Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 15
Текст из файла (страница 15)
— 2)ео) должна, помимо кулоновских сил оттал- кивания 2 (Š— 2) ео~ Г (6.33) 2 (Д вЂ” 21 ео при г))с, (г = О при г(Й. (6. 34) (6.35) С точки зрения квантовой механики альфа-распад представляет собой типичное явление прохождения частицы сквозь потенциальный барьер (1928 г. Гамов, Кондон, Герни). Для построения теории необходимо прежде всего связать постоянную радиоактивного распада Л с коэффициентом прозрачности барьера [см. (6.8)]: ж — но У2м ( Уг — вне О=е и (6.36) где М вЂ” масса альфа-частицы, а Р и Р~ — начало и конец по.
тенциального барьера (фиг. 6.8). Поскольку коэффициент прозрачности представляет собой вероятность прохождения частицы сквозь барьер при одном ее ударе о стенку барьера, закон распада можно записать в вице Н1= — Лй'Ы= — п0ИЖ, (6.37) содержать также потенциальную энергию ядерных сил притяжения, действующих лишь на малых расстояниях г (1т, имеющих порядок 1О "— 1О " см. Для приближенных оценок можно аппроксимировать потенциальную энергию следующим выражением (фиг.
6.8): й й. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер 8! Фиг. 8.8. Схема потенциальной энергии альфа-частицы в поле радиоактивного ядра. С учетом этих замечаний связь постоянной радиоактивного распада Х с коэффициентом прозрачности 0 определяется формулой: 2 — и 1 ам 1 1/~ — и дг й д А=пег= — е мяа (6.39) Логарифмируя обе части равенства, получаем: !пЛ = )и — — — )г 2М1 Ь 2 Мге' Ь Э (6.40) б зак. Зса где и — число ударов в 1 сек.
Величину и можно легко оценить из следующих простых соображений. Предположим, что альфа- частица движется внутри потенциальной ямы с радиусом 1<. Тогда очевидно, что п оа/)с, где оа — скорость альфа-частиц внутри ядра (г < гг). Нетрудно связать эти последние величины друг с другом. Действительно, согласно соотношению неопределенности импульс Л(пв частицы и область ее локализации К связаны друг с другом соотношением Мое)х=й. Поэтому й (6.38) яи' 82 часть ~ нвеелятивистскхя квхнтовхя меха нкх где интеграл (6.41) должен быть взят между точками 1с (радиус ядра) н !ть Последний радиус может быть найден из условий, что полная энергия равняется потенпиальной, т.
е. в данном случае кулоновской 2 !г — 2! (6.42) о У= )/Е ~ )// —,~ ! ~1г. (6.43) или после замены переменных г = Р,х' имеем: (6.44) Ппоизводя новую замену переменных х = ебп ~р и полагая /й згп е, = )~ †' , получаем интеграл: л/2 1= 2Ц)/Е ~ созз~рйр, (6.45) который легко может быть вычислен Р, 1/Е l = ' (и — 2~ро — ейп 2~у,). 2 (6 А 6) Р Учитывая, далее, чго обычно — «1, можно в последнем выражении положить /и — 1и /П~ ~гц чинара.= ~г —, 7 =Яд У Е~ — — 2 )/ — ~. (6,47) Исключая теперь Р, с помощью соотношения (6.42) и вводя обозначения !п мг' + ~ )/Л1Р(х — 2) — !п !и 2, (6 48) (6. 49) Подставляя выражение для Г = — ' в интеграл (6.41), нахо- дя, Г дим: $ 7» Статнстнческое толкованне квантовая механнкн 83 находим (пТь= = — В.
А Р е (6.50) Последнее соотношение устанавливает связь между периодом 1и 2 полураспада Т, = — и энергией вылетевших альфа-частиц. х Соотношение (6.50), представляет собой современную формулировку закона Гейгера — Неттола, установленного еще до появления квантовой механики чисто эмпирическим путем. Из закона Гейгера — Неттола видно, что, чем больше энергия Е, с которой альфа-частица вылетает из ядра, тем меньше время полураспада, причем небольшое увеличение энергии, например, с 4 Мэв до 9 Мэв (примерное значение крайних энергий вылета альфа-частицы в радиоактивном семействе урана) приводит к сильному уменьшению среднего времени жизни с нескольких миллиардов лет до нескольких десятимиллионных долей секунды.
