Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 25
Текст из файла (страница 25)
распределение атомов по энергетическим состояниям (10.89) ег, М,=Се ег, гу =Се что всегда дает %) хсг. (10.90) Поэтому электромагнитное излучение, проходящее сквозь вещество, находящееся в состоянии термодинамического равновесия, должно всегда им поглощаться (Р ( О). Для того чтобы излучение не поглощалось, а, наоборот„усиливалось, необходимо нарушить состояние термодинамического равновесия и создать такой ансамбль атомов или молекул, для которых населенность нижних уровней белла бы меньше верхних (М~ < ггг) . Говорят, такой ансамбль имеет и н в е р с н у ю н а с ел е н н о с т ь. Усиление, основанное на инверсной населенности, мы можем создать в принципе для любой частоты.
144 часть ! иееелятивигтсичя хвянтзвчя механика Если формально ввести понятие температуры, воспользовавшись соотношением е;ь, з — Е чг (10.91) е,, 1 где — = носит название постоя и пой топкой от р узкой !З7 т у р ы, а амплитуда колебаний а 10-' — 10 в см. В случае радиодиапазона ().— 1 см) время дипольного спонтанного излучения будет сравнительно большой величиной (т,„,п,— !О' сек), посколькУ оно пРопоРционально Лз, в то вРемЯ т„,л согласно (10.41) 1 рса' — = рВм тяя, а 1370 (10.93) не будет зависеть от Л и при сравнительно большом значении р его можно сделать много меньше тс„,„,.
При этом интенсивность вынужденного излучения будет много больше спонтанного, благодаря чему спонтанное излучение обуславливает лишь шумы. В оптическом же диапазоне (Л вЂ” 1О 4 или 10 а см) в случае разрешенных переходов [формула (10.92)) находим для време- ' ))ля получения формулы (1092) воспользуемся выражением (10.71), харахтеризующ!гм инзенсивность дипольного спонтанного излучения гармонического осииллятора (вероятность перехода в лругит системах имеет тот же порялок). лгоазыз 1)олагая в (!07!) Е= 2 и леля все равенство на Вю, получим соо!ношение (10.92). то прп инверсной населенности (Фз > Лг!) значение для температуры Т должно быть отрицательным (Т < 0). Заметим, что поз пятне отрицательной температуры носит совершенно условный характер и может относиться лишь к паре уровней и то в заданный момент времени (состояние не является термодинамически равновесным).
В противоположность этому в случае термодинамического равновесия температура характеризует распределение населенностей по всем энергетическим состояниям и для лнзбого момента времени. Следует подчеркнуть. что спонтанное излучение может уменьшить время пребывания электронов на верхнем уровне, т.
е. уменьшить время жизни инверсного состояния. Допустим, что переход Ез- Е! может быть осуществлен дипольным путем, т. е. является разрешенным. Тогда время пребывания т,„„„ электрона на верхнем уровне, обусловленное спонтанным переходом, может быть найдено из соотношения ' саз (10.92) й !1. Общин теории авижеина частно в иентрально-симметричном поле ни жизни: т,„„„, !О ' сек. Для того чтобы его увеличить, желательно взять возбужденный уровень, переходы с которогона основной явля отся запрешеннымн (т.
е. должны отсутствовать дипольные переходы А'~п' = 0). Если предположить, что между уровнями возможны квадрупольные переходы, то тогда время перехода может быть найдено из соотношений (!0.92) и (10.80): ~ и !а га' =Ам тспппч (РЕ ! !зтх' ' В частности, для светового диапазона (). — 10-а см) время квадрупольного перехода может быть увеличено до одной секунды. Все современные квантовые усилители, а также генераторы (мазеры или лазеры) основаны на создании тем или иным способом инверсной населенности, в результате чего после прохождения электромагнитных волн доллсно происходить илн усиление или даже генерация излучения (10.94) % 11. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ТИЦБ! В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ Движение частицы в поле центральных сил (сила направлена по радиусу и является функцией только расстояния) представляет собой наряду с гармоническим осциллятором одну из фундаментальных задач квантовой механики, Зта задача легла в основу построения квантовой теории ротатора, теории атома водорода и т.
д. Интересно отметить, что зависимость волновой функции от углов д и ср в поле центральных сил (шаровые функции) совершенно не связана с конкретным выбором потенциальной энергии н поэтому шаровые функции имеют универсальный характер, поскольку опи относятся к любому центрально-симметричному полю. Классическим аналогом квантового исследования угловой части уравнения ц!редингера является закон сохранения момента количества движения для поля центральных сил в механике, который также не зависит от конкретного выбора потенциальной энергии, (11.1) целесообразно решать в сферических координатах, поскольку в сферической системе координат уравнение Шредингера допу- !О з и зав Уравнение Шредингера в сферических координатах.
Задачу о движении частицы в поле центральных сил Е= Е(г) —. 14а Ч А С Т Ь ! НЕРЕЛЯТНВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Фиг. 11.1. Сферические координаты, Элемент объема в сферических координатах. екает разделение переменных. Запишем уравнение Шредингера в сферических координатах г, 6 и ср, связанных с декартовыми (фиг. 11.1) при помощи соотношений х = р соз ср, у = р з!п ср, г=г соз б, р= г з!п б, (11.2) С этой целью прежде всего найдем выражение для потенциаль. ной энергии, которая может быть найдена из соотношения с!(г = -()о дг).
