Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 35
Текст из файла (страница 35)
д. Сопоставляя друг с другом формулы (!4.35) и (14.33), а также учитывая, что Р,(1) 1, докажем так называемую оптическую 14 Зал: Ввз Ч А С Т Ь Е НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА теорему о = — (! (0) — !' (0)] = — 1гп г'(0), устанавливающую связь между полным эффективным сечением н мнимой частью (1гп) амплитуды ) (д), соответствуюшей рассеянию вперед 0=0. ЗаметиВп что точное выражение для амплитуды рассеяния [см 1!4.33)] переходит в приближенное найденное в борновском приближении (см (14.15)), когда выполняются следующие два условия: 1) 6~<<1, и поэтому для амплитуды рассеяния (14.33) можем написать: )(О) = — ~„(21+1)б~Р~(созд).
о=о (14.35б) 2) для б~ имеет место приближение (12.60), согласно которому бо = — / (т (т) гУр+ А (йт) й'. (14.36) о В самом деле, подставляя (14.36) в равенство (14.35б), находим: 1(О)= — ",' ) г)т(т)йг ~1 — (21+1)Р,(соэб)Лоь. (14.37) о с-о Принимая во внимание далее соотношение — ~~н(21+1)Р~(созб)А+А(нг)= — "" ", (14.38) о=о где о и = 2й яп —, 2 ' амплитуду рассеяния (!4.35б) мо кно привести к виду, найденному в борновском приближении (см. (14.15)) 1(0) = — — — ~ тяп нг)т(т) Й. хл' о (14.39) )го при т<а, 1г = 0 при г) а. (14.
40) * Рассеяние потенциальным барьером. Исследуем рассеяние часзиц сфернческн-симметричным прямоугольным потенциальным барьером, когда потенциальная энергия изменяется по закону: 2!! й !4. Упругое рассепние частии силовым центром г = — >) 2на. 2п и (14.4! ) Прежде всего с помощью приближенной формулы (12.60) найдем фазу 6~ рассеяния в зависимости от й Прн малых значениях йг ()га функцию Бесселя, входящую в (12.60), мы можем представить в виде / аг !'~'ь 1 / 2 (Фг)ы о 20! Аем(йг) = ( 2 ) г(!„з~ 1 = 1/ (2!+ !)! . (14.42) Тогда для фазы 6, находиин (14л!3) где 2таро ага 6,=— и' 3 (! 4.44) Отсюда видно, что основной вклад вносит з-волна (! = О).
Парциальные волны с ! = 1 (р-волна), ! = 2 (с(-волна) и т. д. дают вклад примерно в (Йа)" меньший по сравнению с 6,, и поэтому в первом приближении ими можно вообще пренебречь, Эффективное сечение, которое дает а-волна, согласно (14.35) равно: !В'""о" оп т т в во= Эп (14,45) Оно фактически и определяет полное эффективное сечение. Аналогичный результат мы получим, если вычислим о в борновском приближении с помощью формулы (14.12). Наконец, найдем фазу рассеяния из точных уравнении. При этом мы ограничнаця вычислением фазы для з-волны !1=0), во~оран, как было Этот пример имеет большое методическое значение, так как в принципе он допускает точные решения и позволяет выйти за рамки борновского приближения. Конкретно теория рассеяния потенциальным барьером находит свое применение в ядерной физике. При не слишком высоких энергиях результаты исследования с короткодействующими ядерными силами практически не зависят от формы потенциального барьера и в основном зависят от высоты (т, е.
Рв) и радиусадействия (т. е. расстояния а). Поскольку прямоугольный потенциальный барьер (или потенциальная яма) представляет собой простейшее описание короткодействующих сил, то естественно им и следует аппроксимировать ядерные силы. 11сследуем случай, когда йа (( 1. физически он означает, что деоройлевская длина волны много больше радиуса потенциального барьера 2!2 ч л г т ь ! неоелятивистскхя квхнтовхя меххникх указано выше, дает прн аа« ! основной вклад в эффективное се- чение. Согласно (12.53) для радиальных функций при наличии по- тенциальной энергии (14.40) имеем уравнения: и" + йои = 0 при г > а, и" — х'и=О при г<а, 2то где и =г)го "'= ~,~ Е* 2то(, Е) о (14.46) (14.47) Кроме того, мы введем условие, что $70>Е>0.
(14. 48) Решение уравнений (14.46) можем записать в виде: и = А сбп (йг + Ьо) при г > а, и = В з)! х'г при г< а. (14. 49) Решения выбраны таким образом, чтобы функция и при г- 0 обратилась бы в нуль. Г!риравнивая на границе области г = а волновые функции и их производные, легко сможем найти искомую з-фазу б„= агс(п ! —, Ф х'а) — йа. ! оа (1 1.50) Последнее выражение мы можем упростить при ха»йа()го»Е): ба = /га( — 1), (14.50а) где В случае можно положить ха « 1 (14.
53) — = 1 — — (ха) . шко 1 ха 3 Тогда, подставляя последнее выражение в (14 52), найдем эффективное сечение для ом соответствующее борновсьому приближению (см. (!4.45)1 ха= ~/ „, 'а. (14.51) Подставляя (14 50а) в (14 35а) и учитывая, что при иа« 1 основная вклад дает э-рассеяние, найдем следующее выражение для эффективного сечения (! 4.52) й (4.
