Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(16.21) может быть представлена одним уравнением в матричной за- писи: (а) (Ч") =, = О, (16.23) Далее необходимо было найти соответствующие величины для описания собственного магнитного момента электрона. Как известно, введение спина связано с введением четвертого кван- тового числа, которое должно характеризовать внутренние свой- ства электрона. Волновая функция ф частицы может зависеть только от трех квантовых чисел, соответствующих квантованию трех простран- ственных координат.
Для описания спина и введения четвертого квантового числа Паули вводит вместо одной волновой функции ф две волновые функции Ч"1 и Ч"ь В этом случае одна волновая функция будет описывать состояние с одним направлением спина, а другая— с противоположным; само же волновое уравнение должно пред- ставлять собой систему двух уравнений. Как известно, система двух уравнений, например апЧ", + а „Ч'. = О, амЧ", + аз,Ч'2= О, й 1З. Атом в магнитном поле 233 если учитывать прн этом закон умножения матриц (с) = (а) (Ь) ! элементы матрицы-произведения равны сумме произведений эле- ментов строк первой матрицы на соответствующие элементы столбцов второй матрицы, т.
е. см —— ~ а!пбла. и (16.24) Паули предложил выбрать волновую функцию Ч' в виде мат- !! Чг! 1 рицы с одним столбцом Чг = ~ ), а собственный магнитный 2 момент электрона положить равным М = — Рое, (16. 25) где ра — магнетон Бора, о' — три двухрядных матрицы Паули О ' " = Π— 1 (16.26) которые будем обозначать буквой а,' со штрихом (той же буквой без штриха описываются четырехрядные матрицы Дирака). Матрицы (16.26) характеризуют проекции вектора спина на оси координат. Используя правила умножения матриц (16.24), легко показать, что матрицы Паули обладают следующими свойствами, Квадрат каждой матрицы равен единице: (16. 27) /1 011 где через У' обозначена двухрядная единичная матрица ~ ). ~О 1) Различные матрицы антикоммутируют друг с другом, причем 2 1 3 1 2 21 О'а' — Огп' = 1О' 2 3 32 !г О'О' = — О'а' = 1а'.
1 ! 3 2' (16. 28) (Š— Н ) — ра Н„+ . Ни+ + Π— Н, Чг — — О. (16.29) 1З» Учитывая значения матриц, нерелятивистское уравнение Паули можно представить в виде: Ч А С Т Ь Г НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Это матричное уравнение эквивалентно системе двух обычных уравнений; (Š— Н вЂ” РВН,) Ч'2 — Ро (Нк — 2Н„) Ч'2 = О, (Š— Н + рВН,) Ч'2 — рз (Н + (НЕ) Ч22 = О. (16.30) В частности, рассмотрим случай движения электрона в магнитном поле, направленном по оси е(Н„=Н„=О, Н,=эб).
Учитывая при этом гамильтониан уравнения Шредингера при наличии магнитного поля (16.8), находим для описания движения электрона два уравнения: Р Е + е~Ф вЂ” р,ДАНТ вЂ” рВЯЖ вЂ” — ~ Ч~, = О, (! 6.31) Е+ ЕОФ вЂ” рОЮНТ+ 120Ы' — 2 Ч', = О, 2т, > где энергии 1222эт и ь122мэ" характеризуют соответственно взаимодействие орбитального и спинового моментов с магнитным полем Ж В частности, для г-состояний магнитное квантовое число НЕ равно нулю, и поэтому уравнение Паули принимает внд: (Е+ ЕВФ рВЯЖ вЂ” ) Ч", = О, ( р' 1 Е+ Е,Ф+ РОЖ 2,„1Ч', = О, 22и, 2 (16. 32) / Ч', ~ 1 =(ЧТ~Ч22) = Чг!%+ 1212, (16.33) М/ в Котором учтена возможность двух направлений спина. т. е. волновая функция Ч', описывает состояние, когда собственный механический момент электрона (т.
е. спин) направлен по оси г, а волновая функпия Ч'2 — против оси г. Эти две возможные ориентации собственного магнитного момента, направленного антипараллельно механическому, и наблюдались в опытах Штерна и Герлаха. В качестве функции Ч"' Паули предложил выбрать так называемую эрмитово-сопряженную волновую функцию, т. е.
Матрицу 'Р~ = ('Р1Ч"2), элементы которой не только комплексно сопряжены, но н транспонированы, т. е. строки заменены столбцами. Иначе говоря, если 'Р есть матрица-столбец, то Ч"+ будет матрицей-строкой с комплексно-сопряженными элементами. Тогда для плотности вероятности будем иметь выражение: 6 16.
Атом в магнитном поле Аналогичным образом должны образовываться и другие матричные элементы. Например, Л=(Ч'Ч') 6 Ч, =('1'Ч') Ч =Ч" Ч' — Ч" Ч', (16.34) т. е. Ч'1Чтг и Ч"агут характеризуют плотности вероятности состояний, в которых электрон имеет ориентацию спина соответственно по н против оси г. Зная выражение для собственного магнитного момента в теории Паули егГ ! — — и 2вггс а также соотношение между собственным магнитным н механическим моментами, которое следует из экспериментов Эйнштейна — де-Гааза Ег )а= — — '8 лг„с находим, что 8 = — эо', ! 2 (16.35) т.
