Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(828)], характеризует еше ~етность нолнномов Эрлиха, а вместе с тем и четкость волновой функнин л) (х) Заме|ни, что нри четных и волновая фунниия ф„(х) является лакме четной фуькнией, т. е. Яри замене х на — х она не изменяе~ своего знака $ В. Линейный гармоннческнй гсннллатор 1ОЯ Таким образом, в случае гармонического осциллятора условие ортонормироваииости принимает впд тр',ф„сух = б„„,.
(8.43) В области малых квантовых чисел, например для и = О, 1, 2, ... имеем: ! 1 Е, =- —, йот, фо = Сое 2 Е,= —, йот 3 чч=С,2це т ', (8,44) 1. р фт = Ст (4~т — 2) е Нулевая энергия гармонического осциллятора и соотношение неопределенности. Выше мы нашли, что минимальная энергия гармонического осип.тлятора (8.28а) отлична от нуля, в то время как по классической теории или по теории Бора она равна нулю. Покажем, что появление в теории Шредингера нулевой энергии (8.28а) самым тесным образом связано, как мы упоминали, с соотношением неопределенности (7.25), которое в нашем случае можно представить в виде 4 (8.45) При этом сделана замена ((Лх)т) на (х') и ((бр)т) на (рт) Это следует из условия, что волновые функини вещественны и явля. н>тся либо четными, либо нечетными.
В самом деле, в силу не. четности выражения ф хф = хфт имеем (х) = ) ф'хф Ых = О. (( т ут) = (х') — (т)т = 'ха) Отс.ода Е, = — йсо, Фпг. Вте Графнк собственных а анапенпй н собственных функпнй осцнллнтора, График собственных значений и собственнык функций осциллятора представлен на фиг.
8.2. Мы видим, что по внешней фор- ме он напоминает аналогичный график, полученный для потен- циальной ямы (фиг. 4.3). Функция фо соответствует основному тону, функция ф — первой гармонике, функция ф,— второй гар- монике и т. д. 106 Ч А СТЬ ! НЕРЕЛЯТНВЫСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Точно так же, используя граничные условия на бесконечносчи, находим: (р) = — ~ г(г — г(х = —. ! л ~ = О.
Гг Л4г й д (+" т. е ((ьр) ) — (р ) — (р) — (р ). Подставляя значения для (р') из (8.45) в выражение для полной энергии Е=(Н)= — + — О (рг) торг! (хг) (8.48) 2тр 2 получаем: Е~ л' „тон (х') зто (х') 2 (8.47) — =О, 2 Зто (хг)г или (х ) = — = — х'. Ь ! 2тоо! 2 о Подставляя это значение в (8.47), находим: 4 4 2 Ьго Ггог Лог (8Л8) лог Отсюда Е„„„= —, что точно совпадает со значением для Ео, найденным по волновой теории (см.
(8.28а)]. Существование конечной нулевой энергии гармонического оспиллятора является одним из наиболее характерных проявлений волновых свойств частиц. В связи с этим экспериментальное подтверждение нулевых колебаний имело большое значение для всей квантовой механики.
Впервые нулевая энергия Ео была обнаружена экспериментально в опытах по рассеянию рентгеновских лучей в кристаллах при низких температурах. Если бы никаких колебаний решетки при низких температурах не было (Ео = О), как это, например, Отсюда видно, что ни при каких значениях (хо) энергия Е не может обратиться в нуль. В самом деле, хотя при (х') = О второй член обращается в нуль, но зато первый обращается в бесконечность. Точно так же, наоборот при (х') = ОО первый член обращается в нуль, а второй — в бесконечность. Таким образом, отличное от нуля Е„„н непосредственно связано с соотношением неопределенности (8.45), т.
е. с тем обстоятельством, что координата и импульс одновременно не могут быть точно вычислены. Найдем, при каких (х') выражение (847) будет минимальным. Приравнивая производную от этой функции по (хо) нулю, имеем: й 8. Лннейный гармоннчееаня оеннллятор |вт следует из теории Бора, то взаимодействие рентгеновских лучей с кристаллической решеткой, а следовательно и рассеяние, не имело бы места. Наоборот, если минимальная энергия будет отличной от нуля (Ео Ф 0), то эффективное сечение рассеяния Ьри низких температурах должно стремиться к некоторому конечному пределу. Эксперимент доказал последнее, т.
е. подтвердил правильность выводов волновой теории Шредингера. Удовлетворить последнему соотношению мы можем несколькими способами, каждый из которых соответствует своему представ лению в квантовой механике. В связи с этим мы сформулируем три основных представления и установим связь между ними. 1) Координатное представлен не (х-п р едставл е н и е) мы получим, полагая импульс оператором (д-число) Ь д д дх ' (8.51) оставляя в то же самое время координату х обычным с-числом. Элементы теории представлений в квантовой механике. В рассматриваемой нами теории Шредингера волновая функция ф зависит от пространственных координат. Согласно принятой статистической интерпретации квадрат модуля функции связан с плотностью вероятности обнаружить частицу в точке пространства с координатами г,г + дг. В этом случае принято говорить, что волновая функция (а также и все операторы) задана в координатном представлении.
Такое представление, как мы уже убедились, удобно для решения ряда конкретных задач. Однако это представление не является единственно возможным. Кроме координатного представления, в квантовой механике рассматриваются также импульсное, матричное (энергетическое) и другие представления. На конкретном примере гармонического осциллятора рассмотрим более подробно этот вопрос. С этой целью напишем гамильтониан (в нашем конкретном случае для гармонического осциллятора), сохраняя связь с импульсом и координатой, которая была установлена в классической теории (8.49) Затем потребуем, чтобы р и х были бы не обычными величинами, коммутирующими друг с другом (т.
