Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 34
Текст из файла (страница 34)
При учете энерпш возмущения )т' = )т(г) решение будем искать по нестационарной теории возмущений, согласно которой следует предположить, что вероятностные коэффициенты С' должны стать функциями времени. Поскольку в начальный момент времени частица находилась в состоянии Й, мы должны положить (см. (!0.1б)) С' (! = О) = б»». (14.4) Тогда для коэффициентов С'(1) (й'~ Ф) получаем [см. (10.17)): С' = — — ( сйе™як'1 "а» Ь и' о где = ~ ф* )у (и) ф с(ах Подставляя сюда вместо волновых функций их значение (14.1), найдем после интегрирования по времени асса ~К -ю С'(г) = га )т.
ь(я, д> $ 14. Упругое рассеяние частиц силовым центром 2ВЗ где )г„= )Г еы')г (к) г)зх, н = )с — ))'. (1 4.6) Учитывая далее равенство (10.26) з!и с) (К' — К) и (К' — К) (14. 8) мы приведем (14.7) к виду 2л 'чз ~ 1, об(Кз К) (1 4.9) Наличие 6-функцин под знаком суммы приводит к сохранению энергии рассеивающейся частицы, т. е. Г = К. Такое рассеяние называется упругим '. При переходе в равенстве (14.9) от суммы к интегралу мы дол ьны согласно (14.2) использовать соотношение (14.10) Обычно рассеяние характеризуют эффективным сечением, равным отношению вероятности перехода ш к числу частиц 7зз, падающих в единицу времени на единицу поверхности 5 = 1 смз, перпендикулярной падающему пучку частиц. На эту поверхность в единицу времени, очевидно, попадут те частицы, которые расположены от нее на расстоянии, не превышающем скорости частицы о, т.
е, находящиеся в объеме о5 = и. Это число )Ч равно произведению плотности числа частиц рз = ). ' на объем, численно равный скорости частицы с )з У=в )з )з (14.11) С помощью соотношений (14.9) — (!4.!!) для эффективного сечения рассеяния находим следующее выражение: о = —,, = ~з о(б, ф) сИ, (! 4.12) где подынтегральное выражение, характеризующее число рассеянных частиц, попадающих в телесный угол г(зз (с!з) = ' В качестве прнмера пеупругого рассеяния можно привести тормозное излучение, когда при рассеявии злектрон испускает фотон, благодаря чему К'<К.
Отсюда для вероятности перехода имеем: д чЬт1сз,з ! ~~ ~ 2мпс!(К вЂ” К) (!47) ш= ))г з.> ! = д ~! "Г" с)зз(К -К) 204 Ч А С Т Ь 1 НЕРЕЛЯТНВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА = з!иди с(тр (д и тр — сферические углы рассеяния), называется дифференциальным эффективны м се ч е н и ем. Оно равно: о(б, ф) = ( — „~, ) ! Р.
1'. (14.13) В частности, когда рассеввающий центр обладает сферической симметрией, имеем: р. = ~ )г (г) го с(г ~ е'"' ачба' о где с(й' — телесный угол в пространстве вектора г, в то время как в формуле (14.12) Ый — телесный угол в пространстве вектора й'. Интегрируя последнее выражение по телесному углу, найдем: )Г = — ) г з!Пхг)г (г)дг. 4В Г к Отсюда видно, что дифференциальное эффективное сечение упругого рассеяния равно; о (б) = ! ! (6) )2, (14.14) где х=! й — й'1=2)гз(п —, 0 2 ' (14.! 4а) а величина ) (б) = — —,' ~ г з 1п хг)г (г) сг о (14. 15) называется амплитудой рассеяния.
Формула (14.!4), описывакнцая упругое рассеяние частицы в первом приближении теории возмущений, носит название борновс кого приближен ия. Заметим, что эта же задача может быть решена и по стационарной теории возмущении, так как поченциальная энергия взаимодействия не зависит от времени. Однако для получения эффективного сечения рассеяния мы использовали нестационарную теорию возмущений, математический аппарат которои обладает большей общностью Он, в частности, позволяет решать многие задачи современной квантовой электродинамики с учетом взаимодействия электронов с вторично квантованным электромагнитным полем.
