Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Линейный гармонический осцнллятор (8.1) где й — коэффициент упругости, Тогда классическое уравнение движения гармонического осциллятора запишется в форме (8. 2) птах = — йх, описывающей простейший колебательный процесс. Решение этого ) равнения имеет вид х = асозоМ, (8.3) 2н / 1« где ы = — = )г — — круговая частота, а а — амплитуда колебаний. Из (8.3)г в частности, видно, что ускорение ы = х = — оот сов О)1 (8.4) отлично от нуля и, следовательно, колебание заряженной части- цы должно сопровождаться излучением, интенсивность (средняя энергия, излучаемая в 1 сек) которого будет согласно (8.4) опре- деляться выражением «« 2е' —..
е'а'ы' В' = — х= Зг' Зс' (8.5) При выводе (8.5) мы учли, что среднее значение созтог1 равно: — 1 соз ш1гй = —. 1 Г т 1 ° ! 2 в (8.6) Выразим теперь интенсивность излучения Вил через полную энергию Е = Т + )г гармонического осциллятора. Воспользовавшись известными выражениями для потенциальной « )г (х) ) Е (х) с(х а о соз«шг (8 7) 0 и кинетической энергии т«г«т«в«ат Т= —,= з)п ы) 2 2 (8.8) ' В данном параграфе мы рассмотрим случая *диомерного движения и а дальнейшем вместо выражения «линейный гармонический осциллятор» 01деч говорить прог«о «гармоиический осциллятор«. Осциллятор по классической теории и по теории Бора.
Рассмотрим сначала классическую теорию гармонического осциллятора '. Для этого представим себе, что на некоторую материальную точку с массой пы действует упругая сила вв часть г иееелятивистскхя квантовая механика находим: Е = Р(х)+ Т = '2 — — сопя!. (8.9) Исключая с помощью последнего соотношения величину аэ из (8.5), имеем: К"' = (8.10) 3 си,с' Итак, с помощью классической теории определяется как интенсивность, так и частота излучения, причем последняя совпадает с механической частотой колебания гармонического осциллятора. Энергия же гармонического осциллятора может принимать любые непрерывные значения.
Ряд новых моментов в теорию гармонического осциллятора был введен квантовой теорией Бора. Энергетические уровни по этой теории должны быть дискретными н могут быть найдены из правил квантования р„Нх = 2паи, (8.!!) где дг Р = — = тэх. дх (8.1 2) Подставляя в (8.11) выражение для дх р Нх = тэх — ~й = тэв'а' з! п' в! Л Х дГ и учитывря равенство (8.9), в результате интегрирования по всему периоду находим: Е„= пйв, (8. 13) причем квантовое число п = О, 1, 2, 3, ... Таким образом, гипотеза Планка о дискретности спектра осциллятора получила в квантовой теории Бора свое обоснование. Из графика видно, что в области потенциальной ямы, где полная энергия Е гармонического осциллятора больше У (Е > Г), решение для ф должно носить характер гармонической функции В области же потенциально~о барьера (Е < У) эти решения должны содержать две части: убывающую и возрастающую Собственные функции и собственные значения энергии.
Чтобы "Р ь " "г'.".Б2 йыыЮ Фхыюы Ф ЭР ском осцилляторе, прежде всего представим графически зависимость потенциальной энергии *г' от х (фиг. 8.!): т,в'х' 2 й 8. Линейный гармопнческий осниллятор Фиг. 8.1. Волноиая функция гармонического осциллятора при произиольном аиачении энергии. (фиг. 8 1). Очевидно, что решение задачи сводится к нахождению таких условий, при которых возрастающее решение должЪо отсутствовать. Это возможно, так же как и в прямоугольной поа тенциальной яме с бесконечно высокими стенками (см.
8 4), лишь при некоторых дискретных значениях энергии, которые мы и должны здесь определить. Так как потенциальная энергия г' гармонического осциллятора зависит лишь от координаты х, то уравнение Шредингера для него можно записать в виде Д+'„,'(в — ™,")ф=о. (8.14) Полагая здесь о 2Š— =Л=— Ьы 2жаЕ 8 1 ~ам и вводя новую переменную й=х)ур = —, Ха (8.!5) получаем: (8.16) фи+-(Л вЂ” й'-) ф = О, где чр оаф леча (8,17) 100 и л Г т ь г непелятнви<тскля ЯВЛнтовля механика Прежде всего найдем асимптотическое поведение волновой функции при й — чс сю, когда постоянной величиной ). по сравнению с йз можно пренебречь.