е, так называемые с-числа), а какими-то операторами (т. е. д-числами), закон перестановок между которыми должен иметь вид 6 рх — хр = —.. гвв Ч А С ТЬ Е НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ~Š— Ах' +  — „, ) ф (х) = О, (8.54) где (8.55) 2 ' 2то Вводя величину Л= Е 28 (8.56) )' АВ Ьн находим собственные значения (см. (8.26) и (8.28)) для постоянной Лл = 2Н + 1.
(8.58) (8.57) Отсюда следует, что Е = Ьо) (и + '/т), (8.59) глен=0,1,2,3,... Собственные функции определяются равенством (8.41) е ~лл~ Н„( — ) (8.60) ~/2лл! Г'и х„ .тл ф„(х) = и удовлетворяют условию нормировки ~ 1ф„(х) ~'сУх = 1. (8.61) Согласно основным принципам теории наблюдаемыми величинами являются средние значения соответствующих операторов.
Сама же волновая функция играет вспомогательную роль. Так, в частности, в теории гармонического осциллятора существенная роль принадлежит матричным элементам координаты х„.л =- ~ ф,"гхф„г1х (8.62) Тогда величина ЬН является собственным значением оператора (8.50) при действии его на волновую функцию ф(х), зависящую от координаты х: (рх — хр) ф (х) = — ф(х). Подставляя (8.5!) в уравнение (8.49), мы находим, что гамнльтониан становится также оператором: (8.53) 2лы Нх' задача о собственных значениях которого приводит к уравнению Шредингера (х-представление) для гармонического осциллятора: 4 8.
Линейный гврмоннческий осииллятор и импульса б д р, = 1 зр*,— — тр сгх «'л ! л' ! дх л (4.63) которые, как будет показано ниже, характеризуют процесс излучения, Для того чтобы раскрыть последние интегралы, воспользуемся следующими соотношениями, которым удовлетворяют волновые функции гармонического осциллятора '. хз(!л = хо!1У 2 фл ! + 1!г 2 т)л+!) г (8.64) Подставляя (8.64) н (8.65) соответственно в равенства (8.62) и (8.63) н учитывая условие ортонормированности (8.43), находим следующие отличные от нуля значения для матричных элементов координаты: / и / пи-1 Хл ! л-ХО 2 э Хлч! л=ХО 2 (8. 68) и импульса: Р,-ьл = — !!посох, ! ., Р.„, = зтосохл„л. (8,69) 2) Импульсное представление (р и редста влекн не) мы получим, если в операторном соотношении (8.50) мы, наоборот, импульс Р приравняем обычному с-числу, а координату оператору (!7-число)! Ь д х= др ' (8.69а) Нл 2" [(2О) —,1 (2$) + ...1 2пнл и (866) и Аналогичным путем легко поквзвть, что Нл 2л2 (и — 1) Нл Поде!являя э!и значения для производных в (886) и производя замену и-г в+1, никодим рекуррентное соо!ношение между полиномвми Эрмигв 1 ьНл пН„!+ 2 Нлл!, (8.67) С помощью равенств (8.661 в (867] легко обосновать соотношения (8.64) н (8.661, если при этом учесть еще (8.41).
! Для того чтобы обосноввть эти соотношения, найдем производную от полиноми Эрмптв 1)в часть е ниятлятивистскдя квантовая механика Нетрудно убедиться тогда, что при действии этого оператора на волновую функцию, зависящую теперь от импульса р', должно соблюдаться равенство (Рх — хр) йз (р) = —. <р(р).
й (8.70) (Š— А поз + В, — цт ) сР (Р) = О, (8.71) где В= 'Ч 1= А,= —, 1 2то ' (8.72) Отсюда видим, что для гармонического осциллятора при пере- ходе от х-представления н Р-представлению волновое уравнение при введении новых масштабов Е 2Е )ч )лА ~В, йм ./в, ., ) Рв='У вЂ” = 1 гиосой = —, =У А, ло ' (8.73) Р т) = Ро тождественно переходит само в себя р" + (Л, — з) р = 0 (8.?4 ) (здесь штрихом обозначена производная по т)) Поэтому мы можем воспользоваться решениями (8.28) и (8.4!) и написать в р-представлении ' «2 ( 2)~ (8.75) ) 2"л!1' и Ро (8.76) причем волновая фуннция ~р„(Р) должна удовлетворять условию ортонормированности ) с()ир'„,(,о)ср„(, )=б„,„. (8.77) ~ Замечим, что в пространстве импульсов киалрат модуля волновой функции следует интерпретировать как плотность вероятности обнаружить частицу с импульсом, лежаьцим в пределаа Р и РЧ ЛР ' 11елесообразность авеления множи~еяя 1 — 0 ", квадрат модуля косорого рзвичется единице, показана иижс; м.
(з.82)). Построим теорию гармонического осцнллятора в импульсном представлении. Подставляя значение оператора (8.69а) в уравнение (8.49), найдем й 8. Линейный гармонический осциллитор ;:етрудно проверить, что в этом случае юр(р) является фурье- образом функции ф(х): х ф (х) = = ~ юр(р)е " с(р, Р 2к6 18.78) -ю л х ф(р)= ) юр(х)е " с(х, (8.79) поскольку в этом случае Ю вЂ” 1х-к'1 ф(х) = — 7 ~ ю1х'ф(х') ~ с(ре (8.80) в чем нетрудно убедиться, если учесть соотношение 1 ! — „юх-кэ Р— й ) с(ре " =б(х — х'). Наконец, получим формулу (8.76) с помощью фурье-преобразования (8.79).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