Выражение для о(б), найденное по методу теории возмущений, имеет определенные гранины применимости. В случае короткодействующих сил (ядерные силы, нейтральный атом, непрони- й 14. Упругое рассеяиие частиц силовым центром цаемая сфера и т. д.), когда ими на расстояниях г от пег!тра, превышающих некоторый эффективный радиус а, можно пренебречь, величина эффективного сечения (даже когда эти силы создают барьер, абсолютно непроницаемый для частиц) не может превышать порядка их геометрического сечения (если при этом не возникает резонансного рассеяния, см. ниже). Поэтому для корогкодействующих сил находим следующую область применимости метода возмущений: (14.!6) о(о', где о' па'. ! где А — некоторая постоянная, а а = — — эффективный радиус да действия сил Взаимодействие (14.17) может найти самое широкое применение. Этому закону удовлетворяет простейший потенциал ядерных снл (потенциал Юкавы).
В этом случае величина А = ят, где и — ядерный заряд„превышающий электрическии более чем в 10 раз, а радиус действия ядерных сил равен комптоновской длине волны пи-мезонного поля Ь -ы а = — 10 см. пз„с (!4.!8) Точно так же при рассеянии быстрых электронов (или альфа-частиц) нейтральным атомом потенциальную энергию, следующую из модели Томаса — Ферми, можно аппроксимировать выражениемм (! 4.17) '. В последнем случае величина А=Лев, где Л вЂ” порядковый номер атома, а эффективный радиус атома в модели Томаса— ферми равен [см. ниже (25.65)): упь еш (14.! 9) где у — коэффициент порядка единицы. Наконец, полагая а- оо, получаем потенциал кулоновского поля ядра, который также можно рассматривать как частный случай выражения (14.!7).
' Результаты других аппроксимаций мало отли ~аются от (14!7) вслед. степе короткодействузоптего характера сил, а в залаче рассеяииа аппрокси. нация (14.17) является более удобиой для расчета, чем другие, рассеяние иа юкавском силовом центре.
Как известно, потенциальная энергия юкавского взаимодействия имеет следующий вид: У= — А— (! 4.! 7) ЯВВ Ч А С Т Ь ! НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Подставляя (14.17) в формулу (14,14) и учитывая, что Н г з(п кг(г (г) Нг = — А ) з(п кге-А Ь = — А к +Е а о приходим к следующему выражению для дифференциального эффективного сечения упругого рассеяния 4МВА а о(0) гр( е е ( !)е ° Здесь согласно (14.14а) кт = 4/г з(пт — = 4 —, з(пт— о р . о 2 РА 2' (14.20) (14.2! ) (14.
2) Независимость сечения рассеяния от учла 0 (нзотропность) является характерной чертой рассеяния частиц сравнительно низких энсргнй центром короткодействующих сил. 2. При рассеянии сравнительно быстрых частиц для углов, удовлетворяющих условию ка»1, дифференциальное эффективное сечение не будет зависеть от величины радиуса действия сил а и становится равным 4оь14АЕ о(0) = —,— ' —. РАК ' (! 4.23) Отсюда видно, что для таких углов рассеяние на потенциале Юханы будет таким же, как и при рассеянии иа кулоновском центре. Поэтому прн рассеянии быстрых электронов или я-частиц нейтральным атомом на сравнителы;о большие углы атомные элекгроны особой роли не играют, а рассеяние определяегся лишь потенциалом ядра Полагая в (14.20) А = Ус,', в к = — „з(п —, приходим к форар . 6 м)дс Резерфорда о(д) = 4р' ыа'— 9 где р — импульс частицы.
При исследовании формулы (!4.20) следует различать два случая: 1. Случай рассеяния сравнительно медленных частиц, когда для любых услов рассеяния ка ((!. Как видно из формулы (14,20), величина о(д) не будет зави. сеть от угла 0 и становится равной 4М~А~а" о(д) = — „, й 14. Упругое рассеннне частнп снлоаым пентрол4 207 Из формулы (14.24) видно, что для сил с большим радиусом действия имеет место сильная зависимость сечения от угла рассеяния. Однако для любых больших значений волнового вектора Ь =— Р Ь найдутся такие малые углы д, при которых будет выполняться неравенство 2ра . б — з!и — « 1.
