Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 39
Текст из файла (страница 39)
При вычислении же матричного элемента р(хю) „„можно воспользоваться правилом умножения матричных элементов «см. ,,'(8.89)]. Тогда будем иметь: (х )ип Х (х )оз (х )ал ( (х )и и-2) + ((х )и и) + ( (х )и и+з) 5 1а. Атом в магнитном поле Лля того чтобы сделать переход к квантовому уравнению, мы должны, как обычно, в (16.1) вместо импульса р подставить оператор л р р= Р и подействовать операторным выражением на волновую функцию ф (см. также (5.9а)): (Š— —, '! Р— — ' А) — еФ) ф = О. (16.3) Раскроем далее соотношение (Р— —, ") ф = (Р' — —,(Р 4) — — ( 4Р) + — ~ 4') Ф где в нерелятивистском приближении имеем право отбросить I еела а е'А' члены второго порядка малости ~ —, = (!а —,-О), а для статического магнитного поля (д)ч А=О) можно положить (РА) ф = (Ар) ф.
Тогда уравнение Шредингера для электрона при наличии не только электрического, но и магнитного поля принимает форму (Е 2т + — (АР) — еФ) ф = О. (16.4) А = — х ого', ! 2 А = — — унга, 1 х= 2 е еЖ Ьг' д — (Ар) = — — 1х— т,с 2тос 1 ~ ду находим д 1 ееото. — р — = — 1. дх1 2го с Эффект Зеемана. В 1896 г. Зееман обнаружил, что спектраль- ные линии атомов, помещенных в магнитное поле, расщепляются на несколько компонентов. Это явление получило название эффекта Зеемана. С тех пор эффект Зеемана играет большую роль в исследо- вання строения атома и в особенности его магнитных свойств, Вместе с экспериментальным обнаружением все новых особен- ностей зеемановского расщепления развивалась также и его теория. Рассмотрим прежде всего с помощью уравнения (16.4) зее- мановское расщепление спектральных линий водородоподобного атома, помещенного в постоянное и однородное магнитное поле, которое мы направим по оси г.
Полагая в этом случае е= — е,, 7е;, еФ= — —, Н = Нц —— О, Не=его, г 238 Ч А СТЬ Е НЕРЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ИЕХАННКА где оператор проекции момента на ось г равен: л а 1. = — —. 1 д~р* Подставляя последние соотношения в (16.4), запишем уравнение Шредингера для атома в постоянном магнитном поле: 2еоо еож' Лео (16.6) 2иоос Последнему уравнению удовлетворяет волновая функция вида = Е„1(г) У, (б. 12), (16. 7) где Ус — шаровая функция (см. (11.67)1, а Й„1(г) — радиальная составляющая функции водородоподобного атома (см. (13.28а)1.
В этом нетрудно убедиться, если учесть соотношение (.,У, = =атУ1, с помощью которого (!6.6) можно привести к виду (Р, ~о, (Е, ~о„) ). 0 (16.8) где Е'=Š— ' си. 2еоос (16.9) Уравнение (16.8) точно совпадает по математической форме с уравнением Шредингера для водородоподобного атома, собственные функции которого равны (16.7), а для определения собственных значений имеем соотношение гсМо Е = —— е о ° (16.10) Из последней формулы видно, что магнитное поле нарушает центральную симметрию, а вместе с тем снимает вырождение по магнитному квантовому числу НТ, свойственное любым цеятральным силам. При переходе электрона из квантового состояния п, и в квантовое состояние и', т' должна излучаться частота Е„~ и„ СВ = " = Сееоо + О(т — ПТ') го о (16.11) Отсюда находим энергию водородоподобного атома, помещенного в магнитном поле Йтосо еооягй ио 2ео,с й 16.
Атом в магнитном поле 239 где ларморова частота езус о= —. 2шос ' (16.! 1а) Отсюда видно, что на частоту спектра водородоподобного атома оззз =Р2 ( —, — — ) должно накладываться зеемановское расщепление спектраль- ных линий, которое, учитывая правила отбора для магнитного квантового числа (ьзгп=О, ч 1), дает триплет (нормальный эф- фект Зеемана) ' Ьш=оьтпт=О, +.о. Последний результат совпадает с известным результатом, полученным по классической теории Лоренца, согласно которой каждая спектральная линия атома, помещенного в магнитное поле, расщепляется на три или на две линии (по направлению поля, несмещенный компонент, обязанный колебаниям вдоль оси г, должен отсутствовать).
Появление дополнительного члена для энергии при включении магнитного поля (см. (16.10)) может быть интерпретировано как наличие у атома орбитального магнитного момента, который и дает дополнительную энергию гзЕ "= — ()хН) = — р %'= ез ~еуу. 2тэс Отсюда для орбитального момента получаем значение )с» = — )саят, где элементарный магнитный момент (! 6. 12) )со = = 9,3 ° 10 эрг . гаусс езй -и 2тос ' Как известно, нормальное зеемановское расщепление спектральных лв. иий (триплеты п дублеты) встречается сравнительно редко, а именно в следующих случаях: 1) в сильных магнитных полях (эффект Пашена — Бака); 2) когда общий спин электронов в атоме равняется нулю (например, в парагелии, у лоторого на внешней оболочке имеется два электрона с противоположно направленными спинами).