Упругое рассеяние частиц силовым центром 11ри на » 1 например ()Уе-ьоо) эффективное сечение (14.52) достигает своего максимального значения и становится равным [см. также (14.16)1 оо = 4пат, (14 54) т. е. эффективное сечение в четыре раза превышает классическое значение, равное площади поперечного сечения, образуемого сферическим потенциальнылч барьером (о„ = паа)'. Выражение (!4.54) пе может быть получено в борновском приближении. Отсюда мы получаем критерий применимости борновского приближения на « 1 или '„,' « 1, который для случая иа « 1 совпадает с соответствующим вырагкениеви полученным нами выше [см (14.28)].
Последние формулы легко обобщить на случай рассеяния прямоугольной потенциальной сферически-симметрнчной ямой. В этом случае в формуле (1440) следует сделать замену )гз — — Ро. Если производить вычислении в борновском приближении, то мы получим результат (14.45), поскольку квадрат (Уо при такой замене остается без изменения. Если производить расчет при больших значениях )га, то при изменении знака у уа мы должны в формуле (14 50) сделагь замену и — (х. Тогда для определения нулевой фазы вместо (14.50) находим выражение бе = агс(д [ —, !д н а) — Йа, ( йа хо (14.
55) где м = — 2 „,' яз+ Е) = их+ йз. ~ Причина этого на первый взгляд парадоксального результата заключается в точ, что рассеяние следуег у~итывать дважды первый раз непроницаемой сферой (классический результаг), второй раз в теневой облштн, возникающей благодаря тому, что рассеивающая сфера в пучке падаюпсих частиц вырезает цилиндр с основанием па' и нарушает равномерносгь распространения плоской волны Если бы это были частицы, то после прохождения сферы они продоли али бы двигаться равномерно и прямолинейно, оставляя пустым это цилиндрическое пространство. Волны же так распространяться ие могут. Они частично начнут заполнять это пространство (дифранпия), благодаря чему начнет происходить новое их рассеяние.
Это и увеличивает общее выражение для эффективного сечения. хсифракционные явления сохраняют~я н при больших энергиях да Л ! (Х -с О), приводя при учете всех парциальиых составляющих к удвоенному, по сравнению с нласснческим, сваенню рассеания о = 2на'. 214 Ч А С Т Ь Е НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Сопоставляя формулу (!4.55) с формулой (14.50), мы видим, что в области малых значений х'а получим одинаковые значения фаз, а вместе с тем и эффективных сечений. При возрастании !'а (а также х'а) в случае потенциального 1Ь к'а барьера величина, монотонно убывает, в то время как сок'а 1н к'а ответствующая величина в случае потенциальной ямы,, начнет изменяться периодически в пределах от 0 до со.
В частности, я при х'а =-,— фаза обращается в единицу (ба = 1), а для эффек- 2 тивного сечения (14.35), соответствующего з-волне мы получаем резонансное рассеяние ' 4аа' п = — ' а !гав г которое при !та « ! во много раз превышает классическое эффективное сечение. Аналогичные резонансы должны иметь место при рассеянии других гармоник. Однако более детальные вычисления мы здесь опускаем. Основные особенности, которые на этом простом примере были нами установлены в качественном отношении, должны проявляться при рассеянии от потенциалов других короткодействующих сил.
й 15. СТД!(ИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗАтУТЦЕНИЙ И ЕЕ НРОСТЕИШИЕ ПР;(ЛОЖЕНИЯ При рассмотрении теории излучения, а также проблемы рассеяния (см. 4э 10 и Э 14) мы использовали метод теории возмущений для нестационарного случая (развитый Дираком). Этот метод позволяет исследовать вопрос о переходе электрона (под действием возмущающей силы) из одного состояния в дру!'ое. В ряде других задач квантовой механики, когда необходимо найти влияние возмущающей силы на изменение энергетического спектра или на изменение волновой функции при условии, что в основном волновом уравнении можно исключить из рассмотрения время, можно воспользоваться стационарной теорией возму. шений, развитой Шредингером.
' Оно имеет место, когда ы:ергня всей системы (потенциальной ямы и частицы) близка ь энергии первого дискретного уровня частицы в потеици. альной яме. й 1Б. Стапиоиарная теория возмущений н ее простейшие приложения 21о Основные уравнения стационарной теории возмущений. Изло жим метод теории возмущений, применяющийся в случаях стационарных задач, когда гамильтониап системы не зависит от времени.
Пусть гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид; Н = Т+У = Т+ Го+ Р', (15.1) причем здесь энергия возмущения т" « т', а основная часть потенциальной энергии )'о выбрана таким образом, чтобы уравнение Шредингера (Š— Н)зр = 0 (15.2) при отбрасывании возмущения Р'(Р' = 0) имело точное решение, характеризуемое величинами Ео и зйо. Тогда, обозначая Т + Ро= ° = Н' (нулевое приближение) и принимая во внимание (!5.1), приводим (15.2) к виду (Е Но $ )тР=О (15.2 а) Задача заключается в том, чтобы из этого уравнения найти (хотя бы приближенно) как значения энергии Еа, так и соответствующие им волновые функции тро с учетом энергии т'С Согласно теории возмущений решения для Е и зр ищутся в виде рядов фо+,~~+ „1, + Е=Ео+Е'+Ет+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
