Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Покажем, в частности, что оператор р„ удовлетворяет условию (7.6), несмотря на то что по внешнему виду он является чисто мнимым. Докажем для этого прежде всего важную для дальнейшего теорему о «перебросе» производной. Заключается она в следующем, Допустим, что мы имеем интеграл О = ] ио!"!17х, (7.7) дко где и!"! = †„ . Тогда если все подстановки пределов типа (НО(к-Н] ]в!НО!и-2!]" (П1к- ОО] (7.8) обращаются в нуль, то результат интегрирования б не изменится, если мы в (7.7) а-ю производную с функции о «перебро. снм» на функцию и и поставим при этом перед интегралом множитель ( — 1)": ~ ио!"! с!х = ( — 1)" ~ и'"!п с(х. (7.9) В самом деле, производя в (7.7) и-кратное интегрирование по частям и учитывая нулевые значения подстановок (7.8), приходим к соотношению (7.9). В случае дискретного спектра условия (7,8) будут всегда выполнены, так как волновая функция убывает на бесконечности по экспоненциальному закону. В случае ке свободного движения (непрерывный спектр) эти выражения обращаются в нуль вследствие условия периодичности.
Физически условие (7.8) означает, что на бесконечности нет никаких час1иц и никаких гоков. вв часть г нвевлятнвистскхя квантовая механика Возвращаясь к доказательству самосопряженности оператора р„в равенстве (7.9), мы должны положить и = ф" (1), и = — Иф(1) и п = 1. Отсюда автоматически следует, что (р„) = — ) ф (1) й — ф(1)г(х = ~ ф(1) И вЂ” ф (1) дх=(р ), д д получаем: ) ч' (1) ~Ч'(1) г( х = Л ) Ф (г) ф (1) и'х = Л. (7. 1 1) Если оператор М уравнения (7.10) имеет несколько собственных значений М, Ль ., Л„.,., соответствующих функциям ф~(1), фг(1) ., ф„(1) (например, эзо может иметь место д для оператора энергии Е = И вЂ”;, Л„= Е„), то, принимая во внимание, что общее решение ф(1) может быть записано в виде ф (1) = чг С„ф„ (1), (7.!2) и находим: для среднего значения оператора энергии Е =Ив (Е) = ~'~С (эЕ„.
и (7.13) Здесь !С„!' суть вероятности осуществления того или иного квантового состояния микрочастицы. Если все С„, за исключением одного С„, равны нулю, то (Е) = Е„„т. е. средняя энергия совпадет с собственным значением Е„, и, следовательно, последнее будет соответствовать той энергии, которую можно наблюдать на опыте. В том же случае, когда отличны от нуля несколько коэффициентов С„: С~н С„н ..., С„р ..., в резуль- т. е. условие самосопряженности (7.6) для р„оказывается выполненным. Заметим, что в противоположность оператору д д р = — Й вЂ” вещественный оператор — не является самосадх дх пряженным, и его среднее значение не имеет физического смысла.
Если оператор М имеет только одно собственное значение Л (и одну собственную функцию ф), то оно, как нетрудно видеть, будет совпадать со средним значением эгого оператора. Действительно, следуя общему правилу (7.7) определения среднего значения оператора и учитывая, что Мф(1) = Лф(1), (7.10) й т. Статистическое тоаиоваиие нвантовоя механики таге экспериментального измерения мы будем получать либо то, либо другое значение энергии. При многократном повторении опытов число случаев, когда обнаруживаются частицы с энергией Е„,, должно быть пропорционально соответствуюшим теспетическим вероятностям ~ С„, !з.
(х) = ~ ф хф дзх, (р ) = — ~ зФ*!я д с(зх * дФ з (7.! 4) (7.15) Прежде всего заметим, что,' хотя средняя ошибка, или отклонение от среднего, вычисляемая по формуле (Лх) = ) ф*(х — (х)) зр еРх = (х) — (х) = О, (7.!6) н равна нулю, это все же никоим образом не означает отсутствия других возможных положений частицы, отличных от (хз, поскольку отклонения могут иметь относнзельно центра тяжести (х) различные знаки и, следовательно, в среднем взаимно компенсировать друг друга. Поэтому отклонение от среднего значения следует харзктеризовать средней квадратичной ошибкой, которая при любом отклонении от (х) имеег положительный знак.
Эта средняя квадразичная ошибка для координаты может быть вычислена по формуле: ((Лх)з) = ~ зр (х — (х))зфс(зх=(хз) — 2(х)з+(х)з=(хз) (х)з (7 17) Обрашение в нуль средней квадратичной ошибки, например, ((Лх)з) = О, означает, что вероятность пребывания электрона Вывод соотношения неопределенности. Как мы указали в предыдушем параграфе, наблюдаемые физические величины, т. е.
величины, которые мы можем измерять, следуег математически характеризовать лишь средним значением, вычисляемым по формуле (7.4). Покажем, что если средним квантовым значениям соответствуют некоммутируюшие друг с другом операторы, зо в рамках квантовой механики они не могут быть одновременно вычислены точно. Наиболее важным в этом отношении является вычисление огклонения от средних значений операторов двус канонически сопряженных величин: координаты х и импульса р„. В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда волновая функция не зависит от времени (стационарный случай). Тогда средние значения координаты н импульса могут быть найдены соответственно из соотношений; Ч А С Т Ь 1 ИЕВЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА в пространстве отлична от нуля лишь при х = (х).
