Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 29
Текст из файла (страница 29)
3 Рогационные спектры встречаюм я, например, прн исследого =Зво аа ю нанни спектра молекул. 2 В сзучае когда излучение мо- гато =2ььа лекулы обусловлено только ротационныии переходами, то его О Ю частота определяется выражением (1229). Из этой формулы видно, что чисто ротационный спектр предю г/ эх оз щ оо оо сгавляет сооой набор равноотстоящих (фиг. 12.2) друг от друга линий Эти линии расположены в далекой инфракрасной области (с длиной волны порядка !Об вЂ З р), и позтолм их исследование сопря>кено с рядом экспериментальных трудностей.
Промер расстояния между спектральными линиями позволяет судить о моменте инерции молекулы. Чаще всего ротационный спектр наблюдаеося в виде полос, когда он накладываетгя на вибрационный спектр молекулы илн даже на спектральные линии атомов. Еолее подробно зго мы разберелг в $25, специально посвященном молектле. Квантовое вырождение. На примере ротатора рассмотрим еще вопрос о квантовом вырождении. Полученные нами волновые функции ротатора, равные шаровым функцияч Уо, согласчо (11 87) и (! 1.88а) являются собственными для оператора гамильтона Н = — — 'о= — ', а вместе с тем и для квад2моао 2 г о рата момента Ьа = в 7о т н проекции момента на ось г Го д Ь,= — —.
о дф Учитывая, что эти три оператора коммутируют между собов, мы лгоокем написать НУ," (6, ф) = —, Уо (6, гр) = Егуг (Ь, ор), (12.31) 2аооао Ь.Уг (О, р) = ащуг" (О, р). (! 2.32) 17О ч х с т ь т. негелятнвистскхя квантовая механика Исходя нз общего выражения для волновой функции а, ф(1) = ~ С~ У~ е ' ь ' ьт (12.33) (энергия зависит только от орбитального квантового числа !), нетрудно показать, что средние значения рассматриваемых операторов не зависят от времени Н) ~ ф* (1) Нф (1) Нзк = )'„В~С~ „,Ср „„(12.34) ~п (1,) = )' ф*(1)1.,ч(1)~(ах= )~~ятСь„С~ . (12.35) (а)=а~~(ВС~ ~ „,Сс е '"" "+АСр~~ С~ е' ьы ~'), (12,36) с сл где коэффициенты А(1, т) и В(1, т) определены формулами (12.17а).
Рассмотрим теперь еше два оператора 1.„+ Л я н 1„— й.„, которые, наоборот, коммутируют с гамильтонианом Н, но не коммутнруют с оператором 1, На основании (11.88) для среднего значения этих операторов нетрудно получить выражение (1„) .+ ю'(1.„) = — ~~6)~ (1 — 1 + гп)(1 ь т) Сг гл ~ Сст, (12 37) которое не зависит от времени, так как среднее значение этих операторов пропорционально сумме квадратичных комбинаций амплитуд С, ~С,, относящихся хотя и к различным состояниям, но зато этн состояния обладают одним и тем же значением энергии, поскольку системы являются вырожденными.
Очевидно, что если бы не было вырождения энергетических уровней, т. е. энергия зависела не только от 1, но и от магнитного квантового числа и, то в полной аналогии с (12.36) средние значения операторов 1„.+Л.„, для которых У,'" не является Это связано с тем обстоятельством, что временной множитель исчезает в силу ортогональности волновых функций. Среднее значение любых других операторов, для которых У; не является собственной функцией, как правило, должно зависеть от времени.
