Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Подставляя сюда значение для ф„(х) из (8.41), имеем: юр (р) — ~ с(хе 'ккю7 е а 77 ( ) 1' 2пй )/2хл1 Р'и кю ю ик. — любе-91'е " Н„ф). (8.81) )/ 2кл1 Рсп й Как известно, фурье-образ функции (8.60) переходит сам в себя ' с коэффициентом )72п ( — 1)": юр„(р) = . 1 Н„( р ))е Р 2"л! 1' и рю и импульса р„.„= ~ юр„рср„сюр (8.84) ю Сма Н.
Н. Л е б е л е в. Специальные функции н их приложения. М. — Л., «Наука», 1963, стр. 87. Отсюда и оправдывается введение множителя ( — 1)" в волновую функцию (8.76). Определив волновую функцию юр,(р) в пространстве импульсов, можем найти по следующим формулам матричные элементы координаты "'=)" '(--Ы " (8.83) ыв Ч А С Т Ь 1 НЕПЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МГХАННКА для которых получим те же значения, которые были найдены в координатном представлении [см. (8.68) и (8.69)). 3) Матричное представление.
Мы сможем удовлегворить также перестановочным соотношениям квантовой механики (8.50), если операторы импульса и координаты станем описывать с помощью матриц, которые в общем случае, как известно, не коммутируют друг с другом, Обозначая матричные величины круглыми скобками, соотношение (8.50), а также гамильтониан для гармонического осцнллятора (8.49) мы можем представить в виде (рх) — (хр) = — 1, л (8.85) 2гп + 2 (Р) агом (8.86) 0~/ —,0 0 0...
У' 01/' 0 0 0 1/, '0 У'0 хпп хо~ хоа .Та хц х„ Хта Хм Хтт (8.87) (х) = = Хп ' Заметиьг, что совокупность матричных элементов Р 1 *Р ИЗ. оператора г называется также описанием оператора г в энергетическом пред- ставлении. Кстати, заметим, что законы квантовой механики были впервые сформулированы Гейзенбергом именно с помощью подобных матричных уравнений, нз которых и были найдены (х), (р) и (Н). Ради краткости мы воспользуемся найденными в случае гармонического осцнллятора значениями для матричных элементов и покажем, что они удовлетворяют соотношению (8.85).
Затем с помощью формулы (8.86) найдем спектр энергий. Оказывается, решением уравнения (8.85) являются матрицы, составленные из матричных элементов координаты н импульса, полученных нами в х-представлении (нли р-представлении) Матричные элементы (8.68) н (8.69) образуют при этом следующие бесконечные околоднагональиыг матрицы '.
й 8. Линейный гармоааческвй осцаллятор Рю Рш Рв) Рм Р) Ри Рьо Рш Ртт . /1 11 = гпвгохв О / 2 О Учитывая, что матричные элементы произведения двух матриц равняются сумме произведений соответствующей строки на столбец (Рх)ш„ = ~ Р„, х,„, (8.89) мы находим с помощью (8.87) и (8.88) (Рх)„м — (хр), = ~а~(Р„,„х„п — х„,,Р,„) = — б „(8.90) Ь т е, правая часть этого равенства образует единичную матрицу, й ) умноженную па Поэтому основное соотношение (8.85) квантовой теории в матричном представлении будет удовлетворено.
Вычислим теперь матричный элемент гамильтониана (886), который равен: Подставляя сюда значения для матричных элементов коорди- наты и импульса из равенств (8.87) и (8.88), находим: 11 О 'и = йго '(" + я б '« ' Если быть последовательным, то прв решении чадачв в матрячном представлеявп, наоборот, яа равенства (8 90), учитывая вра агом (8691, следует найти матрицы (8.87) в (8 88). 8 Эак ааа Эти матрицы являются эрмитовыми, так как соблюдается соотношение Реп = Рпп- Н4 часть ь ненглнтивистская квантовая механика Таким образом, гамильтониан (Н) образует диа~оналызую матрицу — О О О О О О (8.91) (Н) = лот — О О О 9. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ Спонтанные и вынужденные переходы.
Согласно классической электродинамике источником излучения света может стать, например, ускоренно движущийся заряд, причем количество излучаемой энергии в единицу времени определяется известной формулой' з 2 е' с' (9.1) где г = та — ускорение частицы, Если источником излучения является одномерный гармонический осциллятор х = а соз озй (9.2) ' Черта сверху будет означать усреднение по времени. Если рассматриваемая величина образует диагональную матрицу,то это означает на языке волнового уравнения Шредингера, что данный оператор обладает спектром собственных значений, определяемым диагональными элементами.
Таким образом, на примере гармонического осцнллятора мы убедились, что все три представления (х-представление, р-представление и матричное представление) приводят к одному н тому же результату для матричных элементов координаты, импульса и энергии. Поэтому если при возникновении квантовой механики с первого взгляда казалось, что матричный и волновой подход могут привести к различным результатам, то дальнейшие исследования показали их полную тождественность.
Существует еще ряд других представлений квантовой механики, например, представление Гейзенберга, представление взаимодействия и т. д. Читатель может с ними познакомиться в специальной литературе. й В. Квантовая теория излучения 116 то частота излучения будет совпадать с механической частотой колебания осциллятора, а интенсивность излучения пропорциональна квадрату амплитуды а' [см.
