Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Математически это можно осуществить, проквантовав выражение (9.27). Заметим, что квантование волнового уравнения получило название в т о р и ч н о г о. В основу вторичного квантования мы положим квантовое уравнение движения [см. (740)), с помощью которого можно произвести также и первое квантование. Учитывая зависимость амплитуды Ь(1) от времени [см. (9.27) ), мы будем и меть — 1схЬ = — (НЬ вЂ” Ь Н). и Ь в н !24 часть ~ неяилятнвистсКля квантовая механика В частности, из (9.32) следует, что некоммутируюшнми друг с другом будут только амплитуды, соответствующие одному и' тому же импульсу и поляризации '. (9.37) поэтому амплитуды Ь„не могут быть обычными, с-числами.
Они должны быть операторами, т. е. гу-числами (наподобие операторов р„ и х в первично квантованном уравнении). Мы попробуем удовлетворить равенству (9.37), положив операторы Ь и Ь+ равными следующим эрмитово-сопряженнымбесконечным матрицам '. (О Ь! О О О 0 0 )~2 0 0 о о о )з о 0 0 0 0 )г4 (9.38) (9.39) Отсюда следует, что ! 0 0 О,. 0 2 0 0.. О 0 3 0.. (9.40) 0 ! 0 О,. 0 0 2 О,. (9.41) 0 0 0 3.. и Если бы в равенстве (9.25) мы не ввели нормировочного коэффициента 2цсй — то в правой части равенства стоял бы квадрат этого коэффициента. а Ради простоты нвдекс полярнзацни И у амплитуд Ь мы опускаем.
0 )г'Т 0 О О О 8...1 0 0 0 0... )'2 О О О ... 0 '$3 0 0... 0 0 0 4... 0 0 0 0... 9 9. Квантовая теория язлучення или 1 0 0 0.. 0 1 0 0 .. 0010.. о о о (9.42) Эти матричные значения для амплитуд Ь и Ь" удовлетворяют равенству (9.37). физически вторичное квантование электромагнитного поля приводит к описанию квантовой системы с переменным числом фотонов. Иными словами, мы сможем описывать испускание и поглошение фотонов, учитывая их корпускулярную структуру.
Для того чтобы удовлетворить последним соотношениям, выберем функцию ! (Ж) от числа фотонов т', на которую действучот матрицы Ь и Ь', в следующем виде'. 0 ! 7(2) = О (9.43) 0 )(1) = )(О) = 1:1 1,1 илн Точно так же действие сопряженных амплитуд определяется соотношениями Ьт((0) =~(1), Ь+~(1) = )/2 )(2) .. ' Каждая амплитуда, зависящая от заданных значений М и х, должна действовать на свою. матрицу от числа частиц 1!ЬО. Обшая функция от числа частиц должна быть равной произведению всех эгих матриц: 1(й' й" й'"".1 =1 Р)1(йо)1Р") ".
где )(0) описывает состояние, когда фотоны отсутствуют, П!)— состояние с одним фотоном, г(2) — с двумя фотонами и т, д. Учитывая значение матриц (9.38) и (9.39), легко показать, что Ь)(0) =О, Ь~(1) =1(0), Ь)(2) = 1 2 )(1), 126 ч л с т ь г. ненелятивистскдя квднтовяя мехдникд или Ьь)(М) = )7М + 1 )(М+1), (9.44) т.
е. оператор Ь является оператором поглощения (М- М вЂ” 1), а оператор Ь' — оператором испускания (М вЂ” М+1) фотонов. Из последних равенств следует: Ь'Ь1(М) = М)(М), ЬЬ")(М) = (М + 1)1(М), (9.45) т. е. операторы Ь'Ь и ЬЬ', действующие на фуикпию числа фотонов, имеют собственные значения, которые равны или числу фотонов М (для произведения Ь'Ь), или на единицу больше, чем число фотонов М + 1 (для произведения ЬЬ'). Как видно нз формулы (9.45), в каждом квантовом состоянии может находиться любое целое число частиц. Поэтому перестановочные соотношения (9.37) ведут к статистике Бозе— Эйнштейна. Примечание Лля того чтобы удовлетворить перестановочным соотношениям вида (9.36), из которых следует единственная, отличная от нуля, аитикоммутирующая комбинация С'С+СС'= 1, (9 46) мы должны были бы вместо бесконечных матриц (9.38), (9.39) н (9.43! выбрать соответственно ма~рицы (9.47) Тогда автоматичесни будут удовлетворены перестановочные соотношения (9.461 Кроме того, с)(о) =о, с)(1) =1(о), с.)(о)=1(И, с)(И=о Отсюда видно, что С' является оператором испускания, а С вЂ” оператором поглощения, причем в отличие от статистики Бозе — Эйнштейна в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (статистина Ферми — Лирика), т.
