Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Исходное уравнение (5.36) в одчомерном случае принимает вид Кт гВЕ = 2гле(Е У) = Рв. (5.44) Сначала найдем решение этого уравнения для первой области (Е > У), когда величина Ра > О играет роль квадрата классического импульса, Решение ищем в виде ряда с — Ео.( с, + с„з (5.45) Ч А С Т Ь 1. НЕРЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАННКА где величина 5о не зависит от 6, 5~ пропорциональна й, 5е про- порциональна йг и т, д.
Подставляя ряд (5.45) в уравнение (5.44) и пренебрегая величинами, пропорциональными лг н выше, полу- чаем 5'г + 25'5' — И5" = р'. (5.46) Приравнивая друг другу члены в левой и правой частях, не зависящие от й, а также пропорциональные й (при этом необходимо учитывать, что величина 51 пропорциональна 3),находимт 5" = Р', 25'5' =- сй5". о ° о 1 о (5.47) Отсюда следует, что 5о = нг ) Р с1х, 5, = Й 1п ) Р ° к Поэтому, ограничиваясь членами порядка и, и;леем: 5 = 5о+ 51 = и ~ Р с7к + И(п )7 Р .
к Подставляя (5.49) в (5.35), находим следующее выражение для волновой функции в первой области (х < х,): ф„<к = — [Асов(х+у)+Всоз(к+у)!. (5.50) $~р (5.49) Точно так же для второй области (х > х,), в которой р'< О, получаем = =(1)е!'1+ Се-1 1), 1 (5.51) к>к, у! где' з = — ( Р дх > О, ! х ! = -„- ~ ! Р !Е(х > О, р-Кч ~г — с), )р)-1 2 тг-гч (5.52) 'А, В, С, (г — произвольные постоянные, а фазы у и у'чьу мы можем положить равными любым, но вполне определенным конкретным значениям (см ниже формулу (555) с а=и-'/т), Волновые функции (5.50) и (5.51) и представляют собой приближенные решения по методу ВКБ, Из этих решений видно, что при Е > )г волновая функция изменяется подобно, как в поген- ' В случае если потенциальный барьер булет слеаа от особой точки, то при определении г и !г! мы лолжны поменять местами прелелы интегрпроаания так, чтобы нижний иречел был меиыие аеочнего Таким образом, величины г и !г! асс~на лолжиы быть положительными.
$ З. Неееаинонарное уравнение Шреаингера циальной яме (см. (4.21)), т. е. по закону косинуса или синуса, а при и' ) Е подобно, как в потенциальном барьере, т. е. по типу экспоненциального закона (см, (4.23)]. Сравнивая решения, найденные при ио = сопз1, с решениями, полученными в том случае, когда потенциальная энергия является функцией к, мы видим, что переход от одних решений к другим заключается в замене площади прямоугольного барьера, образуемого осью х и осью, на которой отложена величина 1 Зкио(ко Е) 1Р~ и = ' а —— — „, соответствующей площадью, учитывающей, что Р является функцией х.
Схематически этот переход можно изобразить следующим образом к — х- — ~ ~ р(о(х. 1 г л л) о (5.53) ро = — (х — ко) 2то М' (хо) = — аде (х — хо), (5.54) приближенное решение удовлетворяло бы уравнению ф — а (х — хо) ф = О. (5,54а) Аналогичный переход можно сделать также и в случае потенциальной ямы.
Таким образом, конкретный вид зависилшсти потенциальной энергии от х не изменяет характера решения; последний определяется лишь знаком разности между Е и Р, Решения (5.50) н (5.51) дают хорошее приближение лишьдля областей, сравнительно удаленных от особой точки х,, где величина р' относительно велика. Вблизи же особой точки (х- хо) величина р'- О, и поэтому знаменатель в выражениях (5.50) и (5.5!) обращается в нуль, а само решение становится расходящимся.
