирана (см $ 22), то тогда квантовое уравнение движения (9 29) привело Оы к так называемым ферми — дираковским пересгаиово~ным соотношениям С'+С + СС е = й„„., Рхзо) С'С+ СС'=С"С" +С'Сан =О, В процессах же излучения и поглощения фотонов должно изменяться общее число частиц, Поэтому для описания подобного процесса необходимо создать теорию с возможным изменением амплитуд Ь, считая их, например, операторами (г)-числа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
