Главная » Просмотр файлов » Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика

Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 31

Файл №1185094 Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика.djvu) 31 страницаСоколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094) страница 312020-08-21СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Аналогичным способом монгно определить также средние значенья (г «) (« = 1, 2, 3, 4), которые нам по. надобятся в дальнейшем: азх )" )(.,-«ез,(, о )(а основании приведенных выше фоРмул последкее выражение можно представить а виде (г )=Саг~ ) ( — ) ) Р ( — 1) (Р— й(я+21+1)Р '+ ... о (,), 4(й — 1)(21+я+1)! .. а ! й(2!фа+ П! 2! 121+3)' ! 1214-2)! +( 1)а !21+(»+!И ( »1 ( -р а+згтг)„ (21+ 1)! / ара Полагая в этом выражении соответственно «=1, 2, 3 н 4 и вновь прибегая к теореме о перебросе производной, после несложных выкладок на- ход~!аг: (13.29а) Здесь при вычислении <г-'> мы должны оставить в полиноме Оа~ лишь старший член рх. При вычислении жс <шз>, наоборот, один последний ра Прн вычислении <г-'> — дез последних и т.

д Выраагсния для <г-з> и <» '> получены в предположенви 1фй. Для з-состояний (1 = 0), как правыло, вместо взапмодействчй, пропорциональных подобным членам, появляется коп гактное взаимодействие (см. ниже (19.85)]. ' Легко также показать условие ортсгональности, а вместе с тем н ортопормированности для радиалы|ых функций гзА»я,гй»а! а» = бн,ш а Отсюда, учитывая еше соотношение (1! 68), можно записать условие оргонормированностн для полной волновой функции проблемы Кеплера ф,жа, Ф га, азх = б, ° бгчб . где фагш )~я!У! й «3. теория водородоподобяого атома (проблема кеплера) «вз.

Покажем для примера, как найти нормировочный коэффициент волновой функции «р„« = д«„,у«основного, т. е. наинизшего, энергетического состояния, характеризуемого квантовыми чис- лами 1 = и = А = О. Замечая, что при ! = т = 0 шаровая функция У«согласно (12.4), так же как и полипом 1;)е'+' при й = О, есть величина постоянная, для ф«м в соответствии с (13.26) и.'леем: Хе «р«м« = Се (13. 30) Подставляя сюда явное выражение волновой функции «р«оо и учитывая ее независимость от углов Ю и «р, получаем: юг С'4н) е " г'«(г=1. о (! 3.3!а). 2ег Вводя переменную х = — и принимая во внимание равенство ае (13.29), находим: Это же значение может быть получено из общих формул (13,23) н (11.67), если положить в последних и = 1, ! = 0 и т = О. Поэтому значение волновой функции наинизшего состояния будет определяться соотношением Ъ.

1гм «,а l (13.32) Возможный спектр энергии водородоподобного атома легко может быть найден из формул (13.20) и (13,5): г е„япхе Е = — —, и >ппе о где постоянная Ридберга (13.33) ео«по 4 2 2ЛЗ (13.33а) Заметим, что это выражение для энергии, кстати сказать, полностью совпадающее с соответствующим выражением боровской и, следовательно, условие нормировки принимает вид ) ф' ф, п«ах = ) ф* «р ге««г «(() =1. (!3.31) 184 ч А с т ь ! ИнэелнтиВНГТГКАя квАитовАя мехАникА теории [см, (2.34)], зависиг лишь от главного квантового числа п = ! + й + 1, т. е.

от суммы орбитального ! и радиального й квантовых чисел, и не зависит от магнитного квантового числа нт. В то же самое время волновая функция тр„г =)сщу, зависит от всех трех квантовых чисел н, 1 и пс по отдельности. Следовательно, уровни энерпш, согласно волновой теории Шредингера, оказываются вырожденными, причем кратность вырожденич и силу изменения лт от ( — !) до (+ !) и ! от О до (и — 1) [см. ( ! 3.20) ] будет равна: «-1 1 ч-! ~~ т = ~а (2! + 1) = пз.