Если бы мы могли выразить постоянные С н Р через А и В, то найденное приближение было бы вполне достаточным для многих задач, так как область )х — хо)- 0 является сравнительно узкой. Однако соотношение между этими коэффициентами может быть найдено только в результате сшивания функций, которое следует производить именно на границе областей, т. е. в точке х = х, (под сшиванием мы будем понимать приравнивание на границе области х = х, волновых функций и их первых производных), Поэтому приближенное выражение для ф необходимо представить в таком виде, чтобы при больших ре имело место соот. ношение (5.50), а при х- х,, когда Ч А С Т Ь !. НЕРЕЛЯТИВИСТСКЛЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Как известно, при больших аргументах г косинус связан с функцией Бесселя порядка и при помощи соотношения ня я! Н» соз(г — — ' — — "! = 1/ — У (Е).
2 4! ! 2 (5.55) Тогда для волновой функции мы можем написать (5.56) рр При больших г (и любых и) решение (5.56) в силу аскмптотической формулы (5.55) переходит в решение (5.50), найденное по методу ВКБ. Попытаемся подобрать порядок и бесселевой функции таким образом, чтобы решение (5.56) удовлетворяло уравнению Шредингера не только при больших г, когда (х! -" » ',х,(, но и вблизи особой точки х -о х, = О, т.
е. при г -Р О. когда согласно (5.54) имеем Р = Л )Га(хо — х) — РО, з = (хо — х) '-РО. (5.57) 2Ра з Асимптотическое выражение для тр принимает вид $ - .-о '4 т)/ 3! ~"( з (хо — х)'). ( . ) где УА и У !,— бесселевы функции мнимого аргумента, а !а! в общем случае определяется равенством (5.52), которое в случае х — хо+ 0 дает ! з! = (х — хо) *. 2!' а ') Как навес~но, для фтнкнии Бесселя горянка я имеем уравнение: о о ! + — ! ч-!! — — )! =О.
и ! ~ ! о» и ( а~~ я Отсюда видисч что в (5.59) л =.~- '),, Подставляя (5.58) в (5.54а), получаем, что У„при малых а должно удовлетворять уравнению Бесселя — "+ — — "+(1 — )У =О. л'Уо ! КУл ! н»о я яя '! 9»т ! (5.59) В этом случае вместо решении (5.50) находим' ф»(», = 1/ 2У, (АУИ (х)+ВУ ч (а)1.
(560) Аналогично для второй области Е ( )т вместо (5.51) получаем: ф»>» = )Т/25! (СУ!,(!г1)+У)У А(!а!')), (561) й 5. Нестанионарное уравнение Шредингера Для того чтобы сшить оба решения, мы должны найти асимптотические выражения (5.60) и (5.61) в области х- хз, когда для бесселевой функции мы можем ограничиться лишь первым членом разложения (5.62) (хо л) + 2 В )' и й ь (За) "Г Я ( — )+ ' ' . (5.65) 51Г~1) ь нГ(2) Сшивая оба решения в точке х=хо, имеем: 0=В, С= — А, Учитывая асимптотические выражения как для обыкновенной бесселевой функции ]ем. (5.55)], так и для бесселевой функции мнимого аргумента ' Т„(1г[) =- [е1'+ е-1'1созп(п + '/з)], (5.64) ) 2н )л[ находим, что формулы (5.60) и (5.6!) при больших х принимают вид фл(х, = = ~Асов(г — — ) + В сов(г — — )~, (5.65) )'р ф„>„= ]( — А)Е(Ы+(В+А)СОЗ вЂ” "Е [а(~. (566) ь~Г ~ 6 ' Строго говоря, асимптотика (5.64) явлнется неоднозначной (см.
Ф. М о р с и Г. Ф е ш б а х. Методы математичесной физики, т. 1, ИЛ,!958, стр. 583), но зта неоднозначность совершенно не сказывается на сшиаанич решений с экспоненниальным убывающим множителем [си. (5.68)], а для зкспонеиниально возрастающего решения [см.