(11.3) Отсюда в случае центральных сил (11.!) находим д$' = — —, (х дх + у с(у+ х с1г) = — г дг, (! !.За) г" т. е. (11.4) где нижний предел интегрирования мы выбрали нз тех соображений, чтобы на бесконечности величина )г(г) обрашалась в нуль. В частности, если центральные силы обусловлены кулонов. ским взаимодействием, т. е. если Лес 1о = — — г' з где Яео — заряд ядра (е = — ео — заряд электрона, вращающегося вокруг ядра), то для потенциальной энергии имеем: Г Хеот хеот Ч(г) = — ~' —,(г =— о (11.ба) Далее выразим в сферических координатах лапласиан »7т, для чего воспользуемся тождеством: Чтф = йч пгаб ф (1 !.6) Найдем сначала компоненты вектора: В = пгаб ф (1! .7) в сферических координатах.
Принимая во внимание, что градиент всегда характеризует изменение скалярного поля по некоторому направлению Вг —— дгаб~ф = — в соответствии с фиг. дф д! 11.1 будем иметь: В =— дф дг В = —, В = — = .. (11.8) дф дф дф где ' Ч рдф го!пвдф' Воспользуемся далее общим определением дивергенции ~ (вдв) йч В = 1пп, = —, У. — (В, г(5!) с!хо (11.9) з о д»х д»х лм' дх! г где Рх — элемент объема в сферической системе координат ,(Зх»», т з! п б~(г ( б с)ф (11.10) (х! — координаты г, б и ф, а Юо — элементарные площадки, перпендикулярные соответственно направлениям с(г, гс(б, р!(ф): ВЯ, = гт э!и б Юб г(ф, Юо= г з!пбе( с(ф, (11. 11) сБ, = ге( сИ.
Тогда с помощью (11.8) получим: йуВ=Чтф= 1 < д г'дхг 1 — ! — г з! п 6 Ю йр) с( + го о!об дг ад де 1 дг ! дг + дб ~ до го!пбгтгс(ф) ого+ д ( г Й сгб)с(ф~. (11.12) Отсюда легко найдем выражение оператора Лапласа в сфе- рических координатах: Ч' = — — ! гт — !+ — !г —. — ! э!п б — !-!-, — 1. (11.18) гт дг 1 дг) г' 1о!по дб ! дв) ' о!и'б дф»1' 10» й 11. Обжав теорнв пвнженнв частно в пентрально-снмметрнчном поле 147 148 Ч А С Т Ь ! НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Полагая в (11.13) ! д 1, д ! ! д! — (з!п б — !+ — = ЧВ В мп 6 дв ( дв мп'О д<Р' (1!.14) (!1.!5) имеем Ч'=Ч,+ —,РВ „„ г Тогда уравнение Шредингера (4.8) принимает вид ) 1Тг ! причем величина (11.16) (!! .17) )Я( ) 2!ВР (Е 1, ( )) (11. 18) зависит только от радиуса г.
Так как слева здесь стоит величина, заеисяшая Только от г, а Т!трава — только от углов б и !р, это равенство может иметь место лишь в том случае, когда н левая и правая части равны по отдельности некоторой постоянной величине )„получившей название постоянной разделения.
Таким образом, для радиальной н угловой частен волновой функции будем иметь соответственно ураьнения ~ г+~йз,)г=б, (11. 21) Ч,У+ 1.У= О, (! 1.22) причем весьма важно то обстоятельство, что последнее уравнение для угловой части не содержит переменной г и не зависиг от конкретного вида потенциальной энергии )г, вследствие че!о, как мы уже отмечали в начале параграфа, его решение будет справедливым для любых центральных сил. Пола! ая далее У=О(б!а (р), (! 1.2З) Разделение переменных. Собственные функпии. Будем решать уравнение (11.17), основываясь на методе разделения переменных. Представляя искомую волновую функцию в виде произведения радиальной части на угловую ф = )7 (г) У (б, р) (11.19 ! и умножая исходное уравнение на ~ ), получаем ,ду!' А' У + гг), (1!.20) с помощью способа, использованного при отделении радиальной части от угловой, находим для разделенных функций 6 и Ф сле- дующие уравнения: Ро,(4+ (Л вЂ”,', '1() = О, КФ + сп Ф = О.
(11.24) (1 1.25) Здесь т' является постоянной разделения; кроме того, мы ввели обозначения: т ! д!. д Р' = — (,1, О мпо ив ! Пб~' л дт р, = —, Фр' ' (11.26) (11.27) в которых частные производные заменены полными, поскольку каждая из функций 6 и Ф зависит только от одной переменнои. Таким образом, для определения собственных значений энергии Е, и соответствующих им собственных функций чр, мы получили три уравнения: (11 21), (11.24), (! 1.25), причем если последнее из них содержит только один параметр т', то второе и первое — по два. Поскольку при решении одного уравнения мотьно найти собственные значения только для одного параметра, решение всей задачи мы должны начинать с решения уравнения (1!.25), а затем, зная ит', переходить к решению уравнения (11.24) н, наконец, к реп1ению уравнения (1!.21) для радиальной функции.
При нахождении нормировочного козффициента можно воспользоваться соотношением: ~ т Лт) вех = ~ Р" Юе с(г ~ ЕГ44 з! и д Ю ~ Ф'Ф с(ср, из которого видно, что нормировку можно производить для каждой из функций по отдельности: ! сг')сг' с(г =!, о ~ ЕГЕ з!п б 1б = 1, в ) Ф*Фйр= 1. (! 1,28) (11.29) (!1.30) й 11. Овевая теория аанасения частиц в центрально-симметричном ноле 149 ЕЕО Ч А С Т Ь ! НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Частное решение для азимутальной функции (см. уравнение (11.25)) может быть представлено двояким способом: либо Ф=СЕ' 'е, (11.31) либо Ф= Асов(тф+фп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
