Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 13
Текст из файла (страница 13)
для нормировочного коэффициента получаем выра- / 2АТВ22 а = н Следовательно. собственная функпия (5.73) в приближении ВКБ может быть записана в виде: /222 . (1 Г В~ ф = 1г — з(п — 1 р е(х+— (л! 4)' к~ (5.78) Эти правила квантования отличаются от правил квантования Бора наличием отличного от нуля члена '(2(2, соответствующего наинизшему состоянию (пк 0). Более точное решение подобной задачи по волновой теории (например, задачи о гармоническом осцилляторе) показывает, что нулевая энергия обязательно должна присутствовать (см. ниже (8.28а)), хотя на спектре излучения она и не сказывается.
При нахождении нормировочного коэффициента достаточно ограничиться интегрированием по интервалу х,<х<х2 (потенциальная яма), поскольку вне его волновая функция экспоненцнально убывает, т. е, ее практически можно положить равной нулю, Тогда имеем: $8. Прохожденне частик сквозь нотенанальный барьер 89 ф 6. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ 'СКВОЗЬ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР (туннельный эффект) Согласно классической теории частица может находиться только в тех точках пространства, в которых потенциальная энергия )г меньше ее полной энергии Е, Это следует из того обстоятельства, что кинетическая энергия частицы р — =Š— Р 2то (6.1) Случай прямоугольного барьера.
Определим прежде всего вероятность прохождения микрочастицы через потенциальный барьер прямоугольной формы (фиг. 6.1) в предположении, что энергия частицы Е меньше высоты потенциального барьера ьге. Допустим, что частица движется в положительном направлении оси х. Волны де Бройля, соответствующие движению частицы, частично отразятся от барьера, а частично пройдут сквозь него и будут распространяться в области х > а (фиг. 6.1).
В этой задаче мы должны прежде всего найти волновые функции, а затем на границах потенциального барьера «сшить> их, т е. приравнять как сами волновые функции, так н их производные. всегда должна быть положительной величиной. В области Р > Š— потенциальный ба р ь е р — импульс имеет мнимое значение и присутствие там частицы в рамках классической теории является совершенно недопустимым. Поэтому если две области пространства, для которых Е> т', отделены друг от друга потенциальным барьером, внутри которого Р>Е, то по классической теории просачивание частицы из одной области в другую область сквозь потенциальный барьер невозможно. По волновой же теории мнимое значение импульса соответствует лишь экспоненциальной зависимости волновой функции от координаты.
Поскольку волновая функция внутри потенциального барьера в нуль не обращается, то вполне возможно и просачивание частицы сквозь потенциальный барьер. Для микрочастиц это явление может стать даже вполне наблюдаемым. Прохождение сквозь потенциальный барьер получило название т у н н е л ь н о г о э ф ф е к т а. Оно является специфическим лишь для волновой теории и не имеет какого-либо аналога в классической механике. ЧАСТЬ 1 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Фиг. 63. Прохождение настины сквозь потенпиааьный барьер. х р а Решение уравнения Шредингера для каждой из 3-х областей имеет вид: ф,=А,ееь'+В,е-"" при х<0 (область 1), трн —— Атв-из + Ваеи" при 0<х < а (область 11), (6.1) ф», = Азеоао-во+ В,е-'ьм-м при х ) а (область П1).
Здесь й = из= — (ра — Е) 2'иоЕ 2изо (6.2) Для определения потока частиц воспользуемся формулой (5.23): (6.3) Подставляя в эту формулу решение уравнения Шредингера (6.!) для коэффициента прозрачности О, находим: ьО о ~АоР ) Аде (6.4) Для определения коэффициента прохождения воспользуемся граничными условиями при х= а и х = О и выразим сначала А,е'А* и В~е-'а" характеризуют соответственно падающую и отраженнУю волны, Азе'ьм-о~ — пРошедшУю, а Взе-"ы-ю — отРаженную, идущую из бесконечности.
Поскольку последняя в нашем случае отсутствует, необходимо положить Вз — — О. Для характеристики величины туннельного эффекта введем коэффициент прозрачности барьера, под которым будем понимать модуль отношения плотности потока частиц, прошедших через барьер, к плотности потока падающих частиц; б. Прохождение частип сквозь потенциальный барьер А, и В2 через А,, учитывая, что мп»1, А Аена ! — 2Л 2 2 3 а затем А, через А, (!-2л) (2+-') А = ! ела А 2. (6.6) Тогда для коэффициента прохождения (диффузии) 0 получаем выражение: ~А,Р !би' (А,!' 2! -~на)2 (6.7) где !зла Вводя величину Оо = ( + ...
получаем: 2а у„ аа — — Р 2ж,н'„— Е2 — ! 2т„(Р,-Е! 22ЫОЕ " =Е о (6.8) где Е!о порядка единицыл Если мы хотим обобщить формулу (6.8) на потенциальный барьер произвольной формы (фиг. 6.2), то соответствующую за- дачу лучше всего решать методом ВКЬ. При этом согласно формуле (5.53) мы должны произвести за- мену к, й )У2лто(Уо — Е) — ь й ~ У2лто(У(х) — Е) с(х, х, где координаты х, (начало барьера) и хй (конец барьера) находятся из условия У (х!) = У (хт) = Е. свиг. 6.2.
