Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(7.30) С помо!пью канонических уравнений (уравнений Гамильтона) находим: дн р„дН др х= — = —" и р (7.3!) др !не дх дх' или д!! (х! лгох = — — . дх При наличии и степеней свободы (!=.1, 2, ..., л) уравнения (7.31) принимают вид: дН дН ~! Отсюда изменение величины [ [см. (7.29)] со временем определяется выражением 1 Учитывая, далее, канонические уравнения (7.32), мы можем написать: оч д! +[ ну д( (7.33) где выражение [н, Л= 7,(' — — — — — ') ъч !дН д! дН д( 1 .Ье ( др.
дх дх, др,. ) (7.34) получило название классических скобок Пуассона. д1 Если ? не зависит явно от 7, то — = О, и поэтому ее измед! пение будет полностью определяться скобками Пуассона д' =[и, Л. (?.35) При обрашении последних в нуль ([Н, Л = 0) величина [ не должна зависеть от времени, т. е. будет сохраня гься 7 = соп51. Например, если энергия явно от времени не зависит, то дН[д( = = О, и в силу очевидного равенства [Н, Н) = 0 мы найдем, что Ч Л С Т Ь 1 ИЕЕЕЛЯТИВЫСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХЛИИКА где Пользуясь теперь теоремой о перебросе производной [см, (7.9)) и принимая во внимание, что потенциальная энергия к' является обычной функцией, получаем: ~ (Нф*(р) )((ф р)) еР. ) „~*у) Н(ф(() еР„ Вследствие этого изменение (() со временем должно определяться формулой — =( — )+ а ) ф*(()(Н( — (Н)$(()ТРЯ=(~~)т((Н, ()).
(7.38) Выражение (Н, () = — „' (Н( — (Н) представляет собой обобщение классических скобок Пуассона (7.34) на квантовый случай и поэтому носит название к в антовых скобок Пуассона. (7.39) функция Гамильтона (т, е. в данном случае энергия) является величиной постоянной (Н = сопз(), Заметим также, что, подставляя в (7.35) вместо ) координату хь а затем рь находим равенства (7.32), т. е. канонические уравнения Гамильтона. Произведем обобщение классических скобок Пуассона на квантовый случай, Прежде всего заметим, что в квантовой механике физический смысл имеют, как мы указали в предыдущем параграфе, только средние значения операторов (координаты, импульса и т, д.), изменение со временем которых мы и хотим найти.
В общем случае среднее значение произвольного оператора ( дается в квантовой механике формулой (7.4), причем время т входит в нее как параметр. Учитывая эту формулу, найдем полную производную (() по времени: д(П д ~ т*(()(ф(~),(з„( ф р) '~~ ф((),(зх+ + ~ (ф(~)~РХ+ ~ ф'(1)( ~ ~РХ (7.36) Подставляя сюда вместо — и дф'(1) дф (г) д! д! соответственно выражения ) — 'Нхр') и ( — — 'Нф), приведем (7.36) к виду д(г) ~,» р) д' „~(()сР ).
+ —, 1 ((Нф (т) ) (И Р) ) — ф (() ( (НФ(т) )1 СРх, (7.37) й 7. Статистическое толкование квантовой механики 93 Очевидно, в том случае, когда ( — 7=0 (как правило, опе! д1' д! затор 1 явно не содержит времени), уравнение (7.33) принимает зид ",1) =((Н, 1)). (7.40) отсюда следует, что изменение (1) со временем в этом случае юлностью определяется квантовыми скобками Пуассона.
Если с тому же оператор 1 коммутирует с оператором Гамильтона Н, -о соответствующая оператору 1 физическая величина (1), как то видно из (7.40), сохраняется. С помощью (7.40) легко доказать, что энергия частицы, двикущейся в потенциальном поле У(г), не зависящем от времени, холжна сохраняться. В самом деле, в этом случае выражение Н, Н) = — (НН вЂ” НН) обращаетгя в нуль, и поэтому на основа- Л лии (7.40) имеем: (Н) = сопя(.
С другой стороны, согласно стапионарному уравнению Шредингера Нзр„= Е„зр„, и поэтому, когда зр = зр(1) [см. (7.!2)), (Н) = / зР'Нз) сРх = Уй ~ фРń= Е, (7.41) Теоремы Эренфеста. Найдем квантовый аналог классических уравнений движения (7.32); для этого используем квантовые скобки Пуассона. Замечая, что х и р, не содержат времени явно, воспользуемся для определения производных соотношением (7.40), полагая в нем соответственно 1=х и 1=р„. В сл)чае 1=х находим: — (х) =((Н, х)) = — (Нх — хН), дс ' Ь (7.42) где 2 Н = —," +У(х). враз (7.43) учитывая при этом коммутативность х и )г(х), можно привести (7.42) к виду —, (х) = й (р',х — хр'„). (7.44) т е, (7.41) представляет собой не что иное, как закон сохранения энергии (Е = сопя() для частицы, движущейся в силовом поле, не зависящем от времени. часть ~ нееелятивистскхя квантовая механика Лобавляя в правую часть этого равенства величину(р хр -р„хр,), имеем: — ~(х) = з л (Р~(р,х — хрк)+(Р~х — хрх) Рх).
