Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 33
Текст из файла (страница 33)
где р,=т,гь Р,=-Мгм р=т„„г, в!па= „, = гпе(1 — М ) ° 1+ — ~ М (!3.79а) Вводя в уравнение (13.77) относительную координату г и заменяя при переходе к квантовому случаю приведенный импульс соответствующим оператором в р--.Ч Э а приведенная масса может быть найдена из равенства 1 ! 1 = — + —, т. е. (13.79) и!лр й 13. теория водородоподобного атома (проблема Кеплера) 197 В силу зависимости частоты излучения атомов от массы ядра М определение атомного веса можно производить не только обычными химическими, но и спектроскопическими методами.
Благодаря этому удалось, в частности, доказать существование тяжелого водорода, ионизованных атомов гелия и т. д. Как известно, атомный вес водорода был определен в среднем относительно кислорода на основании химических исследований. Для каждого же атома в отдельности атомный вес был найден с помощью масс-спектрографа. При этом были получены несколько отличные значения 100 аа ем 0,0145 а . хам (13.84) На основании этого Берджем и Ментцелем было выдвинуто предположение о существовании изотопа водорода — дейтерия П = (Н (или тяжечого водорода), имекпцего атомный вес, в два раза больший, чем у обычного водорода. В самом деле, при определении атомного веса естественной смеси водорода вклад должен внести и дейтерий; в масс-спектрографе же измеряется лишь атомный вес,Н, поскольку спектральные линии атомов ложатся в другом месте шкалы.
Так же как и водород, дейтерий может вступить в реакцию, образуя, например, так называемую тяжелую воду РеО. Впервые тяжелая вода была окрыта (Ори н Осборном в 1932 г. Основной метод получения дейтерия — это электролитическое разложение воды, Скорость выделения обычного водорода на катоде значительно превосходит скорость выделения дейтерия, в результате чего происходит значительная концентрация дейтерия в остатке жидкого электролита, где он может быть обнаружен.
Ввиду же малого количества тяжелого водорода в естественной воде обнаружить его там почти невозможно. Наличие дейтерия подтверждается спектроскопическими исследованиями, показавшими, что в серии Бальмера (и' = 2) наряду с линиями отвалив — 1'х (! ) ( ) (13.85) существуют линии (фиг. 13.5), расположенные несколько правее и укладывающиеся в формулу' говальм — хх (1 ) ( ) (! 3.86) которую нетрудно получить из (!3.83), если положить там массу М равной удвоенной массе ядра атома водорода и 2 = 1.
' Согласно экспериментальным данным Л =2лс ° !09737, 17н 2аа ° 109б78, Яв=2лс 109707, 1ЯВ '1 А С Т Ь 1. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (13.87) Другим очень важным следствием учета движения ядра было открытие ионизованного атома гелия, обнаружеаиого впервые спектроскопическим способом на Солнце, При исследовании солнечного спектра была найдена серия линий, располагающихся по закону а> „=)1>( —,— —,), (13.88) где л, принимает значения 5 7 9 п,= — 3,—,4,— 2' ' 2' ' 2' (13.89) Водород('И) Следует заметить, что ввиду большой относительной разницы в массах атома дейтерия и атома водорода они отличаются по сво27аал>ар""( ") нм физическим и химическим свойствам гораздо сильнее, чем изотопы других элементов.
Так, грг»т>мм(зн) например, хотя тяжелая вода внешне и похожа на обыкновенную воду, по физическим свойствам она несколько отличается ф; 1Зд. Схема относительного От ОбЫКНОВЕИНОй. В ЧаетНОСтИ, расваложеаие спектральных ли- температуры плавления и кипений атома водорода н ага изота. ния ее прн 1 агм чавны соответственно 3,8! ' и ! 01,4'. Она имеет большую вязкость и хуже растворяет соли, чем обычная вода. В связи с развитием ядерной физики тяжелая вода приобретает особое значение, так как она является хорошим замедлителем быстрых нейтронов, а также используется как источник получения дейтерия.
В настоящее время известен еще один изотоп водорода — тритий ~Н, ядро которого состоит из двух нейтронов и одного протона. Его соединения с кислородом образуют так называемую тритиевую воду. В природной воде отношение числа атомов трития к числу ато- 1 мов ~Н равно примерно 10 ", в то время как отношение числа атомов ~Н к числу атомов водорода 1Н равно —. Тритий в 3 1 6800 ' смеси с дейтерием является важнейшим веществом для осуществления термоядерных реакций.
Спектральные линии атома трития несколько сдвинуты как отвосительно водородных, так и дейтериевых линий (фиг, 13 5) и находятся по формуле: й 13. Теория аодородоподобпого атома (проблема Кеплера) 199 Эта серия представляла собой по существу водородную серию Бальмера (и, = 3, 4, 5, ...) с рядом промежуточных линий, образующих серию, получившую название серии Пикеринга, харак- 8 7 теризующуюся полуцелыми квантовыми числами и, = —, —,, 9 — Вначале для объяснения серии Пикеринга предполагали, что водород на Солнце находится в особом состоянии, так что квантовос число и может принимать полуцелые значения. Однако в дальнейшем оказалось, что экспериментальные линии располагаются правее, нежели это следует из формулы (13.85).
Поэтому выдвинутое предположение пришлось оставить. Затем была предложена другая гипотеза, согласно которой обнаруженный спектр обязан своим происхождением однократно ионнзованному атому гелия еНе~, масса ядра которого М = 7360 те, заряд Л = 2, а частоты согласно (13.83) определяются выражением от = 2е)г' ( — — ! ) (! 3.90) Полагая здесь п'= 4, приводим (13.90) к виду (13.91) ( 1840) ' Л .=Л (1- — „,'8„). (13.92) Для атома гелия (13.93) Тщательное изучение этого вопроса спектроскопистами подтвер- дило для постоянной Ридберга значение (!3.93), и тем самым однозначно было доказано, что серия Пикеринга представляет собой спектр ноннзованного атома гелия.
