Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 41
Текст из файла (страница 41)
поэтому в дальнейшем зависггмость ф оч 1 мы, нав правило, будем указывать только в том случае, когда это далеко не очевидно. ' В классическом случае при наличии поля вместо соотношения (17.1) находим: Е =т~стР + гг~~с +ецт или Р )г с Р~+ лтс, что и энвивалсчын1 звсдепи~о огшри!оров (175). Тогда получаем реля т и вист с кое у р а в пение при н а- личии поля язв часть и. еелятнвнстскля квлнтовля мехлникл Плотность заряда и плотность тока.
Выражение для плотности заряда и тока найдем для случая отсутствия электромаг. нитных полей (ГО=А=О). Так же как и в теории Шредингера, в основу вывода положим уравнение непрерывности 61ч /+ — О, др дГ имеющее, как известно, релятивистски инвариантную форму. Умножая уравнение (17.4) слева на ф", а комплексно-сопряженное (аналогичное (!7.4), но с заменой ф на ф*] — на ф и производя вычитание, получаем 1/, д~ д' 'ф Ч~ф — фЧ~ф — —, ~ф" —,ф — ф —, ф') = О. (17.8) Последнее равенство можно преобразовать к виду: 4!чйдгаГ)ф' — ф" дгаГ!ф)+ —, дГ )ф д, ф — ф дГ-ф'~=0.
(17.9) 1 д Г д д 1= —,',„" И*Чф-(Чф') И, (17.10) (17.11) замечаем, что они удовлетворяют уравнению непрерывности (17.7) и, кроме того, образуют четырехмерный вектор (17.12) где х, = ГсГ, ГГ = Гср. (17.13) Плотность тока (17.11) совпадает с нерелятивистской формулой (5.21), плотность заряда переходит в нерелятивистское выражение (5.20) при о « с. Действительно, воспользовавшись заменой й — -ьЕ (см. (17.4)) с помощью (17.10), для плотности д заряда получаем выражение: (17.14) т,с' которое в нерелятивистском приближении Е лГесз переходило бы в обычную формулу р = ефьф.
Однако в релятивистской тео. рии возможно и втопое решение с отрицательными значениями Е (Е<0). Тогда для плотности р мы получим знак, противоположный е, Определяя теперь плотность заряда и плотность тока соответ- ственно выражениями й !7. Скалярное релятивистское волновое уравнение 251' Таким образом, релятивистское уравнение в принципе может описывать частицы не только с отрицательным, но и с положительным зарядом (например, заряженные пи-мезоны, к которым применимо это уравнение). Понятие же плотности частиц (в отличие от плотности заряда) р гд Г, д~р д~' Ро = — = — ~тй* — тР~ е 2шоее 1 дГ дГ (17.15).
в общем случае теряет свой смысл, поскольку это выражение не является положительно определенной величиной в отличие от соответствующего выражения нерелятивистской теории' Ро = тР'тг. (17.16) Релятивистская теория водородоподобного атома (без учета спина электрона). Эту задачу мы должны решать с помощью волнового уравнения (17.6), в котором следует положить А=О, еФ=У= — — '. (17. 17) Тогда имеем дэф -1- — ((Š— )г)э тте4~ „~ О 1 (17. 18) Поскольку потенциальная энергия в последнем уравнении от времени не зависит, можно перейти к стационарному случаю, выделив из общей энергии, которую мы считаем положительной Е + т,сэ ) О, собственную энергию частицы тост: ф(г, 1) = ор (т') е (17.19) Далее, учитывая действие оператора энергии Етр(г, г)=(Е+ тост)ф(г)е пью+ мы приведем уравнение (17.18) к виду: Рф + ейэ ~~Е+ тост+ — ! — ттс4 ф = О. (17.21) й 1'1 г Так же как и в теории Шредингера, решение последнего уравнения ищем в форме: ф=)с(г) Уг (О, Ч~).
Тогда для радиальной части получим уравнение: (7; — А+ — —,, ) й = О. (17.23) (17.22) ' Понятие р, можно ввести лишь условно, например, для случая, когда имеются частицы только с положительной энергией. ч о г т ь и яелятнвистскяя квантовая меххннкх о оо Здесь а=— ол шей название и 1 — является безразмерной величиной, получив- 137 остоянной тонкой структуры. А = —, ~1 — (! + —,) ~, в= '„" ~!+ (17.24) (! 7.25) Решение последнего уравнения ишем в форме: !хо = Сг'. Тогда для определения з получаем уравнение з (з + 1) — 1(1-1- 1) -1- Яхах = О (17.
26) с решением (17.27) В этом случае Если )хо — С,г" + С г*. (17. 28) 1 Ха( —, 2' то оба корня з, и ая при любых знзчениях ! = О, 1, 2, . будут вешественными величинами и мы можем ограничиться решением для г)со, нерасходяшимся в нуле, т. е. положить Сх = О Кроме того, при Е ( О (когда А ) О) в выражении для волновой функ- При с' — оо последние выражения точно переходят в соответствуюшие выражения нерелятнвистской теории (см. $13), Несколько уточненные (путем учета релятивистских эфФектов) значения для постоянных А и В не могут каким-либо образом сказаться на характере решения релятивистского волнового уравнения по сравнению с решением уравнения Шредингера.
