Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Квантовая механика, й а. Полная волновая функция зр(!), зависящая как от координат, так и от времени, запишется в виде: у М ша! ге! яг! (4.61) Ч А СТ Ь Е НЕРЕЛЯТНЬИСТСКАЯ КБАНТОБАЯ МЕХАНИКА состояния фА(1), зависящая как от координат, так и от времени, -ФыеА1 получалась прн этом умножением ф на величину е ' А. Поэтому функция ф„(е) могла описывать лишь процессы, протекающие строго монохроматически (т. е. с одной фиксированной энергией). Наряду со стационарным существует также явно зависящее от времени (полное, илн нестационарное) уравнение Шредингера, позволяющее исследовать более широкий круг вопросов, Переход к нестационарному уравнению Шредингера.
Чтобы получить н ес та пион а р н ое (полное) уравнение Шредингера, необходимо в стационарном уравнении исключить энергию Е, играющую роль постоянного параметра. Представим для этого стационарное уравнение Шредингера (4.8) в виде еф(()+ ( — "~Я- р) ф(г)-О, (5.1) где ф(1) =4 Тогда, исключая нз него параметр Е с помощью соотношения — — — = ЕФ(1), д джей) (5.2) которое имеет место для любого значения энергии, получаем не- стационарное уравнение Шредингера ( д д де — — — + — Р— 'К') ф (1) = О. Е дЕ 2то (5.3) В этом уравнении энергия не фиксирована, и оно пригодно для описания пропессов, в которых потенциальная энергия к' является функцией не только координат, но и времени. Если потенциальная энергия Р от времени не зависит, то нам достаточно решить стационарное уравнение Шредингера и определить все возможные собственные значения энергии Е и принадлежащие им собственные функции ф„.
Волновая функция, удовлетворяющая уравнению (5,3), будет связана с этими частными решениями линейным соотношением (5.4) В самом деле, подставляя (5.4) в (5.3) и учитывая, что С„являются постоянными коэффициентами, а ф„удовлетворяют уравнению уя( + 2нм (Е (5.5) $ б. Нестационарное уравнение Шредингера нетрудно убедиться, что ф(с) является общим решением уравнения (5.3), так как се„с -- — — "( — — — + — ю т — 'г') ф (с) = и С е " (Е + — ю ю — )Г ) ф = О. с дг 2шю с ьюа " 'т " 2глю ) (5.6) Монохроматнческая волна является частным случаем общего решения (5.4).
В этом случае мы должны положить в (5.4) С„= 1 и С = О (еслн л ныло). Следует также заметить, что переход от стационарного уравнения (5.1) к нестационарному (5.3) эквивалентен в сущности форд мальной замене энергии Е величиной сй —, называемой в квандс ' товой механике оператором энергии д Е = сй— дс (5.7) Действие этого оператора на какую-либо функцию сводится к обычному дифференцированию этой функции по времени, т.
е. Е является так называемым линейным дифференциальным оператором '. Для монохроматической волны, когда Еф(() = Е„ф()). имеем: й д дг (5.8) ' Линейные операторы при действии на обычные функции должны удовлетворять следуюшим соотношениям: М(сс+)2) М)1+М)2, МС)=СМЕ (Б.Уа) где С вЂ” произвольная постоянная. В качестве линейного оператора мы булем выбирать чаше всего оператор дифференцирования (соответствуюшие операторные величины будем обозначать прямым шрифтом). Вообше своиству (б.та) для линейного оператора удовлетворяют и обычные функции.
В качестве операторов можно выбрать также и матрицы (см 4 В). Отсюда видно, что энергия Ея является собственным значением оператора энергии Е. Кроме оператора энергии, в квантовой механике вводятся н другие операторы, наиболее важным из которых является оператор импульса Ч А С Т Ь Г НЕРЕЛЯТНВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Ъ4 который носит такое название потому, что его собственное значение для свободного движения частицы совпадает с классическим импульсом.
Например, действуя оператором р на волновую функцию свободной частицы (см. (4.61)), получаем; В данном случае собственным значением оператора р является классический импульс р. Пользуясь операторной символикой, полезной в том отношении, что она более наглядно иллюстрирует связь между квантовыми и классическими законами движения, уравнение Цзредингера (5.3) можно представить в виде ( Р' Š— — — т') ф (!) = О. 2птр (5.9) Таким образом, чтобы совершить формальный переход от классической теории к квантовой, следует в классическое выражение закона сохранения энергии зз Š— — — )г =О 2пгз (Š— Н) ф (1) = О. (5.10), Б случае, когда потенциальная энергия )г не зависит от времени, в силу соотношения ЕФ (() = Е ф. (1) (5.11) ' Если электрон находится не только в электрическом, но н в магнитном поле, характеризуемом вектор-потенпналом Л, то, учитывая классическое выражение для гамильтониана, з котором при наличии магнитного паля мы е должны сделать замену р-ь)з — — А, нестапионарное уравнение Шредингера с следует записать в виде: [ (р — — 'л) Š—, — — сиз $ (г) =- О.
