Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(5.4)] Подставим для этого значения ф(г) в соотношение (5.16), определяющее сохранение полного заряда, Тогда, учитывая (5,20), получаем: У~ ~~С",С е " " " ) ф*,ф сРх=1. (5.26) г' ч Поскольку волновые функции должны удовлетворять условию ортонормированностн ) тр" зр Рх= 6 имеем: (5.27) (5.28) При этом коэффициенты ~ С,1з будут характеризовать распреде- ление частиц по различным квантовым состояниям. Квантовые ансамбли. В квантовой механике люжно ввести понятие квантовых ансамблей, объединяющих совокупность одинаковых невзаимодействующих друг с другом частиц (или даже возможных их состояний), описываемых одной и той же волновой функцией '.
Понятие ансамбля как совокупности частиц может быть введено и в классической теории, однако квантовые ' Анализ волновой природы частиц с помощью квантовы~ аисамбч.й был произведен рядом советских физиков 1К. В. Н и к о л ь с к и й. Квантовые процессы. М. — Л., 1910, стр. Зб; см.
тзкжез Д. И. Б л о х и н ц е в. Основы квантовой механики. М. — Л., 1961, стр. 511. Отсюда непосредственно следует, что коэффициенты (С„1з характеризуют вероятность пребывания частицы в квантовом состоянии и. Действительно, если точно известно, что частица находится в состоянии по (Е =Ез,), то все коэффициенты С„, за исключением С„„должны быть равными нулю, т. е, мы должны положить С„= Ь„„,. Если частица имеет отличную от нуля вероятность нахождения не в одном, а в двух и более состояниях, то отличными от нуля будут соответственно два и более коэффициентов. При этом вероятность пребывания в том или ином состоянии характеризуется величиной 1 С,1з, в то время как плотность вероятности распределения их по пространству определяется 1зр„1з.
В тех случаях, когда в пространстве имеется большое число, например Лг, частиц, то вместо (5.27) имеем: «'1С„1з = Ж. з Зв ч я с т ь т. игнелятивистскяя квантовая михаи икя ансамбли обладают специфической особенностью, заключающейся в их когерентности, связанной с принципом суперпозицни, имеющим место, вообще говоря, при исследовании любого волнового процесса. Допустим, что М частиц, составляющих квантовый ансамбль, имеют определенное распределение по различным состояниям ]Со,[з=йяо [Сч,[з=Л/я„[С,['=Уч„.... (529) причем (5.30) В соответствии с принципом суперпозиции общая волновая функция, подчиняющаяся уравнению Шредингера, должна представлять собой линейную комбинацию (суперпозицию) волновых функций, характеризуюших возможные состояния [сьь (5.4)]: зр (1) = С„Ф„(1) + С„ф„(У) + ....
(5.31) Это обстоятельство существенно при определении полной вероятности, пропорциональной произведению зр*(г) ф (г) . Действительно, в этом произведении наряду с членами зр„(з) тр„(1), тр" (г) ф„(г), ... должны также появиться и смешанные члены вида ч)з„(г)зр„(г) и т. д., определяющие статистическую связь между различными квантовыми состояниями. Наличие смешанных членов, отличных от нуля в случае когерентных ф-волн (чистый ансамбль), приводит к интерференции волн де Бройля, что не имеет места в случае иекогерентных ф-волн (смешанный ансамбль), Таким образом, в чистом ансамбле складываются волны, а в смешанном — интенсивности '.
Так, например, попадание на экран пучка электронов, предварительно прошедших сквозь щель, дает изображение днфракцнонной картины (чистый или когерентный ансамбль). В этом случае максимумы располагаются н в центре и на концентрических окружностях, радиусы которых зависят от соотношения длины волны де Бройля и размера дифракционной щели. Таким образом, с помошью введения понятия квантового ансамбля может быть дана статистическая интерпретация результатов волновой теории, включая интерференцию как следствие принципа суперпозиции, имевшего место для чистых ансамблей я, В самом деле, при наличии большого числа частиц, участвующих ' Понятие ансамблей можно применить и к исследованию фотонов.
Когереитные фотоны образуют чистый ансамбль, некогерентные — сме.ванный. ' Заметим, что квантовые ансамбли не могут объяснить статистического характера явлений микромира, что, по-виднмоззу, мсжьо сдзлать, омная за рамки квантовои механики, й 3. Нестанионарное уравнение Шредингера в одном опыте, или большого числа повторяющихся с одиночными частицами опытов вероятность того или иного процесса, вычисленного по квантовой механике, должна согласно закону больших чисел совпадать (так же как и в классической статистической физике) с реальным распределением, которое можно наблюдать экспериментально. — 3 ф= Ле" (5.32) Будем исходить из уравнения Шредингера, записанного в опе- раторном виде ( —,',„+ Р— Е) ф = О.