Это связано с тем обстоятельством, что хотя изменение энергии не так сильно изменяет площадь потенциального барьера, но эта площадь входит в показатель степени, определяющей среднее время жизни. й 7. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (7.2) Средние значения операторов. Как известно, в классической теории движение отдельной материальной точки вполне определяется зависимостью координат от времени, что однозначно может быть найдено из основного закона движения Ньютона ток = — ргали )'(г), (7 !) если при этом заданы еще и начальные условия (динамическая закономерность). Определив г как функцию времени, можно найти также импульс и энергию материальной точки, Несколько иначе обстоит делЬ при наличии многих частиц, например, в кинетической теории газов.
В этом случае проявляются новые присущие большому коллективу частиц статистические закономерности, Оказывается, что частицы такого коллектива имеют определенный закон распределения, вообще говоря, как в координатном, так и в импульсном пространстве. При этом можно говорить только о вероятности того или иного значения координаты или импульса частицы. Функция распределения ) позволяет найти средние значения координаты и импульса х= ~ х(сРх Ы'р, р„= ~ рл~сРхс('р, Ч А С Т Ь Е НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА или средние квадраты этих величин хз = ) хз) г(зх с(зр и т. д., (7.3) х4 ) ф'Н)Мф(У) (з„ (7.4) где М может быть любым оператором (в том числе и числом), а величина тре(г)ф(з) играет роль функции распределения (. Средние значения координаты и импульса являются числами, т.
е. ' Как доказал Нейман, в основе статистических занономерностей квантовой механики яе могут лежать скрытые параметры. Однако доказательсгво Неймана ограничено рамками самой же квантовой иеханики, и если последней не придавать значение абсолютной теории, то теорема Неймана не может претендовать на общность. ' В настоящее время средние кваитовомеханические величины все чаще начинают обознача1ь с помощью угольных скобок.
Эти обозначения мы и примем в дальнейшем. Тогда формула (7.4) будет иметь следующую записке (М) ) ф (г) М,р(с) лзх Г7.4а) Чертой же в далытейшеч мы будем обознлчагь лишь классические усредл и си и и. которые и должны совпадать согласно закону больших чисел с соответствующими экспериментальными значениями. Обратим внимание на одну особенность статистической закономерности.
Эта статистическая закономерность в классической физике появляется в результате усреднения по так называемым скрытым параметрам, определяющим точное движение каждой частицы согласно уравнению Ньютона. В окончательные же результаты эти скрытые параметры не входят. Вообще классическая теория по крайней мере в принципе позволяет указать (хотя это и очень сложно математически), почему в каждый момент времени координаты и импульсы отдельных частиц имеют данное наблюдаемое отклонение от средних значений. Поведение частиц в микромире описывается волновой функцией тр(г, г), которая носит вероятностный характер, причем даже в том случае, когда описываемая ею система состоит всего лишь из одной-единственной частицы.
В связи с этим квантовая механика позволяет определить лишь средние значения физических величин независимо от того, имеется много микрочастиц или только одиа. Следует подчеркнуть, что, ограничиваясь рамками квантовой механики, даже в принципе невозможно объяснить отклонение наблюдаемых величин от средних'. Вычисляются же эти средние значения в квантовой механике подобно тому, как это делается в статистической теории, г. е. по форм)лез: $ 7.
Ската«таке«кое толкование квантовой механнкн обычными функциями, и будут определяться фактически по одному и тому же закону: (Х) ] ф* (т) Хф (1) П1З„ (Рк) ~ ф (г) д ф(1) с! х (7.5) д несмотря на то что х является числом, а — — производной. При дх этом (х) будет координатой центра тяжести волнового пакета, а (Р„) — импульсом этого центра тяжести. Для того чтобы средние значения являлись физически наблюдаемыми величинами, они должны быть вещественными: (М) *=(М). (7.6) Когда это требование выполняется, соответствующие операторы называются самосопряженными (или эрмитовымн).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
