Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 36
Текст из файла (страница 36)
(15. 3) Группируя члены одного порядка малости, находим: '(Š— Н') зр' + ((Е' — ~"И'+ (Е' — Н') И + + (Е' — )") ф' = О. (15А а) Поскольку мы здесь еще не отбрасывали никаких членов, урав- нение (!5.4а) является точным. где тр' и Е' — величины первого порядка малости по отношению к зро и Е', зр" и Е" — величины второго порядка малости и т. д. Как правило, энергию возмущения т" можно представить как произведение энергии, имеющей порядок Р на некоторый малый параметр Х(Х « 1). Тогда решения (15.3) должны представлять собой разложения по этому малому параметру Х, т. е, Ео и фо ие должны зависеть от этого параметра, Е' и ф' пропорциональны Х, Е" и зрп пропорциональны ре и т, д.
Подставляя (15.3) в (15.2а), получаем: (Ео ! Е Но Рт)(фо 1 ф) О (15.4) в!в чхсть г иеоелятивистскхя кохнтовоя меххиикх Первое приближение. Чтобы получить первое приближение теории возмущений, следует отбросить в (15.4а) члены второго порядка малости (Е' — Г)ф' и учесть, что для нулевого приближения имеет место уравнение: (ЕО НО) фΠ— 6 (15.5) Из последнего уравнения могут быть найдены в нулевом приближении все собственные значения о о о о Ег, Ео, Ез,, Ео... ° я собственные функции ф~ ф' ф~" ф.' " связанные между собой соотношением (Ео — Но) фо = 6 (!5.6) Принимая это во внимание, переходим к исследованию уравнения первого приближения теории возмущений (Ео Но) ф (Е Г) фо (15.7) (15.7а) Замечая, что любую функцию всегда можно представить в виде разложения по полной системе ортонормированных функций с теми же граничными условиями (в данном случае этой системой являются функцнифо„ф~о ..., ф'„) решение для ф'„будем искать в форме: ф„' = ~ С„,фог.
о' (15.8) В (!5.8) мы должны определить неизвестные коэффициенгы С„обобщенного ряда Фурье. Подставляя (15.8) в (15.7а), имеем: ~ С,(ЕΠ— Но) фо = — (Е' — $") фо, (1гб.й) ы или, принимая во внимание (!5.6), находим; ~ С„, (ń— Е,) ф = — (Е' — ~") р (15.9а) Невырожденный случай. Если рассматриваемая система является невырождеиной, т. е, если каждому собственному зна. Предположим, что в начальный момент времени система находилась в некотором квантовом состоянии п' = и.
Тогда, в связи с тем, что в нулевом приближении Е =Е'„и фо=фо, при нахождении первого приближения Е'= Е'„ф'=ф„' получаем: (Ео Но) ф~ (Е р~) фо З 1Б. Стационарная теория аозмуженнй и ее простейшие приложения 217 чени1о энергии Е'„соответствует одна и только одна собственная функция ф„', то, умножая уравнение (15.9а) слева на фе' и нн. тегрируя затем по всему пространству, можно привести его к виду '~ С (Ез Ео)б Е + ) фе*)"фог(зх (1510) е Здесь мы учли ортонормированность собственных функций тр' ф(ьтРО т(з б Поскольку величина, стоящая в левой части (!5.10), равна нулю (при п'=п, Е„" — Е'„, =О, а при и' ~ и, б„„, = О), для искомой доя полнительной энергии Е„находим выражение (первое приближение): Е„= Р„„, (! 5.1! ) где матричный элемент р„'„= ) Ер'ФЧ'х. (! 5.!! аг Таким образом, дополнительная энергия Е„системы естественно оказывается равной среднему значению энергии вози)щения Г.