(5. 33) Принимая во внимание конкретный вид оператора р = — ой у', согласно (5.32) имеем: рф = (ат а с( 5) ф ф ((Ягаб 5)2 гЬ ~25),~, 2гно 2пто (5.34) (5.35) Из уравнения (5.34) мы видим, что соотношение (5.32) приводит к той же связи между оператором импульса р и действием 5, какая была установлена в классической теории. Однако при вычислении р' появляется дополнительный член, пропорциональный Ь [см.
(5.35)~. Подставляя (5.35) в (5.33), получаем уравнение — (дгас(5)е+ )г — Š— — т7'5 = О, 2гно 2гно (5.36) которое является преобразованным уравнением Шредингера. Чтобы получить уравнение Гамильтона — Якоби, мы должны пренебречь последним членом, т. е. положить Ь = О. Как известно, при Ь = О квантовое уравнение должно переходить точно в классическое — р+У вЂ” Е=О, ! 2то (5.37) Связь между теорией Шредингера и классическим уравнением Гамильтона в Якоби. Уравнение Гамильтона — Якоби„ описывающее в классической механике движение материальнои точки в поле потенциальных сил, является нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка При переходе от уравнения Шредингера к классическому уравнению Гамильтона — Якоби связь волновой функции ф с действием 5 следует выбрать в виде Ч А С Т Ь Г ИЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАННКА из которого видно, что р = ягайло.
(5.38) Если же а Ф О, то при соблюдении условия (дга45)' » а~ чу) (5.39) квантовые члены дадут небольшие поправки к классическому уравнению. Совтветствуюшее приближение носит название квазиклассического Принимая во внимание, что )э = йтаб 5, последнее условие можно записать в виде —, ) ейт р ) (< 1. л В частности, для одномерногв случая имеем: л ( дя ! ) д(ыр) 1 (5,40) Таким образом, квазиклассическве приближение оказывается достаточно точным в том случае, когда дебройлевская длина волны постоянна, либо слабо изменяющаяся величина. Уточним последний вывод на конкретном примере. Принимая во внимание, что р-$2 Н вЂ” 22, (5.4!) (5.40) мы можем записать в виде (5.42) ' Приближенный метод Вемтнелн — Крамерса — Брнллюэна (ййетод ВКБ).
Как было означено, уравнение (5.36) совершенно эквивалентно уравиеншо Шреднмаера. Поэтому можно вопытаться в основу волновой теории положить именно уравнение (5.36), дк где г = — — — классическая сила, действующая на частицу. дх Отсюда, в частности, следует, что ивазиклассическое приближение становится неприменнмьем нрн малых значениях импульса частицы и в особенности в тех точнах, где по классической теории частица должна остановитьяи (Е= У, р=О). Такое яоложение имеет месте, например, в елучае, когда частица, находясь в потенциальной яме, в результате отражения от потенциального барьера начинает возвращатьвя абраано (точки поворота). Все это может найти простое вбъиаиенне, если учесть, что ври р- 0 дебройлевская длина волны атреммтея к бесконечности, н поэтому волновые свойства частицы будут проявляться особенно сильно.
ва а В Нестанионарное уравнение Шредингера Фнг. Вл. К решению волнового уравнен~ и по методу ВКВ. рассматривая дополнительный к классическому уравнению член, пропорциональный й, как некую квантовую потенциальную энергию (5А3) шо которой следует дополнить уравнение Гамильтона — Якоби. Однако в общем случае решить нелинейное уравнение (5.36) значительно сложнее, чем линейное уравнение Шредингера, и поэтому многочисленные попытки повести развитие квантовой теории по пути точного решения уравнения (5.36) успеха не имели. Тем не менее Вентцелю, Крамерсу и Бриллюэну удалось найти приближенное решение уравнения (5.36), ограничиваясь членами порядка й, которое оказалось пригодным для исследования ряда задач квантовой механики. Этот метод решения, применимый лишь ь одномерным задачам, получил название приближенного метода ВКБ.
Будем считать, чго потенциальная энергия является сравнительно гладкой функцией х (фиг. 5,!). Для частиц с энергией Е весь промежуток изменения мы можем разделить на две области. В первой области (х < хо) энергия Е больше потенциальной энергии: Е>У, а во второй области (х > ко), наоборот, Е < У. Очевидно. что на границе этих двух областей (х = хо) имеем Е = У(хо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