Тогда ч'„' — ьзф = О. (8.18) Решение этого уравнения будем искать в виде ф йзй' (8.19) Учитывая, что ф" = (4еззз+ 2Е) ем' = 4егйзем', находим: ! в= -ь 2 (8.20) и, следовательно, = С,е 'Ы' + С' еи"* (8.21) Поскольку при Е и— оо волновая функция должна быть ограниченной, коэффициент Сз необходимо положить равным нулю; коэффициент же Сг можно считать равным единице, так как волновая функция не является еще нормированной.
Таким образом, асимптотическое поведение волновой функции хр будет характеризоваться функцией ф =е (8.21а) Обшее решение волновой функции будем искать в виде' ф=ф и=е-" и, (8.22) получаем следующее уравнение для иг и" — 2$и'+ (А — 1) и = О. (8.23) Решение этого уравнения будем искать в виде ряда и = ~~ (глй"; (8.24) л-и подставляя последнее выражение для и в уравнение (8.23), находим ~ Ьз ! (г (й — 1) $ — (2й + 1 — !ь) $ 1 = О. ь з ' Заметим, чгс само преобразование (822) при ароизвальном значении функпии п(х) не может исключить каких-либо решений, и поэтому, чтооы экспоненпнальио зозрастаюшее решение вновь не могла появиться, на функммю н необходимо наложить еше дополнительное условие, а именно следует потребовать, чгобм оиа являлась полиномнм порядка и (см.
ниже). учитывающем особенности поведения на бесконечности. Подставляя последнее выражение в (8.!6) и принимая во внимание, что (е "-Ми)м=!им — 2$и'+(зз — 1) и) е й 3 Линейный гармонический оснинаагор !а! Производя преобразование индекса суммирования таким образом, чтобы сгруппировать члены с одинаковыми степенями с, получаем: ~~Р~ "З (Ь, ч, (Й + 2) (й + 1) — Ь, (2Ь + 1 — Л)) = О. Отсюда, приравнивая нулю коэффициенты при й", найдем рекур- рентное соотношение для коэффициентов Ьа. (2й+ 1 — Л) '+' ' (а+2) (а+1) (8.25) Последнее соотношение связывает коэффициент Ь, с Ьаее и т.
д. Аналогично можно найти связь коэффициента Ьа„, с Ьаеа и т. д. Поэтому мы получаем два независимых решения, определяемых рядом (8.24). Первое независимое решенно связывае~ междусобой коэффициенты, например, при четных степенях 5, второе— коэффициенты с нечетными степенями $ или наоборот. Как видно из соотношения (8.25), один из этих рядов мы можем оборвать (т. е. сделать полиномом) на некотором члене и (и — целое положительное число, включая нуль).
Для этого мы должны положить Л=2п+1. В этом случае Ьч Ф О, в то время как (8. 26) (8.27) Ь оа = Ь„+ч = Ь„+а .. = О Из (8.26) и 18.14) находим дискретный спектр возможных зна- чений энергий Е„= Ггсо(п+ — ), (8.28) Ниже мы покажем, что появление нулевой энергии связано с соотношением неопределенности, т. е. с волновыми свойствами частиц.
На частоте излучения она не сказывается. Другой ряд с коэффициентами Ьн+ь Ь.+а и т. д., ооразующий второе независимое решение, при введении условия (8.26) мы оборвать не можем. В этом ряде отношение двух последующих коэффициентов согласно (8.25) при з- оо стремится к пределу ь„,+„ йо+г+м а (8.29) где квантовое число п = О, 1, 2, 3, 4, .... В отличие от теории Бора нулевая энергия (и = О) не обращается в нуль и равна Ео = — Ьго.