1-О ! ч !<ак мы видели в $ !2, вырождение по и характерно для любого центрального силового поля и связано с равноправностью любых различных направлений, проходящих через начало координат. Вырождение же по орбитальному квантовому числу ! имеет м сто в теории Шредингера только в случае чисто куло»овского взаимодействия. Б других же центрально-симметричных системах вырождение по ! отсутствует, т. е. уровень энергии с заданным значением и расщепляется на п подуровней, отвечаюп1их разчичным 1'. Если же система находится еще и в некотором внешнем поле (например, в магнитно 1), снимающем центральную симметрию, то исчезает вырождение и по гн, т. е. энергетический уровень будет состоять в этом с.тучае из и' различных подуровней.

* Исследование вырождения по 1 для кулоиовского поля. С точки зрения формального математическо1о аппарата вырождение по ! связано с наличием в случае кулоиоаского поля еще одного оператора е, мы назовем его вектором эксцентриситета, который является интегралом движения и который не коммутирует с оператором (.а. В классическом приближении этот вектор имеет вид (13.34) (! 3.35) а = е1 + аз, где в, =, [Е)э], еа = —, Е = [гр]. л евщо ' В частности. квк мь1 увпдпч в дальнейшем, даже в атоме водорода уче, релятивистских эффекгов, ооъеыз я.ра или тан называемых вакуумных ноправон снимает вырождение по 1.

Аналогично в спектре щ лочаых металлов, имеющих на последнем слое один электрон, воздействие элентроиов, находящихся во внутренних слочх, снимает вырождение по й й 13. Теорлл аодородолодоблого атома (лроблема Кеплера) 185 Принимая во внимание, что в классическом случае Хео т.

= О Р = леот' = з Г' (13. 36) получаем: ае, 1 1Ег] 2 (~Р! 3' хео~ле глог (13. 37) Точно так же Иел гг' — г 1гг) (Ег) (13.37а) Не де ! с~ее — = — + — = О. ж лз Ф Для выяснения физического смысла вектора е умножим равенсгво (13.34) скалярно на вектор г и, учитывая (13.35), будем иметь: Ет (га) = — е + г. л го"'о Отсюда находим: и л),еое г— (13. 38) 1 — !е, соли ' т.

е. модуль вектора !е! играет роль экснентрнснтета и направ- лен от фокуса по большой оси к наиболее удаленной точке эл- липтической траектории. Абсолютную величину экспентриситета нетрудно найти, возводя равенство 113.34) в квадрат: 2 ( р Ле,,т 2Е'и а'=1+ а, Ле! — — — |=1+ л еол'е 2 ло г г' ~ еьло или 2Е'г" '+ л ео ле (13.39) т. е. при Е ( О мы будем иметь эллиптические орбиты (в ( 1), при Е > Π— гиперболические (е > !), а прн Е = Π— параболические (е = ! ) . Квантовое обобщение вектора экспентриситета е мы выберем в виде оператора (13.40) е=е,+а,, где а,= „, (((.р)-!р~!), 1 г 22еол о г (13.

1!) Отсюда находим закон сохранения для вектора эксцентриситета: Покажем, что в кулоновском поле, когда гамильтониан Н имеет вид яг ЛЕО Н=— (13.42) 2та оператор вектора эксцентриситета В сохраняется. В самом деле, учитывая изменение квантовых величин (13.43) ,иля которых имеют место по существу классические законы (см. (!3.36)), мы найдем: (13.44) Точно так же находим: или ЛВ2 ! /! г В/) — ' = — ! — р — — (кр) — — —,!. ж м0 ! г ы ~ ы ~' (13.46) Из (13.44) и (13.46) следует квантовый закон сохранения для оператора гн — = о. (13.

41) Однако оператор экспентриситета не коммутирует с квадратом орбигального момента. Действительно, взяв проекцию этогоопера~ора на ось г (1 р )-р р(-„+р( )+ —,, 2~Комо (13. 46) (13.49) й 1. — Е1. = — — В кт т д ~ .с 1.,е, — е„1., = О.