зпгр (5.9а) вместо энергии Е и импульса р подставить соответствующие операторные значения и подействовать ими иа волновую функцию'. рз Оператор — называют оператором кинетической энергии Т, а 2пзз Т + 'к' — оператором функции Гамильттзна Н, который ради краткости в дальнейшем мы будем называть просто гамильтонианом.
Учитывая значения этих операторов, уравнение (5.9) можно записать еще в виде й 3. Нееэээнанариае трааиеине Шреаниеера стационарное уравнение Шредингера приводится к форме (Еи — Н) ф„=О. (5.12) Отсюда видно, что для стационарных процессов собственное зна- чение гамильтониана равняется собственному значению энергии, точно так же, как и в классическом стационарном случае, функ- ция Гамильтона равняется энергии частицы. Плотность заряда и плотность тока. В классической электро- динамике большую роль играет уравнение непрерывности —,+г)!чу= О, др дэ (5. 13) (5.15) которому подчиняются плотность заряда р и плотность тока !.
Соотношение (5.13) представляет собой по сушеству универсальную запись закона сохранения заряда. Чтобы это показать, умномсим соотношение (5.13) на сРх и проинтегрируем его по всему пространству — дэх + ~ йч у ~!эх = О. (5. 14р Изменяя в первом интеграле порядок дифференцирования и иятегрирования (это возможно, так как время здесь играет роль параметра), а во втором переходя от объемного интеграла к поверхностному, получаем: — )Г Р гРх + ~ !э сЮ = О. Если на бесконечности заряды, а также и токи отсутствуют, то поверхностный интеграл обращается в нуль, н мы будем иметь закон сохранения заряда е= ) рРх = сопз!. (5.16) Найдем теперь квантовые выражения для плотности заряда и плотности тока. Обратимся с этой целью к уравнению Шредингера (5.3), которое запишем в виде д, — 2., ~'ф(!)+ тф(!)=О. (5.17) Аналогично для комплексно сопряженного уравнения имеем: — + — „72ф'(!) — т ф'(!) = О.
дээ" О) гл . Ю (5.!8) Умножая первое из них на эр'(!), а второе на ф(!) и затем складывая оба уравнения, получаем: ' + — '7(ф(!)Чф (!) — ф*(!)!!ф(!))=О. (519) Ч А С Т Ь Е НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Сравнивая последнее уравнение с уравнением непрерывности (5.13) и учитывая, что плотность заряда равна произведению заряда отдельной частицы е на плотность числа частиц, в данном случае равной плотности вероятности, будем иметь: р = еф*(1)ф(1), (5.20) Учитывая два последних соотношения для плотности тока, находим: 1 = — "(ф(1) а б ф*(1) — ф*(1) а б ф(1)).
(5 21) Следует заметить, что для монохроматической волны ф(1) =е плотность заряда и плотность тока (5.22) 1 = — (фугас(ф* — ф'йтайф) (5.23) ~рНА 1р=1. 'е (5.24) Подставляя это выражение для ф в (5.22) и (5.23), для плотности заряда и плотности тока соответственно находим -з р=ефф=5 е, (5. 25) е е Р=РН. МОХ 3 Отсюда видно, что если заряд распределен по всему объему с равной вероятностью, то его плотность, как и следовало ожидать, равна величине этого заряда, деленной на весь объем, а плотность тока связана с плотностью заряда таким же соотношением, какое имеет место в классической электродинамике.
не будут зависеть от времени. В случае вещественных волновых функций (111' = ф) плотность тока всегда равна нулю, Например, для электрона, находящегося в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме (фиг. 4,3), выражение для плотности тока обращается в нуль (у = О), что является вполне естественным, так как колебания в потенциальной яме, описываемые вещественными волновыми функциями, представляют собой по существу стоячие волны, а стоячие волны не могут образовывать потока частиц, Иное положение вещей мы будем иметь при исследовании свободного движения частицы, когда волновая функция согласно (4.61) задается бегущей волной й б. Нестацнонариое уравнение Шредингера Выясним теперь физический смысл коэффициентов С„, входящих в полное решение зр(1) волнового уравнения [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