(8.5)). В том случае, когда движение заряда происходит по более 2и сложному периодическому закону х = !(1) с периодом т = — ' функцию 1(1) можно разложить в ряд Фурье х = Х аасозозИ, (9.2а) и рассматривать излучение так, как будто оно порождается системой осцилляторов с частотами <оя=Ь», где й = 1,2,3..... При этом излучаться будет как основной тон <о (и = 1), так и гармоники й<о (й = 2, 3, 4,...), причем интенсивность излучения соответствую<цей гармоники пропорциональна а'„. Таким образом, согласно классической теории излучение системы полностью определяется ее механическими свойствами; частота излучения оказывается либо равной, либо кратной механической частоте колебаний системы, а интенсивность излучения соответствующей гармоники пропорциональна квадрату амплитуды.
В квантовой механике к вопросу об излучении следует подходить несколько иначе, поскольку само излучение по квантовой теории происходит только прн переходе частицы (или системы) из одного квантового состояния в другое, энергетически более низкое, или, как говорят, «сверху вниз». Впервые квантовое рассмотрение проблемы излучения было предложено в !917 г. Эйнштейном, который ввел коэффициенты А н В (называемые теперь коэффициентами Эйнштейна). Они характеризуют соответственно спонтанные (самопроизвольные) и вынужденные (происходящие под действием внешнего электромагнитн<ого поля) переходы системы с одного энергетического уровня на другой.
Основные идеи квантовой теории излучения заключаются в следующем. Пусть один из электронов какой-либо атомной системы находится на возбужденном уровне и с энергией Е„. Тогда для такого электрона существует определенная вероятность А„„, отнесенная к единице времени, спонтанного перехода в более низкое энергетическое состояние и' с энергией Е„. При этом происходит непускание фотона с энергией Л<о=ń— Е . Если число подобных возбужденных атомов равно <У„, то энергия излучения в единицу времени, обусловленная спонтанными переходами, может бы<ь записана в виде ))ти'„"а' — — Л'лАлла<от.
(9.3) 116 Ч А Г Т Ь 1 НЕРЕЛЯТИВИСТСХАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Если же атомы подвергнуть воздей- ствию со стороны внешнего электромаг- нитного излучения, то последнее будет в свою очередь вызывать так называемые вынужденные переходы как сверху вниз, так и снизу вверх, причем переходы сни- зу вверх будут происходить, конечно, с поглощением фотонов. Обозначим, следуя Эйнштейну, ве- роятности вынужденного перехода с уров- ня и на п' через В„л, а с уровня и' на и через Вал . Тогда, считая, что число вы- нужденных переходов должно быть про- порционально спектральной плотности р , находил! соответственно для энергии излу- обусловленной вынужденными переходами: %"„„"„" '= /т1„В„„роы, вынааа )Р'..га ' = Л „Вл лРЛоз, Фиг.
9.1. Переходы сверху вниз )спонтанные и вынужденные) и снизу вверх (вынужденные). падающего излучения чения и поглощения, (9Л) /г/лАлл'+ /)/арВл ' = ~~жрВл'л. (9.5) Учитывая, что в этом случае распределение электронов по энергиям задается распределением Максвелла й/лааСЕ ел/хг Лгл =СЕ 'л'/" получаем А,е ел/А1'+ РВ е е /ег рВ, е ел'/Аг -е„/аз Отсюда, сокращая на множитель е / и принимая во внимание, что Š— Ел аа йоз, имеем: '!ла' Р (Го) = — е' — ! л'л ааах! дал' (9.6) Выражение для коэффиниента спонтанного излучения Алл мотает быть написано, если исходить из принпипа состнетствия путем сравнения квантовой формулы с соответств) юще!! формулой классической теории.
где д/„— число атомов в состоянии и'. Рассмотрим случай, когда должно наступить состояние термодинамического равновесия между нагретыми атомами и излучаемым ими светом (черное излучение), обратно воздействующим на эти атомы, т. е. когда число переходов сверху вниз и обратно одинаково (фиг. 9 )): $9. Квантовая теория излучения Подобное сравнение мы произведем на примере гармонического осциллятора: по классической теории энергия, излучаемая гармоническим осциллятором в единицу времени, определяется формулой (8АО): ио 2е'а'Е Зт,с' (9.7) Предположим, что коэффициент спонтанного излучения пропорционален квадрату матричного элемента ' Аии =С| Хил(з Прн переходах сверху вниз (и — и') отличным от нуля будет только матричный элемент (см.
(8.88)] йи 1 и-Ьл 2тоа 2лтоао ' причем Еи Еи — г ал, и-1 Отсюда, приравнивая классическое приближение (й- О) квантового выражения для энергии излучения (9.7а) э соответствуюгцему классическому выражению (9.7), мы найдем уравнение для определения постоянной С; СЕйа 2 и Ее 2тоао 3 таси Определив постоянную С, найдем значение для коэффициента спонтанного излучения ': 4 е'а' (9.8) Далее, если считать известной ецге формулу Планка (см. (2.8)) йа» 1 р (а) = „х» иидг ' При этом мы можем исходить из аналогии с классической теорией, где излучение пропорнионально ивадрату амплитуды колебаний (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