"Атом водорода в квазиклассическом приближении. В случае эллиптических орбит (Е < О) уравнение для радиальной функции атома водорода может быть записано в виде [см. (13.4)1 ЛШ ! ел 1(11 — +( — А+ = — — —.— '1и = 0 и" ~ г ,т (13.94) где п=5,6, 7,8 ..., Чтобы решить вопрос о том, обязана ли серия Пикеринга излучению атомов водорода (с предположением, что квантовые числа могут принимать полуцелые значения) или излучению нонизованного атома гелия !с нормальным значением квантовых чисел), необходимо было найти экспериментальное значение постоянной Ридберга.
В случае водорода 2ОО Ч А С Т Ь 1 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА где и = гйь а значения коэффициентов А и В определены формулой (13.5). Поскольку особенность уравнения (13.94) при 10+ 1) г- О, определяемая членом,, лежит вблизи потенциаль- Г' ного барьера, сшивание решений с помощью функции Бесселя порядка '6 не может дать хорошего результата, так как в области г- 0 нельзя перейти к асимптотиле этой функции. Поэтому мы хотим с помощью введения нового аргумента г=е* удалить эту особенность из точки г -х 0 в точку х -ь — оо. Переходя к аргументу х и вводя новую волновую функцию и = е '~11(х), приведем уравнение (13.94) к виду е'х Фх' —,+ет" [ — А+2Ве-х — [1+ — ) е-")т=О.
(13.95) х 2! х, ) е" ( — А+2Ве- — (1+'Я'е-' ) *т(х= [к+ — ), (13.96) где й = О, 1, 2, ... — радиальное квантовое число. Возвращаясь в последнем интеграле к прежней переменной г = е', будем иметь: ) 1 — А+ — —,. / Й.=п [/г+ — ), (13.97) 2В ( 2) 1' о где г| и гт ) г, — корни подынтегральной функции. Вычисляя последний интеграл (точно), найдем: „~ в Подставим сюда вместо А и В их значения из (13.5) и введем главное квантовое число л = 1 + й + !. Тогда для спектра энергии получим ту же самую формулу, которая была найдена по теории Шредингера [см.
(13.20) [ В ~/~о хеэ~ В= = — =ВП. (13.98) Этот вывод не является случайным, поскольку в теории Шредингера квантовые уровни получаются в членах, пропорциональных й', а квазиклассический метод позволяет их точно учитывать. К этому уравнению применима аппроксимация ВКБ, и с по- мощью формулы (5.75) мы можем найти спектр собственных значений й !4. Упругое рассеяние настин силовми центром 201 Из формулы (13.97) можно сделать важный вывод о том, что при использовании квазиклассических выражений для центральных сил в орбитальном моменте необходимо сделать замену 1(1+1) (1+ф) .
(13. 99) 5 14. УПРУГОЕ РАССЕЯ Н И Е ЧАСТИЦ СИЛОВЪ|М ЦЕНТРОМ Рассмотрим рассеяние частиц силовым центром, потенциальная энергия которого уменьшается на бесконечности сильнее, чем г-'. В этом случае на бесконечности г- со волновая функция может быть аппроксимирована плоскими волнами. Предельный случай кулоновского потенциала У-г-' (т. е, сила дальнего действия) также в ряде случаев можно включить в рассматриваемое приближение, поскольку, как было показано выше [см.
(13.63а)), искажение плоской волны на бесконечности кулоновским полем дает лишь логарифмический сдвиг фазы, который оказывается несущественным при определении дифференциального эффективного сечения при сравнительно больших углах рассеяния. Борковское приближение. Допустим, что в течение времени 2 (О частица была свободной, т. е. двигалась равномерно и прямолинейно с импульсом р = йй и энергией Е = —, = слК, (К =, й~ = — ') . 2гоя '! 2аа' а)' Начиная с момента вре.1ени ! = О, пусть на нее начинает дейст- вовать возмущснке, характеризуемое потенциальной энергией У(г1. Тогда частица обладает определенной вероятностью перей- тн в другое состояние с импульсом )т' * йгс' и энергией Е' = = соК' (К' = — — ~ т, е.
в результате действия возмущения дол2ае / жно произойти рассеяние частицы (фиг. 14.1), Волновые функции начального и конечного состояний, опи- сывающие свободное движение (пулевое приближение), будут в этол| слу;ае равны (см. (4.62)): гю.~ г -'Ь сых!~-Иг ф(й) Т-ч, -мкг+мг гдз Т.а — объем основного куба периодичности, а составляющие импульса й, и й, '(1=1, 2, 3) связаны с целыми числами п, и и', 2О2 ч » г т ь т. нгрелятнвистскля кв»итон»я механик» Фиг. !4.1. Рассеяние частицы си- ловым центром: Н» — импульс палаощтт «птицы; а»' — импульс рассаиииои частицы) Š— угол расселина; Π— рассенпающиа центр. с помощью соотношений: т 2вит й'. = — ' Волновые функции (14.1) удовлетворяют невозмущенному уравнению Шредингера пл — —.—.— + — у ф= 0 ду 2що (!4.2) и явля|отся частным случаем общего его решения Ст,-ыкуег» г ъ-и (14.3) где коэффициенты С и С' зависят соответственно от импульсов й и те'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