Появление же в уравнении (17.23) дополнительного члена яьхх — можно формально рассматривать как введение дополнительной релятивистской потенциальной энергии притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстояния, которая может при некоторых условиях изменить характер решения, что будет более подробно проанализировано ниже. Прежде всего исследуем асимптотическое решение )хо при г- О. В этом случае уравнение (!7 23) принимает вид: Ц1+! Г ны й 17.
Скалярное релятивистское волновое уравнение 253 циь при г оо следует ограничиться экспоненциально убывающим решением. Ограничение с обеих сторон убывающими решениями дает для определения спектра энергии такое же выражение, какое было получено по теории Шредингера [см. (13.20), если в последнем 1 заменить на зД. Тогда для определения собственных значений будем иметь уравнение — = =й+ — + ~( ((+ — ) — Л а.
В 1 ~~ 1 те )А 2 (, 2) (17.29) Подставляя сюда вместо постоянных 8 и А их релятивистские значения (17.24), получаем (п=й+1+1): е„,—,е[! -'; .,~ —, О7 30) а+ — + (1з- — ) -2'а' 2 1 2) Разлагая последнее выражение в ряд по Л'ав и оставлчя первые два не обращающиеся в нуль члена, находим спектр энергий. Елс „с 1 + с — 1 — 4 . (17.31) Ем — Ем 8 Вас Ьсв = 3 16 (17.32) Сравнение результатов с данными эксперимента показывает, что истинная величина расщепления для серии Бальмера оказывается примерно в трн раза меньшей, чем зто следует из формулы ы (17.32) . Причина этого противоречия заключается в том, что тонкая структура уровней атома водорода ие исчерпывается релятивистской зависимостью массы от скорости. Как будет показано ниже, прн этом следует учитывать также н спин электрона, т.
е, Первый член совпадает с соответствующим выражением нерелятивистской теории; второй член, пропорциональный квадрату постоянной тонкой структуры а = '/свь дает релятивистские поправки. Учет релятивистских поправок для атома водорода (2 = 1) интересен в том отношении, что он снимает вырождение по 1, благодаря чему уровни с заданным значением и расщепляются на и близких (ввиду малости ав) подуровней, поскольку орбитальное квантовое число 1 может принимать п значений (1 = О, 1, 2, ..., и — ! ). Для сравнения с экспериментом можно рассчитать дублетное расщепление для серии Бальмера (н = 2). Лля величины этого расщепления имеем: 254 Ч А С Т Ь П.
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА собственный механический момент. Вначале предполагалось, что уравнение Клейна — Гордона пригодно для описания релятивистского электрона. Однако это уравнение двнжения частицы со спином, равным нулю, в то время как спин электронов оказался равным '7,.
Уравнение Клейна — Гордона, по-видимому, применимо для пи-мезонов — частиц со спином, равным нулю. Оно. в частности, может описывать движение отрицательных пи-мезонов вокруг ядра. Подобные, так называемые пи-мезоатомы уже были получены экспериментально. Примечание. Наконец, рассмотрим другой случай, когда в уравнении (17.271 ! 2а ) —. 2 (17.33) тогда появляется принципиально новое решение. В самом деле, при 1=О оба корня з| и з« становятся комплексными, и поэтому асимптотическое решение (17.23) принимает вид: г» ==(С,г" +С,г-гт), Г (17.34) 2 18.
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА Как было указано в предыдущем параграфе, в основе построения квантовой релятивистской механики лежит известное релятивистское соотношение между энергией Е, импульсом р и массой покоя частиц то [см. (17.1) 1. Для того чтобы избавиться от квадратного корня, можно обе части равенства возвести в квадрат. Этим способом было получено уравнение Клейна — Гордона, которое описывает движение бесспиновых частиц.
Поэтому оно неприменимо к электронам, спин которых равен '/э (в единицах 3). Другой путь был предложен Дираком в 1928 г. Он сводится к «линеаризации» соотношения (17.1). Это привело к открытию релятивистского волнового уравнения для электрона со спином '!э (в единицах й). Следует заметить, что после уравнений классической электродинамики Максвелла — Лоренца следующий важный этап развития учения об электроне связан с уравнением Дирака. Нерелятивистская квантовая механика Шредингера и уравнение Паули могут быть получены как некоторые приближения уравнения Дирака. /,, ! где у 1,' Еэ໠— —.
Мы не можем ограничить нашу задачу условием 1 Сз=о или С1 О, так как оба решения имеют одинаковую сингулярность прн г-»О. Поэтому при 1=О получается непрерывный спектр, что, в частности, делает возможным «падение» частицы на центр. ф г8. уравнение дирака «Линеаризация» оператора энергии. Для «линеариэации» релятивистского соотношения между энергией и импульсом или «извлечения» квадратного корня из четырехчлена представим ',(17.1) в следующем виде: Е с')г Рг+ и'сг = с,.'г) апра (18.1) и-о где Ро= иос» Р1= Р Рг= Ря Рз= Р*' При этом мы имеем: з Е'=се ~~~~ р р =сг(рз+ тгасг). ~-о (18.2) (18.3) а„а„+ а„аи = 2бщ,, (18.5) т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