Ь 2 (14.25) В частности, при д- 0 формула Резерфорда дает для о(0) расходящееся значение; в этом случае должен сказаться короткодействующий характер снл, что обусловлено экранирующгм действием электронной оболочки. Условие (14.25) в этом случае определяет область, где формула Резерфорда неприменима. Из равенств (14.!9) и (14.20) при 6=0, т. е, для рассеяния вперед, находим следующее выражение для дифференциального эффективного сечения: оо.+о(()) =4у'оо2' -но~'.
(14. 26) Для полного эффективного сечения согласно (14.2!) после интегрирования по углу 0 получим выражение: 242 4 Ь' 4йтоа+ 1 ' (1,! 27) Отсюда с помощью формулы (!4.16) можно найти следующие пределы применимости метода теории возмущений д я нашей задачи в двух крайних случаях: г'!= 7,, «1 при йа«1, У2= ь-.,-»- « 1 пРи йа » 1', (! 4.29) Еа у,= — ~ 1, р где е„! г а =- — =— сЬ 137 постоянная тонкой структуры. т.
е. при условиг Йа « 1 параметром разложения является величина уь а при условии йа » 1 — величина уа. Только при этих ' Критерий (!429) Ьа .м 1 может быть применен н для кулоноаского потепппа. а (а — ьео). Полагая А=Лап, ай = 4посР= шоп, найдем, что боп- 2 ноаскоа приближение применимо для не слишком малых скоростей заз часть ь нерелятивистская квантовая механика условиях мы можем ограничиться борновскнм приближением. В противном случае следует использовать более точные методы ре- шения задачи (см. ниже).
лй распространяющуюся вдоль осн г со скоростью и = —, разлоана жить по сферическим волнам, т. е. согласно (12.52) представить в виде агв (на — — ) е,',а', = ~ а'(21+1) Ра(созд). (14.31) При наличии потенциальной энергии )г(г) асимптотическое выражение для волновой функции частицы стремится (см. (12.45) и (12.58)] к пределу М мн (ьг — — + а,) 2 фас ~л~н~ СаРа (соз 6) (14.32) причем в первом приближении фазу 6, монсно определить формулой (!2.69). Однако в некоторых частьых случаях она может быть найдена более точно (см.
ниже). Рассеянная волна, очевидно, равна: / на~ а=а — е ' р [С,е ' а — а'(21 + 1)~ ! Неизвестный коэффициент Са может быть найден из условия, что функция фрассенн должна представлять собой расходяшуюся сферическую волну. Для этого коэффициент при сходящейся сферина~ ческой волне е а 7 необходимо положить равным нулю.
Тогда ) У(о) ыа а(арассеан = Е ° г " Парциальные эффективные сечения. Для того чтобы найти эффективное сечение рассеяния не только при малых, по и больших значениях у, и у, [см. (14.27), (!4.28), (!4.29)), мы должны решение искать в виде суммы парциальных эффективных сечений, каждое из которых зависит от орбитального квантовоао числа й Тогда мы должны прежде всего падающую плоскую волну Еыа Ема саа 6 (14.30) й 24. Упругое рассеяние частнц силовым центром Функция !(д) является амплитудой рассеяния (см. (!415)), для которой по точной теории находим ! (б) = —,.
~~ (2! + 1) (е ' 2 — 1) Р, (соз 6). (14.33) 2=в Как известно, дифференциальное эффективное сечение, характеризующее рассеяние частиц на угол б, равно отношению вероятности рассеянной частице пройти в единицу времени через элемент сферической поверхности с!5 = гтс(!! к числу частиц, падающих в единицу времени на единицу по- верхности, перпендикулярной их скорости пал пал пал Отсюда для дифференциального эффективного сечения находим выражение г!и Рассеян ! ! (5) ~22п 22п бе(аа (14.34) Здесь, предполагая аксиальную симметрию рассеивающего поля, мы положили телесный угол равным д!! =2п в!и ба!д. Подставляя сюда полученное значение для амплитуды рассеяния и учитывая прн интегрировании по углам условие орто2ональности для полиномов Лежандра Р,(созд) Рг(созд) э!прад =,, бн, 2 о находим следующее выражение для полного эффективного сечения: о= 1 ос (14.35) 1=0 где парциальные сечения равны: о., — ", (2! + 1) сбит бь (14.35а) При ! = О мы имеем в-рассеяние, при ! = 1 — р-рассеяние и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