е. действия квадратов амплитуд на фуннцию от числа частиц определяется другим по сравнению с (9.46) выражением С С)(йг) =У)(йг), Сс'1(М) =(! — Х)1(Ж). (9.48) Более подробно см. 6 22. Если в начальный момент фотоны отсутствуют (М = 0), то Ь'Ь = О, в то время как ЬЬ' = 1. Последние соотношения говорят о том, что квантовая система (например, атом) должна взаимодействовать с вторично квантованным полем фотонов (или, % 9. Квантовая теория излучения как говорят, электромагнитным вакуумом) даже в том случае, когда реальные фотоны отсутствуют (гу' = 0).
Зная перестановочные соотношения для амплитуд Ь», мы, учитывая еше (9.25), легко можем найти перестановочные соотношения для амплитуд поля фотонов [ц ц .л] — б (б коко) (9.49) или для амплитуд, имеющих одинаковый импульс (к= к'), !ц це1 б коко (9.50) Для того чтобы удовлетворить последнему соотношению, мы должны положить (см.
также (9.45))' а а~э = (! + Лг) (бы, — кеха,), аеа — дг (б коко) (9.5!) где глг — общее число частиц, обладающих импульсом йк, усредненным по двум возможным состояниям поляризации. В частности, если в состоянии и частицы отсутствуют, то Н О, Из (9.5!) и (9.24) получаем: Н = ~~у 2сйх ~Н(х) + — ). (9.52) %1 1 Но = у 2сйк —. 2 (9.53) Математически она обязана сумме нулевых энергий бесконечного числа осцилляторов, образующих поле фотонов. физически она соответствует наличию электромагнитного вакуума, представляющего собой своеобразный резервуар, откуда «извлекаются» реальные фотоны при их испускании и куда онн «пере.
ходят» прн их поглощении (например, атомом). ' Заметим, что при конкретных исследованиях проолемы излучения необходимо знать только формулу Оьбни а весь матричный аппарат был введен тольно для ее обоснования. Операторы электромагхитного поля носят весьма специфический карактер и ггоэзому мы не будем обозначать их прямылг шрифтолг. Коэффициент 2 соответствует двум возможным поляризациям. Кроме того, в случае отсутствия частиц (глг(к = 0) остается ну- левая энергия, равная !ев и ЛЕТЬ Е НЕРЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАННКА й 10. ТЕОРИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОНЕССОВ Нестационариая теория возмущений.
Для описания движения электронов в поле фотонов реально существующих (обусловливающих вынужденные переходы), а также виртуальных, т. е, еше не появившихся (обусловливающих спонтанные переходы), воспользуемся нестацнонарпым уравнением Шредингера, которое при наличии не только электрического, но и магнитного поля принимает вид (см. (5.9 а)) ( — —" —,'-,— Р— —,(р — — 'А) )ф=0.
(10.1) Отбрасывая величины второго порядка малости, пропорциональные Л', и учитывая условие поперечности электромагнитных волн поля фотонов (г((е А= О), а также соотношение (рА) ф = (Ар) ф+ ф — б(ч А, л что приводит к коммутативности (в скалярном произведении) оператора р с вектор-потенциалом А (рА) = (Ар), (! 0.2) мы моя'ем уравнение (1О.1) привести к виду — — — — Н вЂ” (г (1))ф=0. ( л д ш (10.3) Здесь гамильтониан НВ при отсутствии поля фотонов не зависит от времени Н"=( + — р, 2то а потенциальная энергия, получившая название энергии возмущения, равна: 'Р" (() = — — (А (1) р). (10А) сыт Заметим, что далеко не все волновые уравнения могут быль решены точно. Это замечание относится также и к уравнению (10.3).
Для решения подобных уравнений приходится прибегать к различным приближенным методам. Одним из таких методов, получившим наиболее широкое распространение,является метод теории возмущений. Этот термин заимствован нз астрономии, где он с успехом использовался при исследовании движения двух или более планет вокруг Солнца с учетом взаимодействия планет между собой. Последнее дает некс1орое «возмущение» по сравцснпю с кеплеровским движением. $10. Теория перехоциых процессов Метод теории возмущений в квантовой механике применяется в том случае, когда так называемая энергия возмущения У' приводит к небольшим поправкам к основному (т.
е. без У') решению. Последовательное вычисление этих поправок (первое, второе, третье и т. д. приближение) дает, как правило, разложение по некоторому параметру. В квантовой механике развиты два основных метода теории возмущений: 1) метод теории возмущений Шредингера; 2) метод теории возмущений Дирака. 1) Метод теории возмущений Шредингера, как правило, испо.1ьзуется, когда энергия возмущения не зависит от времени или когда время в энергии возмущения может быть исключено с помощью какого-либо преобразования. Этот метод особенно просто позволяет найти, например, поправки к спектру энергии в стационарных задачах [более подробно см. ниже (й 15)].
2) Метод теории возмущений Дираьа, который мы хотим использовать для решения уравнения (10.3), пригоден и для нестационарных задач, когда энергия возмущения зависит ог НРЕЛ1ЕНИ. Остановиллся здесь па методе теории возмущения Дирака, который, в частности, позволяет построить теорию переходных процессов. Допустим, что мы знаем собственные значения и собственные функции невозмушенного (Г = 0) стационарного уравнения Шредингера Е„,1,„= Н0$„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