Так, например, для среднего значения оператора координаты г, коммутирующего с (.„но не коммутирующего с Н, мы получим с учетом соотношений (12.17) 9 12. Ротатор 171 (12.39) где /г=1г' — .,' >Э, и=гйгг. Вводя новую функцию у= угг )с,=- =,преобразуем(!2.39) Уг К виду (12 ЛО) Последкее уравнение представляет собой уравнение Бесселя 11 полуцелого порядка л-11+ — ) от вещественного аргумента. Учитывая, что волновая функция должна оставаться конечной н точке г- О, в решении мы должны оставить только функцию Бесселя положительного порядка, когда з гтг =,— ггь ь((тг). с, )гйг (12.41) ' й(ы можем полобрать решение, являющееся собственными функциями операторов Н ц Ь,.
Например, полагая 1= 1 и Е,ф = О, имеем: — з)п 6 сох ф =(У вЂ” У, ). /з 1 4ц У2 1 (12.38) Хотя это решение удовлетворяет уравнению Шредингера, но прн действии оператора Е, оно не будет иметь собственного значения, поскольку решение (12.38) цоедстзвляет собой лиьейную комбинацию решений. имеющих разлгшиые значевия квантовых чисел ль ' Рсшешю (12.41) при г-ьО имеет вяд: В-гге Фу.пгция Бесселя отри)с 1 нательного порядка — (1 + - ) дает в нуле расходянсийся результат 2) )г, г ' и поэтому должна быть отброшена.
собственной, также были бы функциями времени '. Таким обра. зом, иа основе анализа этого примера можно сделать общий вывод о том, что наличие двух и более операторов, коммутирующих с гамильтонианом Н, но не коммутирующих между собой, говорит о наличии вырождения квантовой системьь * Свободное движение. Другим простейшим примером движения под действием центральных сич является случай свободного движения, когда потенциальную энергию можно вообще положить равной нулю ()у=О). Тогда решение можно искать в виде плоской волны (см. 2 4), либо в виде сферической волны„ поскольку случай У=О можно отнести также и к сферически симметричному. При решении задачи в сферических координатах для определения радиальной функции имеем уравнение (см, (1!.21)1: Ч АГ т ь 1 неРелятивистскАя кВХнтоВАя мехАникА Отсн!да следуег, что общее решение волнового уравнення для свободной частицы в сферических координатах с заданной энергией может быть представлено в виде (см.
(11.19)) ф(б, 1Р, г)=~~ У С! У! (6, 1Р)=У 1(Ь). (12,42) !са т — 1 Коэффициенты С! Могут быть найдены нз дополнительных условий. а функция У! является шаровой функцией [см. (1! . 67) ). С помошью последней формулы мы сможем произвести разложение плоской волны ф — е'"', которая также удовлетворя1т уравнению Шредингера для свободного движения Ч "ф -1- а'ф = О ( ! 2.43) по сферическим волнам. Представляя плоскую волну в виде Е7Ал — ЕтА оь Я Е.'Ьл (!2 44) е'Р." = ~~ В!(у) Р, (х). 1-а (12.
45) Учитывая условие ортонормированности для полиномов Лежандра .1.! 2 г(ХР, (х) Р! (Х) = з!+ ! дн, (12. 46) — 1 которое легко получить из равенств (11.67) и (1168), полагая в последних !и=О, находим: ! В!(91= — (21+ 1) ) е'Р" Р1(х)е(х. (12.
47) -1 Подставляя сюда для полиномов Лежандра выражение (11.59) н перебрасывая ! раз производную с функции (х' — 1) на функцию е'Р'> имеем: ! В1(.у) =, „, (21+ 1) !'у' ) (1 — хе)'е'Р" г!х. (12.48) -1 где у=кг, х=созб, мы должны для шаровой функции положигь ш=О (поскольку е'ы не зависит от угла 1Г) и искать решение в аиде разложения только по полиномам Лежандра й 12.