Следует заметить, что выражение (15.!1) для дополнительной энергии Е„, было получено в результате приравнивания путно левой части уравнения (!5.7а) после его умножения на волновую функцию фз' и интегрирования по всему пространству. Отсюда следует, что правая часть неоднородного уравнения Мтй =1 (15. 12) должна быть ортогональной к решению соответствующего однородного уравнения Мфо = О, т. е. ),~о*1,(з 0 (15.13) Для того чтобы найти коэффициенты Ся в уравнении (15.8), воспользуемся формулой (15.9а), которую перепишем в виде (Ео Ео ) фо (Ет р ~) фз и" Тогда, умножая его слева на тря*,(п' Ф п) н принимая во внимание условие ортонормированности, после интегрирования по всему пространству находим: и с„= (15.
14) и и' й 1й. Стацнонарнан теории возмущений и ее простейшие ариложеннн 219 Вырожденный случай. Построим теперь теоршо возмущении применительно к вырожденному случаю, когда одному и тому о же собственному значению энергии Е„при отсутствии возмущения соответствует 1 собственных функций ф'... ф"„,, ф'„. Тогда, очевидно, любая линейная комбинация этих функций / фо ~~ Софа (15.23) является решением волнового уравнения в нулевом приближении (Ео Но) фо~ Как и в случае невырожденных состояний, любое частное решение однородного уравнения (!56) должно быть ортогональным правой части неоднородного уравнения Для доказательства этого умножим (15 7а) слева на фо„' и проинтегрируем по всему пространству. Тогда получаем; (Š— Но)ту г(зх ) фо* (Е~ )г~) тР~с(~х (15 24) Применяя теорему о перебросе производной 1см. 17.9)1, имеем: ~ тЯЕа Но) фо*г(зх ( фш (Е )г ) фос(зх (15 25) Отсюда, замечая, что ф„является решением уравнения Шредингера (Е'„— Н')4„'* = О, доказываем указанную ортогональностан ~ фо (Ег (гг) т~~~ бра фа (з б (15.26) Без ограничения общности можно допустить, что все собственные функции фо ортонормированны '.
Тогда, учитывая, что г тра*тра с(зх = б "г "г $ г 1 Если функции ф„не пвляютси оргонорнироваиными, то путем линейных о ! преобразований из них всегда возможно построить новые функции, обладающие условием ортонормированности. 220 часть ь нвеелятивистскхя квантовая механика вместо (15.25) находим уравнение: l Со(Е Р ) ~я~~' Со )г с=! (15.27) где ~ „~о*р фо,(з ~ фо )зло ,!з "1 (! б.28) (15.29) а штрих у символа суммы означает, что суммирование ведется по всем 1, кроме Е = ~'. Поскольку индекс 1 в (15.27) может принимать любые значения от 1 до 1, для определения искомых неизвестных величин а энергии Е„и коэффициентов Сз мы получаем систему / однородных уравнений; ог ~ ~з о о Сз(Е,— Рн) — Сз)з12 — ...
— С~1/0=0, — С!1' з! + Сз(Еа — $ зз) ° .. — Су1/'зг = О, (15.30) ~,~о*фа,!з (15.30а) Р о то как поправка Е„к энергии Е„невозмущенного состояния системы, так и коэффициенты Со (а тем самым и фо) станут при этом однозначно определенными. В частности, замечая, что система (15.30) имеет нетривиальное решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю, для нахождения Е„получаем уравнение (Еп — 1'и), — )з)з, — )гл, (Ел — ~'зз) з — Рц (15.3!) — Рзз, ..., (Е,— )гз;) получившее название векового, унаследовав этот термин из небесной механики. Если это вековое уравнение имеет для определения энергии / возмущения Е„несколько корней (максимальное число их мо- — СХп — Сз)зр — ° .
+ С~(Еп — У!2)=0. Поскольку волновая функция зр'„должна еще удовлетворять условию нормировки й 1б. Стационарная теория возмущений н ее простейшие приложения 221 жет равняться !), то каждому из них будут соответствовать совершенно определенные коэффициенты Сг. Благодаря этому о учет первого приближения для энергии может понизить или вообще снять кратность вырождения волновой функции уже в нулевом приближении.