В противном случае мы имеем более сложное расщепление (более чем ьа три линии), получившее название а н омального эффек та Босмана, который связан со спиновыми свойствами электронов. Бго теория была построена только после появления уравнения Дирака, учитывающего спиновые эффекты (см. й 20). получил название магнетона Бора. Магнетону Бора должны быть кратны все магнитные моменты атомов. 24О часть ь нееелятивистскхя квантовая механик» Принимая во внимание, что для проекции механического момента на ось г мы имеем Ь,= агп, находим соотношение между моментами Го» ео (16.13) д» 2тос ' известное также и из классических соображений.
Р» ео Ы о !» 2»оос (16.14) значение множителя Ланде х вопреки теории Шредингера (а также и классической механики) было найдено равным не единице, а двум (й"=2). В опытах Штерна и Герлаха (1921) изучалось поведение пучков атомов в неоднородном магнитном поле. Исследуя расщепление пучка атомов в э-состоянии, когда орбитальные (механический н магнитный) моменты атома согласно (16.12) равны нулю (т=О), Штерн и Герлах нашли, что атомы в з-состоянии обладают все же магнитным моментом, причем проекция этого момента на выделенное направление г принимает два значения (!6.15) Спин электрона.
Теория Шредингера объясняет наличие лишь орбитальных механического и магнитного моментов, т. е. моментов, возникающих благодаря движению заряженного электрона в атоме. Основными формулами, которые характеризуют эти свойства, являются формула (16.13) для отношения орбитального магнитного и орбитального механического моментов и формула (!6.12), указывающая на то, что число возможных ориентаций магнитного момента относительно оси г должно быть обязательно нечетным, так как число состояний с различными квантовыми числами по равняется 21+1. Экспериментальная проверка показала, что выводы теории Шредингера не укладываются в общую схему опытных данных, анализ которых привел к открытию спиновых свойств электрона, Остановимся кратко на результатах этих экспериментов.
В опытах Эйнштейна — де-Гааза (1915) по экспериментальной проверке гиромагнитного отношения (16.13), которое мы представим в виде $16. Атом в магнитном поле 241 Результаты измерений над величиной !т показали, что этот магнитный момент равен магнетону Бора еой 2тае (16. 16) Чтобы объяснить и согласовать между собой результаты этих двух классических опытов, Уленбек и Гаудсмит выдвинули гипотезу, согласно которой электрон наряду с орбитальным моментом должен обладать еще собст не ни ы м меха н ич еским, а следовательно, и собственным магнитным м о м е н т о м. Этот механический момент получил название си и н а электрона в связи с попыткой связать его с внутренними вращательными степенями свободы (классическая модель вращаюгцегося волчка; по-английски !о зр!и — вертеть).
Следует сразу же подчеркнуть, что никакой классической теории спина не существует. Согласно гипотезе Уленбека и Гаудсмита, собственный механический момент электрона должен быть равен !!ай, так что 5г=~ оК. 1 (16.17) !о Заа з а т. е. квантовое число, которое характеризует его проекцию на ось г, должно принимать не целые, а полуцелые значения ( =-.) 1! т,= -ь — ).
Характерное отличие целых (например, орбитального, магнитного т) от полуцелых (спинового гп,) квантовых чисел сводится прежде всего к числу возможных состояний. Целые числа всегда дают нечетное число состояний (при 1=0 существует одно состояние гп=0; при 1=! — три состояния пт=0, +1, — 1 и т. д.). Полуцелые же квантовые числа дают ! четное число состояний (например, при з= — мы имеем два 1 1 3 сОстОяния: lп~= + 2, — 2; при 3 = 2 четыре и т.
Д.). Предположение о существовании полуцелых квантовых чисел было введено еще до гипотезы Уленбека и Гаудсмита как попытка объяснить дублетное расщепление термов одновалентных атомов. Опыты Штерна и Герлаха показали два возможных внутренних состояния электрона в одновалентных атомах, т. е. доказали, что спин электрона следует характеризовать полуцедыми квантовыми числами, которые соответствуют двум его противоположным ориентациям. Поскольку из опытов Эйнштейна — де-Гааза следовало, что в формуле (16.14) множитель Лэнде у=2, принимая во внимание значение для соответствующего механического момента (16.17), было установлено, что проекция собственного магнигного момента на ось 2 должна 242 ч л с т ь Г.
нвевлятивистскля квлнтовхя мехлникх равняться магнетону Бора (16.18) После введения спина электрона не только магнитные свойства, но и мультиплетное расщепление спектральных линий атомов нашли свое объяснение. Уравнение Паули. Не релятивистское волновое у р а в н е н н е, учитывающее собственный магнитный момент электрона, впервые было предложено Паули. С этой целью обь1чный гамильтониан уравнения Шредингера был дополнен членом, который учитывал еще взаимодействие собственного магнитного момента электрона р с внешним магнитным полем Н: У' = — (рН). (16. 19) Тогда стационарное уравнение Шредингера принимает вид~ (Š— Н +(рн)) р=о, (! 6.20) где гамильтониан уравнения Шредингера Н = — (р — — А) +еФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