Ротатор 173 Далее, воспользовавшись известным из теории бесселевых функций равенством ' 1 ( (1 — хт)'е'"ас(х = )уп1! ( — ) з' (У), Е ьечг -! находим значение для коэффициента Вг (У) = )гг 2 (21+ 1)1'усе 1,(У) (12.49) Как известно, при г- оо мы можем воспользоваться аснмптотическим выражением для функции Бесселя 1 — нгп (слг — — п1) ус+ г,(/гг) -+ )гг— (12. 51) и поэтому асимптотическое поведение плоской волны становится равным 5!п (йг —— е'"'"" = 7 ьч(21+!) -Р,(сов б). (1252) .вь! Ь г-н * Асимптотическое решение в случае нороткодействующих сил.
В общем виде уравнение Шредингера для любых центральных сцл согласно (! !.211 имеет вид'. — „+(гсз — —,' У (г) —, ) и' = О, (12.53) где и'= гР;. В случае У=О (свободное движение — это простейший случай короткодействующей силы) решение определяется равенством (!2.4!), которое, учитывая асимптотическую формулу (12.5!) в случае больших г- со, дает ( пу) Сг 2 ( 2 — мп(яг — — ) ус (Йг) =— и и г (12 54) ' См, например: Р О К у з ь и и н Бесселеьы фунннин М вЂ” Л, 1эзб, стр 65 ' Через В мы будем обознанагь радннньито фельд о снссьлносо дннжения.
Отсюда искомое разложение плоской волны по сферическим волнам принимает внд е~"" = )ггг 2,~~1 (21+!) " ' Р,(сов б). (1250) г-о Уьг 174 ЧАСТЬ 1. НЕРЕЛЯТИВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Поскольку решение ()2.54) принадлежит непрерывному спектру, коэффициент С( может быть найден из нормировкина 6-функцию ) гэ(т((нг) )(((й'г)((г = 6(й — й'). о (!2.55) Отсюда, принимая во внимание, что ь(п ((сг — — ', ) з(п '(Й'г — — ) г(г = — ) сов (Й вЂ” Й') г с(г— 2) ! 2) 2) о о — — ( — ! ) „( соз (й + й') г с(г = — 6(й — (г'), 2 2 в мы найдем: С(=й ((2.55) Поэтому нормированное радиальное решение для случая свобод- но>о движения для достаточно больших значений г принимает вид — э!и аг — — () 2 ! 2 И(= н г (! 2.57) Зная решение для свободного движения, мы сможем найти так ке асимптотическое решение для других коротьодейстнующнх снл прн условии, что )((г) при г О увеличивается слабее, чем г-', а при г- со, наоборот, сильнее, чем гэ (например, по экспоненцнальному закоау).
Зависимость асимптотичегкого выражения от синуса при наличии короткодействуюгцей силы мы мо>кев! написать сравнительно просто, а именно отбрасывая при г- оо в ((2.53) члены, (((+ !) пропорциональные )((г) и,, мы имеем'. я( 2 ! 2 — мп ~ Ег — —, -Е о() ( н г (! 2.58) Единственно неопределенной величиной является фаза бь которая должна быль пропорциональна короткодействующей сите (г, так как при )(=О она обращается в нуль (свободное движение). Наша задача заключается в том, чтобы найти 6( пока что в лииеином приближении по ((. ' Условия нормировки в этом слунае будут такими же, как и для своВодного движения поэтому нормнрово ныа коэффициент мы оставляем та. кнм же, как н в 4>ормуле ((2 З?!. б !3.
Теория аодородоподобиого атома (проблема Кеплера) 17б Для этого мы умножим уравнение (12.39) на и', а уравнение (12.53) на и и вычтем одно уравнение из другого. Тогда будем иметь: и / т Ии ли'! 2тпа — (и — — и — — ) = — — ииЪ'. дг! ~. а.)= и Интегрируя последнее выражение от 0 до достаточно больших значений г, мы имеем право в левую часть (12 591, зависящую после подстановки пределов только от конечного значения г, подставить аснмптотпческие решения (!2.57) и (12.58). После простых преобразований мы найдем: э!п 6, = — — „," ~ ии'$' е(г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