е. в согласии с другими опытными фактами проекция механического момента на ось з равна -~-'1,. Поскольку оператор спина выражается через матрицы Паули, его составляющие не должны коммутировать между собой, и для них с помошью равенств (16.28) и (16.35) можно найти перестановочные соотношения: 8 Ял — Бв5„ИЯ„ 8д5г Зг5а с~5л 8,8„— 8„5, = сэЯв. (16.36) Разделение спиновых и координатных функций. Рассмотри. движение электрона в однородном магнитном поле О, Покажем, что в этом случае решение уравнения Паули распадается на произведение координатной и спиновой часги. Следует указать, что аналогичные перестановочные соотношения были установлены для составляющих орбитального момента [см. (1!.75) н (11.76)1, которые были операторами, составленными из производных.
Заметим также, что в теории Паули абсолютное значение собственвого механического н магнитного моментов вводится по сушеству эмпирически. Ч ЕСТЬ Т ИЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАИИКА Для этого решение ищем в виде: ч,(.,1) =""" с,(г) . (16.37) Тогда легко показать, что «координатная» часть волновой функции ф(г,1) удовлетворяет обычному уравнению Шредингера, не учитываюшему спин и дФ(") Н-ф(Г г) а спиновая часть волновой функции может быть найдена из уравнения ед ИВ( О) (16.39) Нормировка спиновой части волновой функции будет: ..
1С,'1 (С;С,')( ~=С',С,+С,"С,=1. ~с,/= (16.40) В случае постоянного во времени магнитного поля в последних уравнениях легко вычислить еще и временную часть. Для этого следует положить с С,(1)'),ф,7С,~ С,(1)/=' (,С,! (16.41) с ф(г, 1)=е " ' ф(И). (16. 42) Тогда для определения не зависяших от времени частей волновой функцин, а также энергии Е, имеем: (Š— Е,) ф = Н ~ф, (16.43) Е,, = Ро (о'Н) (16.44) (16. 45) где (16.46) Далее найдем собственные значения проекции спинового момента, если ось з направлена по магнитному полю. Тогда исходное уравнение принимает вид: э 16. Атом н млгннтном поле Матричное уравнение (16.46) эквивалентно двум однородным алгебраическим уравнениям: ! — С вЂ” ХС =О, 2 2 С2+Хст=о.
(16.47) Нормированные решения этих уравнений имеют вид — — с( —,')=( ) «г-- -,', о(--,')-( ). Оби) Е, = (тоЮ и Е, = — (лодЖ„ 11ервое, очевидно, соответствует случаю, когда спин направлен по оси г, второе — случаю, когда спин направлен против оси а. Согласно (16.44) энергия для обоих состояний соответственно равна: ЧАСТЬ ВТОРАЯ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА $17. СКАЛЯРНОЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА — ГОРДОНА Классическая релятивистская механика и уравнение Клейна — Гордона. Уравнение Шредингера, подробно рассмотренное нами, применимо для описания движения частиц, скорость которых о значительно меньше скорости света с. Нерелятивистское волновое уравнение Шредингера неинварнантно относительно преобразований специальной теории относительности (преобразований Лоренца), поскольку координаты времени и пространства входят неравноправно: уравнение содержит первую производную по времени и вторые производные по координатам, в то время как специальная теория относительности требует такой записи уравнения, чтобы пространственные и временные координаты формально входили бы на одинаковых основаниях.
Для того чтобы получить релятивистское волновое у р а в н е н и е, будем исходить из классического релятивистского соотношения между массой и энергией, которые вначале запишем для свободных частиц: е = 9"Рр' -:- (17.1) Далее следовало бы использовать тот же прием, что и при получении нерелятивистского уравнения Шредингера, т. е. вместо энергии и импульса ввести операторы д> ' 6 д л (17.2) Однако неизвестно, как операторы, стоящие под знаком квадратного корня, должны действовать иа волновую функцию. Поэтому при переходе от классического к волновому уравнению в релятивистском случае мы должны прежде всего избавиться от квадратного корня.
Это можно сделать двояким путем: либо возвести обе части равенства в квадрат и получить скалярное уравнение Клейна †Гордо, либо с помощью матриц извлечь квадратный корень и получить спинорное уравнение Дирака, учитывающее наряду с релятивистскими (так же как и уравнение Клейна— Гордона) еше и спиновые эффекты, й !7.
Скалярное релятивистское волновое уравнение В настояшем параграфе мы рассмотрим первый способ, развитый также и фоком. Возводя обе части равенства (17 1) в квадрат, имеем: Ез — сэра — ттсч = О. (17.3) Подставляя сюда значение операторов (17.2), мы найдем уравнение Клейна — Гордона для свободной час т и ц ы '.
стдЯЧЯ вЂ” дт — — ттс' ) ф = О. (22 2 2 д12 о / (17.4) При наличии электромагнитного поля вместо (17,2) следует под- ставить обобшенные операторы'; д Е- Р= — — — — еФ, д) гп- Р= —. Ч вЂ” — А, л е с (17.5) (- —. — — еср! — с' ( — Ч вЂ” — А) — ттс'~ ф = О. (176) 1 дг э В отличие от уравнения Шредингера релятивистское волновое уравнение (17.6), так же как и классическое выражение (!7.1), инвариантно относительно преобразований Лоренца, поскольку время и пространственные координаты входят формально в уравнение (17.6) на равных основаниях, н равенство (17.6) может быть записано в релятивистски инвариантной форме (Р1 — Р— тос') ф = О, где В Рг= с ' ' В уравнении (17А) волновая функция ф зависит не только от радиусвектара г, но и ог времени 1. Однано читатель легко может соооразить, зависит ли волновая функция от 1 (аапример, в )равнении стоит производная по времени).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