(7.45) Принимая, далее, во внимание формулу (7.25а), получим: (7.46) Чтобы определить изменение импульса со временем, мы должны в формулу (7.40) вместо оператора 1 подставить оператор импульса р„. Тогда, замечая, что р„р'„— р,'р„= О, находим: ыс (Р") = ((Н, Р)) = а (ГР.
— Р. и) = — ( л ); (7.47) отсюда, используя (7А6), получаем: гно —,,и (х) = — ( ~ 7 = (с (х)). (7.48) Уравнения (?.46) и (7.48) представляют собой теоремы Эренфеста, согласно которым для обобщения основных уравнений классической механики на квантовый случай мы должны в соответствующие классические соотношения подставить средние значения операторов. * Переход от квантовых уравнений движения к классическим. Сравним классическое уравнение движения глах = Р(х) (7.49) гпч —,, (х) =Р((х)), (7.50) т.
е. если бы в классическое соотношение между силой и координатой было подставлено вместо х его среднее значение (х). Однако согласно теореме Эренфеста в уравнения движения в квантовом случае входит среднее значение самой силы, т. е, (г" (х)) Поэтому, чтобы перейти от квантовых уравнений движения к классическим, прежде всего следует установить связь между (Е(х)) н г((х)).
Представим для этого оператор силы г(х) в виде Е(х) = г" ((х) + Лх), (7.51) с соответствующей квантовой формой (7.48). Как было отмечено, роль классической координаты в квантовой теории играет величина (х). Поэтому мы могли бы считать, что квантовое уравнение совпадает с классическим, если бы вместо (7.48) имели й 7. Статистическое толковаиве кваитовоа мекаиики где Лх = х — (х), и разложим Р(х) в ряд Тейлора вблизи точки х = (х).
Тогда получаем: Р(х) = Р ((х))+(Лх)Р'((х))+ — Р" ((х))+ .... (7 52) Производя усреднение этого выражения по формуле (?.4) и принимая во внимание, что (Лх) = (х — (х)) = О, получаем: (Р (х)) = Р ((х))+ Р" ((х)) + .... (7.53) Поэтому квантовые уравнения движения (7.48) принимают вид те — „,, (х)=Р((х))+ «," Р" ((х)).
(7.54) ((Зх)т) Р" ((х)) является квантовой поправ- 2 уравнению Ньютона Очевидно, критерием уравнений движения в классические яв- Здесь выражение кой к классическому перехода квантовых ляется неравенство (7.55) (Т(Р )) = о" (р:) (7.56) в то время как классическим аналогом кинетической энергии следует считать величину т<(Р.)) = ",™. (7.57) Выразим теперь квантовое определение кинетической энергии (7'(р )) через ее классический аналог Т((Р„)).
Для этого воспользуемся соотношением т (р„) = Т((р.) + Лр.) = «'),+'р.)', <7 58) где Лр, = р„— (р„). Раскрывая в последнем равенстве скобки и принимая во внимание, что при усреднении (ЛРк) = ((Рк (Рк))) = О имеем: (Т<р )) =Т((р.))+ —,' ((Лр„)'). (7.59) Однако следует заметить, что выполнение этого условия еще не означает возможность применимости всех классических понятий для описания движения микрочастнцы. В самом деле, в квантовой механике среднее значение кинетической энергии (Т) определяется выражением Эв ч А с т ъ ь нееелятивистскхя квхитоьхя меххникх ((бх)') ((Ьр»)») « 4т«Т ((р»)) ! „« ~ (7 61) Если к тому же учесть еше соотношение неопределенности 4 то последнее условие принимает вид ( ( ~ ) ) ~ ( ~ ) ) (7.62) ф 8.
ЛИНЕИНЫИ ГАРМОНИЧЕ- СКИИ ОСЦИЛЛЯТОР Задача об одномерном гармоническом осцилляторе является одной из важных задач теоретической физики. Она находит свое применение при построении простейшей теории колебаний, которая имеет большое значение в самых разнообразных областях физики (в механике, классической электродинамнке, радиофизике, оптике, атомной физике и т.
д.). Новые теории, которые за последнее время появлялись в атомной физике, как правило, «испытывалнсь» на ряде простейших задач, в топ шсле н на построении теории гармонического осциллятора. Часто оказывается возможным свести изучение движения сложных систем к рассмотрению совокупности нормальных колебаний, эквивалентных колебаниям гармонических осцилляторов. Для нас построение теории гармонического осциллятора интересно еще и в методическом отношении.
В самом деле, эту задачу можно решить точно н тем самым проиллюстрировать на наиболее простом примере применение уравнения Шредингера для исследования конкретных задач. Задача о гармоническом осцилляторе сыграла большую роль также при создании квантовой теории поля (вторичного квантования) и при анализе так называемой нулевой энергии электромагнитного вакуума. Конкретное применение задача о гармоническом осцилляторе нашла в теории равновесного излучения, а также при построении теории спектров и теории теплоемкости двухатомных молекул (см. ниже), Отсюда следует условие перехода от квантового выражения кинетической энергии (7.56) к классическому ((бр )') « (р«)'= 2тоТ((р»)) (7.60) Умножая равенство (7.60) на (7.55), находим обшее условие возможности использования классического приближения в мик- ромире й В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