Основы теории дисперсии. Теория возмущений нашла применение при изучении взаимодействия света с веществом. Дело в том, что результаты, полученные по квантовой теории, отличаются от классических, а экспериментальная проверка дает подтверждение выводов квантовой теории. Рассмотрим теорию дисперсии (т. е. теорию рассеяния света в среде) для диэлектрических сред, характеризуемых согласно классическим представлениям показателем преломления и= )~е, где е — диэлектрическая проницаемость (магнитная проницаемость р при этом положена равной единице: р = 1). Как известно, если с увеличением частоты света, проходящего через вещег дп ство, показатель преломления и возрастает ( — ) О), то такая и'ы дисперсия называетстя нормальной.
Типичным примером нормальной дисперсии является спектральное разложение видимого света стеклянными или кварцевыми призмами, когда фиолетовые лучи отклоняются от первоначального направления сильнее, чем красные. / оп Аномальная же дисперсия ! — (О) наблюдается в области «Йд частот, которые поглощаются средой. Для определения показателя преломления и воспользуемся связью между вектором электрической напряженности Е электромагнитного поля, вектором индукции Э и вектором поляризации Р: Э=еЕ=Е+4иР. (! 5.32) Отсюда, учитывая, что е = из, находим: пз — 1 Р= Е.
4п (!5.32а) Таким образом, для определения и нам необходимо, исходя из микроскопических представлений о строении вещества, установить связь между Р и Е '. Перейдем теперь к построению квантовой теории дисперсии. При этом предположим, что все электроны атомов 1 Согласно определению поляризация Р складывается из злектрическик моментов атомов в единице объема.
ав находятся в одном и том же квантовом состоянии те. Для решения нашей задачи используем метод теории возмущений, поскольку энергия взаимодействия с внешним полем, как правило, мала по сравнению с энергией связи электронов в атоме. Замечая, что внешняя сила, действующая на электрон, в нерелятивистском случае (т. е. прн отбрасывании «магнитной» сиды) равна Ел = — сои'осозю(, Ро = Р, = О, для энергии возмущения получаем выражение ' 'к" = еохеГо соз юй (15 ЗЗ) В связи с этим уравнение Шредингера для электрона запишется в форме ( — — ".
— ', — Но — У') ф, (!) = О, (15.34) где Н' — гамильтониан в отсутствии возмушения. Допустим, что прн $" = О уравнение (15.34) имеет точное решение (.15. 35) где ф', и Е удовлетворяют уравнению (Š— Но) тРО = О. (! 5.38) Тогда в соответствии с теорией возмущений решение ишем в виде ф (!) фо(!) ! ф (!) (! 5.37) Учитывая далее равенство (15. 37а) для определения ф',(!) (первое приближение) получаем уравнение: ( а а Но)„~~(!) р фо(!) (15.38) Подставляя сюда )т' из (15.33), находим: ( — -".— д, — Но)тй,'(!)= ~ соха'оф",(е "("л 1+е "("'" )1. (15.38а) Чтобы в этом уравнении исключить время 1, ишем решение,тр' (!) в форме: (!) — и (ма-и) ! — н (мз™) (!5 39) ' Это соответствует условию, что иа расстояниях порядка рвзмеров атома электрическое иоле можно считать неизменяющимся, а 1З, Стационарная теория возмущений н ее простейшие приложения 223 Тогда для определения функций и и э получаем уравнения: (Ь(ае — ш) — Но)и = — е,хе зуо, ! (15.40) (Ь (ш„+ ш) — Н') о = — еохе 'фо.
1 2 о (15. 41) Заметим, что два последних уравнения имеют совершенно одинаковую структуру. Поэтому нам достаточно найти лишь функцию и. Тогда для вычисления функции о необходимо заменить ш на — ш. Поскольку в уравнение (!5.40) время явно не входит, при определении функции и мы можем воспользоваться методом теории возмущений для стационарных задач, когда решение следует искать в виде разложения по собственным функциям невозмушенной задачи (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