Схема потенциального барьера произвольной, но достаточно гладкой формы. Падающая н проходящая волны изображены сплошной кривой; отраженная — штрнхованной. Вг=: Азе "' = О, (6.5) ТЕ Ч А С Т Ь Г НЕРЕЛЯТНВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАННКА Тогда для коэффициента прохождения 0 через барьер произвольной формы мы получаем выражение '; х1 2 Г - А Л Увш, ГК ~х> — ЕЗ ах. О=е (6.7) Движение частиц внутри потенциального барьера представляет собой типичное проявление волновых свойств микрочастиц. Поэтому оио должно в той или иной степени проявляться в любой волновой теории. В частности, в оптике этим аналогом может служить хорошо известное явление полного внутреннего отражения, которое может наблюдаться в случае отражения света при сравнительно больших углах от оптически менее плотной среды.
Вырывание электронов из металла. Холодная эмиссия. Теория туннельного эффекта имеет ряд весьма важных приложений в теории металлов и в ядерной физике. С помощью этой теории удалось понять ряд явлений, которые не нашли своего объяснения в классической физике, К числу этих явлений следует в первую очередь отнести холодную эмиссию, т. е. вырывание электронов из металла под действием электрического поля, а также возникновение контактной разности потенциалов. Однако прежде всего скажем несколько слов о теории «электронного газа», лежащей в основе электронной теории проводимости металлов.
Высокая электропроводность металлов говорит о том, что электроны способны сравнительно свободно перемещаться внутри всей кристаллической решетки металла. Затруднен лишь их выход из металла в вакуум, требующий затраты некоторой энергии, так называемой р а б о т ы в ы х о д а . Это наводит на мысль рассматривать простейшую модель металла как свободный электронный газ, движущийся в потенциальной яме, внутри которой (т. е. в металле) потенциальная энергия равна нулю е'=О, а вне, т.
е. в вакууме, )Г= )Гв>0. Подобная упрощенная модель позволяет уяснить многие явления в металлах н поэтому в некоторых пределах является вполне разумной. Оиа была введена еще в классической теории (теория Друде, Лоренца и т. д.). В этом случае к электронам применялась классическая статистика Максвелла — Больцмана, которая до этого с успехом объяснила многие явления кинетической теории газов.
Однако в классической теории модель еэлектронного газа» встретила большие затруднения при построении теории теплоемкости. В самом деле, согласно известной теореме классической ' Более подробно ем АКвантовав неханпна» $ 6. й В. Прохождение частиц сквозь иотенциааьный йарьер 73 статистической механики о равномерном распределении энергии по степеням свободы на одну степень свободы в среднем дол- жна приходиться энергия — Е = — йТ, 1 1 3 сп 2 (6.8) где и — постоянная Больцмаиа.
Отсюда видно, что доля каждого свободного электрона в общей теплоемкостн такая же, как и свободного атома дЕср 3 сы = — = — /г. дТ 2 Это противоречит экспериментальным фактам, согласно которым теплоемкость одноатомного металла определяется лишь теплоемкостью атомов решетки. т. е. свободные электроны в первом приближении никакого вклада в теплоемкость металла не вносят. Это противоречие было разрешено Зоммерфельдом, который показал, что к электронам в металле необходимо применять не классическую статистику с функцией распределения е 1 =Ае а квантовую статистику Ферми — Дирака с функцией распределения 1 1о-Р = еяг+ 1 А 2пйпс ь 2пйп, Рх = 2пйпт Р р й Учтем, что на единичный интервал квантовых чисел: Йп! '-~па ~~из ) ) Тс ппрвпевпз= а„~в~ и Р (6.9) В основе квантовой статистики Ферми — Дирака лежит принцип Паули, согласно которому на каждом энергетическом уровне может находиться максимум два электрона (два квантовых состояния, отличающихся направлениями спинов).
Если нам задана трехмерная потенциальная яма кубической формы с длиной стороны, равной Т., то составляющие импульса Р= Ысогласно (4.57) будут связаны с целыми числами пь и„ пз, характеризующими энергетический уровень, соотношениями: 74 ч х с ть г нееелятивистскяя квянтовяя мгхоиико приходится лишь один уровень, на котором могут находиться два электрона. Поэтому если в единице объема находится ро электронов, то максимальный импульс, которым может обладать электрон при абсолютном нуле температуры (Т=О), определяется из соотно- шения 2 мч о или Р = р„„, = о(3яоро)чь (6.1 1) Соответствующая максимальная кинетическая энергия электронов равна: Ро ""' (3 о )и, (6.12) 2гоо 2по Ро = ' ° 6,02 ° 1Ооз = 5,8 ° 10го.
!0,5 !Окв Здесь мы использовали число Авогадро, т. е, число атомов в одном грамм-атоме, равное 6,02 ° !О". Отсюда по формуле (6.12) находим, что Р'=8,5 10 ьтэрг=5,3 эв. Поскольку для серебра работа выхода (!г= 3,7 эв, то глубина потенциальной ямы в серебре оказывается равной 9 эв. Схема заполнения электронных уровней в металле изображена на фиг. 6.3, Средняя энергия электрона в металле будет определяться выражением омакс О 2 Г ро Изр 3 О р ) 2ма Ылоа' о (6.13) Отсюда видно, что при сравнительно визких температурах электронный газ никакого вклада в теплоемкость не должен вносить, так как 0Ф„ до Эта максимальная энергия при Т=0 соответствует уровню Ферми. Оценим значение этой энергии, например, для серебра. Плотность серебра равна !0,5, атомный вес 107,9. Считая, что число свободных электронов равно числу атомов серебра в единице объема, имеем; й б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