!За Ч Л С Т Ь [ НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !. = —,(Н(. — !.Н) = 6, ! ( Ле;, Кеэ ~ Ееэг р= — (нр — рн)= — !р — — — р)= =й 1 з Раскрывая последнее выра>кение, получаем: ле, 1!! а г! — '= — — ! — р — —,(гр) — —.— !. г 1 э з)' нетр;дпо получить следующие правила коммутации: а 1 „е, — е,( „ = — е, (13.50) (13.51) й 13. Теория водородоподобногп атома (проблема Кеплера) 187 Отсюда, в частности, следует, что оператор е„хотя и коммутирует с гамильтонианом Н и проекцией момента 1„но он не коммутирует с оператором ) з> 257,, +Г> ) ((3.52) что автоматически ведет к вырождению по й являющемуся специ- фической особенностью лишь для кулоновского поля, поскольку для других центральных сил мы не можем ввести сохраняющий- ся оператор е.

ф, (Е) = ~чр~ С ф (Е). > Из последнего соотношения следует, что система должна быть вырождена по !. В связи с этим напомним, что вырожленяе по квантовому числу т, свойственное для любых центральных снл (см. й !2], было связано также с наличием оператора Е >Ь>Е>, который коммутвровал с гамнльтонианом Н и 1.>, но не коммутировал с опсратороч ьь имеющим собственное значенк> лт (более подробно см. 8 12 формулу (!2.37)1 Заметим, что проблему Кеплера наряду со сферическими координа>амн, когда сохраняются операторы Н, 1.', ь, (квантовые числа и, 1, ш), мы но>не» решать также в параболических координатах, когда сохраняются операторы Н, е., 1., (квантовые числа и, в, т).

Физически это означает, что при одной и той же энергии возможны различные орбиты, отличающиеся друг от друга различными значениями эксцентриситета е. Для определения эксцентриситета возведем равенство (!3.40) в квадрат. Тогда мы будем иметь >: е' = 1 + а, (!.'+ I>з) Н, 2 3 еошо ((3.53) где Н вЂ” гамильтониан системы [см. ()3.42)1 ' >зля >ого ч>обы доказать соо>ношение (13.53), мы можем оператор, (13.40) представить в виде ! г 2 Ееооя>е г Примечание. Заметим, что наличие двух операторов е, и (,>, коммутнрую>цих с Н, должно дать при одной н тои же энергии Е два решения для волновой функции: фх(Е), ф (Е), где 6>Х и 6'1(1+1) являются соответственно собственными значениями операторов е, и Ез. С одной стороны, эти решен>и не.

могут совпадать друг с другом, так как операторы е, н (.> не коммутпруюг между собой, а с лругой — любое решение, соответствуюшее заданному значению Е, может быть представлено как сумма частных решений, т. е. !33 ч а г. ть 1 нерелятивистскчя квантовая механика Учитывая, что для водородоподобного атома собственные значения операторов !4 и 1.' соответственно равны (13.54) л!ы найдем' (13.55) Отсюда видно, что экспентрпситет достигает минимального значения при ! = и — ! е,„п = ')Г (13.56) и при классическом сопоставлении соответствует круговым орбитам В частности, при и = ! (наинизшее энергетическое состояние) экспентриситет е обращается в нуль (е = 0).

Поскольку в этом случае орбитальный мапгитный момент не дает преимущественного направления (заметим, что в з-состоянии ! = пт =О), поэтому мы по существу будем иметь равновероятное пребывание электрона па сфере. Для всех других состояний (и = = 2, 3, 4, ...) минимальное значение для е будет отлично от нуля при ! =и — 1 = 1, 2, 3, ...). В этом случае мы будем иметь преиы)гпсственную ориентапию орбиты внутри некоторого телесного угла, характеризуемого квантовым числом пт.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
12,45 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее