Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В невозмущенном состоянии электрон имеет энергию [см. (13.33) [ в Йй Еэ = — —, 4 (15.64) ' Первый квантовый уровень (л !! являесся невырожденным н поэтому не будет расщепляться, Таким образом, действие постоянной силы ( — ев(э) по классической теории приводит лишь к изменению положения точки равновесия системы, но никоим образом не сказывается на частоте колебаний. Следовательно, в соответствии с классическими представлениями частота излучения атомов, определяемая частотой механических колебаний атомных электронов, вопреки экспериментам, не должна зависеть от того, помещен ли атом в электрическое поле или нет. Рассмотрим теперь эффект Штарка, основываясь на квантовых представлениях. Существуют линейный и нелинейный ш т а р к-э ф ф е к т. Первый из них характерен лишь для водородоподобных атомов.
Это связано с тем обстоятельстволт, что для водородоподобных атомов имеет место вырождение не только по магнитному квантовому числу т, но и по орбитальному квантовому числу 1 (см. й 13), что и обусловливает линейный штарк-эффект. Для всех же других атомов вырождение по! отсутствует, и поэтому для них линейный эффект Штарка не наблюдается. Исследуем более подробно теорию линейного штарк-эффекта для атома водорода. Для примера ограничимся рассмотрением второго квантового уровня (п=2)'. Поскольку внешнее электрическое поле (й ) (в опытах оно имело порядок 10' †' в/см) много меньше внутриатомного, создаваемого ядром и равного гзо Ч А С Т Ь 1.
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА которой соответствуют четыре волновые функции: фз,о,о '~~20( ) 0 )4( )' ф'=ф =14 () У'=1 ()г „„о ф — )7 ()уь — ) () 2+1У (15.65) (!5.66) (15.67) ф4 фз, 4, -) = 4421 (г) 1 4 = 12(г) =. (15.68) Здесь сферические координаты мы заменили декартовыми =2 хгзу созб= —, з)пбе-40== Г Г и ввели обозначения 44( ) У вЂ” )720(г) 1 У 4И 42(4) У (15.69) Общая же волновая функция электрона при этом равна 4 ро ~ Софо (15.70) 4=! где У' ~ Тро У44роо(от = е о') зро*гзроо(зх (15 72) При интегрировании по объему матричные элементы l Г / 4 / 4 / Р Уц, 1"зм Узз Ум, Узз, 1'14 )тм и Узз обращаются в нуль, так как подывтегральное выражение каждого из ннх будет обязательно нечетной функцией относительно хотя бы одной из коор.
дииат: г, х или у. Только матричные элементы / / Ум и УМ=УМ, Очевидно, поскольку в рассматриваемом случае кратность вырождения равна четырем (1=4), для определения неизвесто I о ных коэффициентов С4 и поправки Ез к энергии Е. невозму- щенного состояния согласно (15.30) имеем следующую систему четырех уравнений: 0 / 42 О,г 0 4 О С~ (Ез — Уп! Сзг 42 Сз1' 42 С4У|4 = О, 0 4 02 ~ Рз О 4 О / — С4УМ + С21Е2 — Усу — СзУзз — САУМ = О, о 4 о ° о о. (1571) — С~ У24 — СЕУзз+ Сз(ЕΠ— Узз) — С4УМ = О, — С4У41 — СОУ42 — СзУ4з+ С4(Е2 У44) = О, й 15.
Стационарная теория возмущений н ее простейшие приложения 231 являющиеся четными функциями трех координат, отличны от нуля )г', = 1';, =е 3' ~ 7((г)7' (г) гт(Рх. (15.73) Подставляя сюда вместо )((г) и Га(г) их значения (15.59) и замечая, что в соответствии с (13.28а) Г Е 2 е та 1 1 ге 2 У б ао' после интегрирования (15.73) по углам 6 и (р '(при этом необходимо учесть, что г=г соз 6) находим: и етт Г (Г гт 1)2=12) 4 ~ г 2 — — е Йг 24ао ~ по ~ о (15.73а) Далее, принимая во внимание равенство )Г е-ар'с(р = Г(а+1), о получаем Заоеой' О О Е О О О Еа О О О Ег ЗаоеоВ' О (15.75) О, которое можно также представить в виде Ез (Ет -9аоеоВ )=О.
(15.75а) е)то уравнение имеет четыре Е', Е,' ~(з) г корня: = — Запеве', = ЗаеР, т(Ф) =Е =О, (15.76) (г'„= (Г;и = — Зе,Уасг (15.?4) г Пользуясь найденными значениями матричных элементов (Г)ч, для определения поправки Ет согласно (15.31) имеем вековое уравнение 2З2 Ч А С Т Ь 1 НЕРЕЛЯТНВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА причем каждому из них согласно (15.71) должно соответство- вать вполне определенное значение коэффициентов: С( =С! ', Сз =С4 =О, (1) (1) П> (1) С) = — Сг; Сз =СО =О, Оа (2). (2) 12) 'С( =СО =0; Сз, С4 ФО, (4) (4) .
(4) (4) (15.77) Здесь верхний индекс 1' коэффициентов С)1' = С; указывает, какому решению (корню) уравнения (15.76) они принадлежат. Таким образом, состоянию с энергией <в о 4(4) >(Ь Ез =Ез+Ез = — — — Зеоао8' 4 (! 5.78) которая, если учесть еще условие нормировки фо а> фо(н (з„ принимает вид зр )г" (фз. О, О+ зр2, 1, О) он) ))2 (15.79) Аналогично нетрудно показать, что состояние с энергией <2> О (" >(>) Ез = Ез+ Ез = — — + Заоео8' (! 5.80) имеет в вулевом приближении функцию — (<()2, О, О <1)2, 1, О) 2 (15,81) Для описания состояний с энергией Е =Е (21 (4) ><а 2 2 которые электрическое поле в первом приближении не возмущает, с одинаковым успехом можно пользоваться как функцией ф 4)2 1 1 (Пз !)~ так и функцией ф'<")=фз, 1,-1 (т= — 1) в нулевом приближении согласно (15.70) и (15.77) соответствует волновая функция фо (1) С(1)(ф + ф ) й !5.
Стапионариая теория возмущений и ее простейшие приложения 233 — а +ЗЕеаоп )рь )рй ср — — -Зе а 6 )рй о и Фиг. 15.5. Расщепление второго спектрального терма атома водорода в электрическом поле (лннейный эффект Штарка): о — энергетнчееяяа уровень беэ поля 45 0); Π— энергетнчеенве уровни в поле )зевок илп же их линейной комбинацией, поскольку система при т= =-ь1 остается вырожденной даже при наличии электрического поля. Качественно эффект Штарка для п=2 можно интерпретировать следующим образом: в силу того, что при и = 2 волновая функция (фиг. 12.1) не обладает центральной симметрией, у атома появляется электрический момент р.
Благодаря этому атом, помещенный в электрическое поле (Е„=Ер=О, Е,=В), приобретает дополнительную энергию (фнг. 15.5): (у' = — (рЕ) = — руссову, (! 5.82) где у — угол между направлением электрического дипольного момента атома и осью з, т. е. направлением Е, Сравнивая это выражение с (15.76), мы видим, что электрический момент атома равен р=Заеео. В случае первого ()Р1))) и второго (ф)т)) решения момент атома р направлен соответственно параллельно (у=О) илн анти- параллельно (у=я) электрическому полю; в третьем (тр)э)) и четвертом ()рг))) случаях — перпендикулярно к нему (у=-+ — 1, 2)' благодаря чему никакой дополнительной энергии не возникает.
Иными словами, причиной, обусловливающей линейный эффект Штарка, является присущий атому водорода прн п=2 электрический момент р. Результаты, полученные на основе квантовой механики, находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными только в слабых полях (8' 104 в/см). В более сильных полях (д' — 10' в/см) появляется дополнительное расщепление (квадратичный эффект Штарка), вызванное снятием вырождения по магнитному квантовому числу т.
Наконец, в полях, напряженность которых превышает величину 1Ов в/см, эффект Штарка 234 чзсть Ь иегелятивистскзя квонтовзя мехзникз вообще исчезает. Это связано с появлением автоионизации атомов, т. е. с вырыванием электронов, находящихся на возбужденных уровнях. * Ангармонический осциллятор. Прежде всего найдем поправку к энергии системы во втором приближении теории возмущений. Ограничиваясь в разложениях волновой функции ф и энергии Е (см. (15.3)) членами до второго порядка малости включительно и подставляя нх в уравнение Шредингера (15.2а), получаем для второго приближения (Ео Но) зР (Е Г) зР Е-оРо (15 83) Учитывая, что решение оР„' однородного уравнения должно быть ортогональным к правой части н что выражение для ф'„задается формулой (15.22), находим: ~ фото (з О (15.84) Здесь значение для Р,г, определяется формулой (15.!5). При этом мы воспользовались равенством / Р Упм — Ром имеющим место для эрмнтовых операторов.
Заметим, что поправка (15.84) второго приближения к энергии наинизшего состояния всегда отрицательна, поскольку все остальные уровни Е; лежат выше Е„, т. е. Е„)Е„. о о Применим полученную формулу для определения энергетического спектра ангармонического осциллятора. Допустим, что частица находится в потенциальной яме с потенциальной энергией 1~(х). Поместим точку положения равновесия в начале кдординат Г(х) =0 (при х=О) и возьмем такой отсчет потенпиальной энергии, чтобы в точке равновесия она обра.цалась бы в нуль ($~(0) =0). Тогда, раскладывая потенциальную энергию в ряд, найдем: У (х) = У (0) + хУ (0) + — 1'" (0) + †, Г"'(0) + — г'и (0) + й 1Б.
Стационарная теория возмущений и ее простейшие приложения 23$ Учитывая, что )ю(0) = й" (0) = О, и полагая (в случае устойчивого равновесия в точке х = О) 2 )тм (О) = — '2 ( 0; — 'т'м'(О) = а, †, )тщ (О) = р, т. е. решая задачу ие в нулевом приближении, а с учетом членов второго порядка, мы будем иметь так называемый а н г а рмон и ч е с к и й о сцилл втор, нашедший применение в теории молекул.
Уравнение Шредингера для ангармонического осциллятора принимает вид: Лзюй 2тю У тюсюзлз (15.85) где энергия возмущений Г=ссхз+рхю, а постоянные а и р не зависят от а. Найдем энергию возмущений с учетом членов порядка йз. Как известно, энергия гармонического осциллятора (нулевое приближение) равна: Еп=йоз'(и+ 2). (15.86) Рассматривая энергию Ъ" как энергию возмущения, в первом приближении находим: Е = К, =а(х) +)3(х')„„.
(15.87) Легко показать, что + юю (з) ) ~ф р з,(х Подставляя сюда значения для (х')„а из (10.75), находим для энергии возмущения в первом приближении Е следующее выражение: Еи = — Ь вЂ” ~И +/3+ — /. 3, р у з 1й о 2/ Однако наша задача решена еше не до конца, так как вклад, вносимый первым членом энергии возмущения ссх', во втором приближении пропорционален х'/В-Ьз и поэтому также должен (15.88) поскольку подынтегральное выражение — нечетная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