В этом случае среднее значение равняется точному, т. е. соответствующая вероятность пребывания частицы будет описываться 6-образной функцией. Аналогично для средней квадратичной ошибки по импульсу имеем: ((Лр„)г) = ~ зР'(р„— (р„))г ф г(зх = (р'„-) — (р„)г (7.18) Чтобы установить связь между ((Лх)г) и ((Лр,)'), мы можем без ограничения общности доказательства выбрать систему координат с началом в центре тяжести волнового пакета ((х) = О), причем так, что она движется вместе с последним ((р,.)=0). В этом случае получаем: ((Лх)') = (хг) = ~ ф*х'зФ г(зх, «".))=<".)=У (- — ) "" (7.19) Рассмотрим следующий интеграл: ! ( ) = ~ (охзг + дх ) (цхзр+ дх ) Е( х, (7.20) где а — некоторая произвольная вещественная величина, не зависящая от х.
Последнее выражение можно представить в виде 7 (а) = Ааг — Ва + С, (7.21) где А ~ ф* л,( (з (.г) ~0 й = — ~ ~ ~ хзр+ хф — ) е( х— о! х ) ф ф е(зх 1 (7 22) ,(зх ~,!,*~ зд — 1 фе(з = — ">0 дк дк а з 1 дк / ! (а) ) О. (7.23) Условие (7.23) накладывает определенное ограничение на коэффициенты А, В и С. В самом деле, это соотношение будет иметь Так как подынтегральное выражение в (7.20) существенно положительная величина или нуль, то $ 7. Статнстниеское толкованне квантовой механики место для любых вещественных значений а, если оно вьшо м няется при сс=ае, отвечающем минимуму функции !(а).
Значение ао может быть найдено из условия !'(ао) = 2Аао — В = О, т. е. д по=в хА (н (ао) = 2А > О, Поэтому минимальное значение Г(а) равно: ди (мии — 7(~~о) — — 4А -гС~)О. (7.24) Отсюда следует, что неравенство (7.23) имеет место для люоых вещественных значений и, если выполняется условие Вт (4АС. Подставляя сюда значения для А, В и С из (7.22) и принимая во внимание (7.19), находим соотношение между ((ЛР,)з) и ((Лх)'): 4 (( тх)з) ((ЛРх) ) ~ ~4 ( ! Рхх Рх 1') (7.26) Обобщая последний результат, мы можем вообще сказать, что если два оператора М, и Мз не коммутируют друг с другом, то для них всегда имеет место соотношение неопределенности: (( М 0 ( ™Мт) ) ии 4 (1М,Мт ™тМ, 1'), (7.27) ((ЛМз)') = ~ ф (Мз — (М,))'фс(зх, ((=1, 2).
(7.28) где ' Некоммутатнвносгь операторов р„н х можно доказать с помощью равенств: дтр дхф / д хр,ф= — Йх, р хф= — Й вЂ” — Й(1+х — )ф дх к дх дх ) Отсюда следует: (р„х — хрх) зр= — йф, нлн в операторной форме; рхх — хрх = — зй. (7.25 а) Это неравенство н представляет собой строгую формулировку соотношения нео предел е н ности. Если учесть, что р„х — хр„= — И ', то последнее соотношение можно записать в виде ч деть ( нерелятнвистскдя квантовая механика 1(рсх)! ~п а) (х) х (г) Фиг.
7.1. Распределеаие плотности вероятности в координатном (а) н импульсном (б) пространствах: 1(ох)а (ор)а)" = —. 2' Если распределение в координатное пространстве (а) сужается, то распределение в иыпульсион пространстве (б) расплываетси. Как мы указывали, соотношение неопределенности является следствием корпускулярно-волнового дуализма, лежащего в основе квантовой механики, и не связано с субъективной стороной опыта, т.
е. с наблюдением. Эксперименты могут только подтвердить те выводы, которые из него следуют. Смысл соотношения неопределенности заключается в том, что распределение плотности по переменным, которым соответствуют некоммутирующие операторы, принципиально не могут одновременно иметь вид б-функции (фиг. 7.1). Более того, чем ближе к б-функции распределение вероятности по одной переменной, тем более размытым становится это распределение по другой.
В пределе, когда, например, распределение по х, т е. )тр(х) (', примет вид б-функции (((Лх)Я) = О], по импульсу р„оно станет таким, что для всех значений р, величина ((р(р„)1' будет постоянной, т. е. ((Лр„)') = Условие коммутативности двух операторов является необходимым условием того, чтобы соответствующие нм физические переменные могли быть точно вычислены одновременно. Классические и квантовые скобки Пуассона. Как известно, состояние системы в классической механике определяется так называемыми д и н а м и ч е с к и м и п е р е и е н н ы м и. Величины, фигурирующие в канонической (гамилыоновой) форме, за- й 7. Статистическое толкование квантовой механики эт висят, как правило, от координат хо импульса р, и времени Г,т,е )=Ир! хо ) (7,29) Например, в одномерной стационарной задаче функния Гамильтона зависит лишь от к и р„: +1?(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