1 2 (8.28 а) уо2 ч я с т ь г ннаалятивистскля квантовая мсхлникд н будет таким же, как у функции е:, разложенной в ряд е~ = (8.29а) э=о,1 Поэтому при й- -и оо мы имеем и„- е~*, т. е. в асимптотиче. ском выражении [см. (8.21)] появится второе расходяшееся решение (ф -ьечэ'), которое следует отбросить ~, точнее, выбрать с коэффициентом, равным нулю. Первый же ряд[ем. (8.24)]должен представлять собой конечный полипом порядка и. Полагая коэффициент при максимальной степени й„„, = и равным 2 Ь„= 2", (8.30) находим: 2и-2 и (и — 1) и-2 2и-4 и (и — 1) (и — 2) (и — 3) (8.31) и — 4 Конечный степенной ряд для функции и образует так называемый полипом Эрмита и= Н„(8) =(2~)" —,, (2~)" '+ и(и 1)(и 2)(и з) „4 ЬД пРи и нечетном, 21 ''' ].Ьа при а четном.
Отсюда, в частности, следует, что На ($) = 1, Н1 (1) = 2~ Н» Ц) = 4$2 — 2 Н, ф) = 8»' — 12$. Полином Эрмита Н„(8) можно записать в замкнутой форме и риие1 Н„(8) = ( — 1)" и — „„—. (8. 34) Примечание Чтобы это показать, введем функпию о = е, удовлетворяющую уравнению о'+ 21о = О. ' Если на параметр Х не наложить условия (826), го оба решения при $-> чс ео будут раслодящнмнся.
э Замезнм, что этот коэффициент всегда можно выбра,ь произвольно, носко |ьку нормировочный множитель волновои функвнн гр„еще не определен. й 8. Линейный гармонический осциллятор (03 Дифференцируя последнее уравнение и+ ! раз, используя при этом формулу Лейбница: (уз)[л) у)ыа ! ир)л-и а~ ! ( р(л-2)з ! (8 34а~ 2! находим: о)л+т'+ 2!о)л" П+ 2 (и+ !) о)л' = О, Производя далее замену „ев -н получим, что функция ы удовлетворяет уравнению (8.33), т.
е, будет пропорциональна полиному Эрмита (л ы л = А»Н». лльл = л л. Множитель пропорциональности Ал может быть найден путем приравниваиии друг другу коэффициентов при вз". В результате оказывается Ал ( — !)", откуда мы и получаем формулу (8,34), Из (8.32) видно, что Н„(ь) подчиняется уравнению (8.23), если в последнем положить )ь = 2п + 1 ̈́— 2~Н„+ 2пН» = О. (8.35) Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора согласно (8.22) и (8.32) имеет вид фл = С„е-"с'Нл (й), (8.35) причем й связано с координатой х соотношением (8.15). Коэф- фициент С„можно определить из условия нормировки л ) ф„'ф„с(х=х„С' ) е-"Н (й)Н„($)с(й=1.
(8.37) Подставляя сюда вместо одного полинома Н. (й) замкнутый вид (8.34), имеем; )(лз-Н ( — 1)лх С„' ~ Н„(й) ~„гф= 1. (8.38) Учитывая, далее, правило переброса производной с одной функции на другую (см. (7.9)), т. е. совершая и раз интегрирование по частям, получаем; + (8.39) -00 ГВ4 ч А с Г ь ! иеиелятиаистскля КВАитоапя меххникА Принимая во внимание, что согласно (8.32) — „.
Н„(й)=2пи!, ) е-"Г(й= ')гл, (8.40) С 1 п )Г 2пп()' н хе находим: х АР„(х)= ,,' е ' ' Г Н„( — ). хп (8.41) (8.42) л( и ( — х) =фп (Х). При нечетных же и функиия ф (х) является не ~етногь т е. фп ( — х) =.— ф, (х). (8.42а1 Покажем далее непосредственным вычислением условие ортогональности волновых функций 7пп = ~ фпфп,т(х=О при п Ф и' или, учитывая (8.3б), можем записатес 7пп = хефф~, :е Н,(й) Н„('). Подставляя пола, как и в предыдущем случае, вместо одного полинома Эрлтита Н„с большим индексом (не нарушая обшности, мы можем предположить, что и'(и) его замкнутый вид (8.34), легко докажем условие ортогональности 4 + ! йп — Е'1 пп лг 7„=( — ))пхоС Сп ~ Нп ( — й — э~г)» = хоСпСп ( е " „,", Ж = О, В последнем равенстве мы воспользовались правилом переброса производной (7.9), а также учли, что л-я производная от поли- нома Нп степени и' при и большем, чем и', равняется нулю ЕпН Еьлп Примечание Как аилао из формулы (8821, квантовое читало п, кроме энергии (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