1571)] дает правильно основной член разложения. Неоднозначность асимптотики связана с разрывом Стокса, который в нашем случае дает ')] гя 1 —,)] 1„ (1 з 1 го) = [е +е ' аг]. (5.64 а) )' 2я [з[ дсимптотика же (5.64) равняется полусумме двух вгих крайних значений. 5 з .з'з Тогда решения (5.60) и вид: Л )' (3 )ч " '(3) (5.61) принимают соответственно часть т нвивлятианстскяя квинтовая механика Фиг. 5.2. Каантоаание потенциальной ямм по методу ВКБ. Х Х2 Полагая в последнем равенстве В=А= о, находим первую Уз ' пару сшитых решений: а .
г пт фи<„„= = з(п ~а+ — ) (5.67) (5.68) для которых экспоненциально убывающее решение (5.68) в области х>х, представляет собой аналитическое продолжение синусоидального решения (5.67) для области х(ха. Чтобы определить аналитическое продолжение экспоненцпально возрастающего решения (х>х,), мы должны положить В = — А = Ь.
(5.69) Тогда получим вторую пару сшитых решений: ь / як фаях, — соз ~х +— (5.70) ь фиэл, — и м! Уг! р( (5.71) * Квантование в квазиклассическом приближении. Полученные формулы позволяют произвести квантование (т. е. найти энергетические уровни) частицы, находящейся в потенциальной яме, в приближении ВКБ. Допустим, что мы имеем потенциальную яму произвольной, но гладкой формы (фиг. 5.2). Очевидно, что процесс квантования по методу ВКБ будет заключаться в нахождении таких условий, при которых экспоненциально ьозрастающее решение с обеих сторон потенциально~о барьера (х .
х, и х > х,) обращалось бы в нуль. В этом случае согласно (5.67) волновая функция в области потенциальной а7 й З. Нестаннонарное урааненне Шредингера ямы, прилегающей к границе барьера, имеет вид (х- х,): х, Я~ Фх<х, = = з!п — ) рс(х+ ° (5.72) Точно так же для потенциальной ямы, граничащей с другим барьером х=хь мы можем написать: а . ! 1 и ту~)а — — 51п — ) р с(х +— (5.73) Оба решения должны быть тождественны между собой в любой точке х1<х<хт потенциальной ямы, лежащей иа достаточно большом расстоянии от границ потенциальных барьеров.
Произведя в одной из точек х сшивание обоих решений (5.72) и (5.73), т. е. приравнивая в этой точке волновые функции и их производные, имеем: к, к Г ! Г а' з!и — ) р с)х+ — — а з!п — )' рг)х+ — =О, (Г1) 4) (» ) 4) к к хг х г! г г! г а'соз — ) р с!х+ — +асов — ) р сгх+ — =О. (») (~и ) к к Чтобы эта система однородных уранненнй имела ненулевое ре- шение для а и а', необходимо потребовать обращения в нуль ее определителя, Тогда получим соотношение к, 1Г! Г з!п — ~! р сгх+ — =О. !,» ) 2) х, Отсюда, учитывая, что ~ рггх не может быть отрицательной х, величиной, так как р= )/2то(Š— (г))О, находим: х, — ) р с(х+ — =(и+ 1)и, и =О, 1, 2, г Л к, (5.74) ~ рдх=2и»(и+ 2) =Ь(и+ — ), (575) Таким образом, правила квантования, полученные с помощью приближенного метода ВКБ, т.
е. с точностью до членов порядка », принимают вид Ч А Г Т Ь Т. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА к к а ~ — з(п ~ — ~ р т(х+ — =1. 2 " ~» ' 2 р ~л! 4 ! к, к, (5.76) Синус представляет собой быстро осциллирующую функцию, н поэтому его квадрат с достаточной степенью точности можно за- менить средним значением, равным '/2. В этом случае равенство (5.76) приведем к виду ка — а' ) — =1. 2 р к, (5.77) 2В Далее учтем, что период колебаний т= — (ВТ вЂ” круговая частота) равен: ГДЕ О=— Р В2о Отсюда жение — скорость частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
