Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Аналогичным способом монгно определить также средние значенья (г «) (« = 1, 2, 3, 4), которые нам по. надобятся в дальнейшем: азх )" )(.,-«ез,(, о )(а основании приведенных выше фоРмул последкее выражение можно представить а виде (г )=Саг~ ) ( — ) ) Р ( — 1) (Р— й(я+21+1)Р '+ ... о (,), 4(й — 1)(21+я+1)! .. а ! й(2!фа+ П! 2! 121+3)' ! 1214-2)! +( 1)а !21+(»+!И ( »1 ( -р а+згтг)„ (21+ 1)! / ара Полагая в этом выражении соответственно «=1, 2, 3 н 4 и вновь прибегая к теореме о перебросе производной, после несложных выкладок на- ход~!аг: (13.29а) Здесь при вычислении <г-'> мы должны оставить в полиноме Оа~ лишь старший член рх. При вычислении жс <шз>, наоборот, один последний ра Прн вычислении <г-'> — дез последних и т.
д Выраагсния для <г-з> и <» '> получены в предположенви 1фй. Для з-состояний (1 = 0), как правыло, вместо взапмодействчй, пропорциональных подобным членам, появляется коп гактное взаимодействие (см. ниже (19.85)]. ' Легко также показать условие ортсгональности, а вместе с тем н ортопормированности для радиалы|ых функций гзА»я,гй»а! а» = бн,ш а Отсюда, учитывая еше соотношение (1! 68), можно записать условие оргонормированностн для полной волновой функции проблемы Кеплера ф,жа, Ф га, азх = б, ° бгчб . где фагш )~я!У! й «3. теория водородоподобяого атома (проблема кеплера) «вз.
Покажем для примера, как найти нормировочный коэффициент волновой функции «р„« = д«„,у«основного, т. е. наинизшего, энергетического состояния, характеризуемого квантовыми чис- лами 1 = и = А = О. Замечая, что при ! = т = 0 шаровая функция У«согласно (12.4), так же как и полипом 1;)е'+' при й = О, есть величина постоянная, для ф«м в соответствии с (13.26) и.'леем: Хе «р«м« = Се (13. 30) Подставляя сюда явное выражение волновой функции «р«оо и учитывая ее независимость от углов Ю и «р, получаем: юг С'4н) е " г'«(г=1. о (! 3.3!а). 2ег Вводя переменную х = — и принимая во внимание равенство ае (13.29), находим: Это же значение может быть получено из общих формул (13,23) н (11.67), если положить в последних и = 1, ! = 0 и т = О. Поэтому значение волновой функции наинизшего состояния будет определяться соотношением Ъ.
1гм «,а l (13.32) Возможный спектр энергии водородоподобного атома легко может быть найден из формул (13.20) и (13,5): г е„япхе Е = — —, и >ппе о где постоянная Ридберга (13.33) ео«по 4 2 2ЛЗ (13.33а) Заметим, что это выражение для энергии, кстати сказать, полностью совпадающее с соответствующим выражением боровской и, следовательно, условие нормировки принимает вид ) ф' ф, п«ах = ) ф* «р ге««г «(() =1. (!3.31) 184 ч А с т ь ! ИнэелнтиВНГТГКАя квАитовАя мехАникА теории [см, (2.34)], зависиг лишь от главного квантового числа п = ! + й + 1, т. е.
от суммы орбитального ! и радиального й квантовых чисел, и не зависит от магнитного квантового числа нт. В то же самое время волновая функция тр„г =)сщу, зависит от всех трех квантовых чисел н, 1 и пс по отдельности. Следовательно, уровни энерпш, согласно волновой теории Шредингера, оказываются вырожденными, причем кратность вырожденич и силу изменения лт от ( — !) до (+ !) и ! от О до (и — 1) [см. ( ! 3.20) ] будет равна: «-1 1 ч-! ~~ т = ~а (2! + 1) = пз.
1-О ! ч !<ак мы видели в $ !2, вырождение по и характерно для любого центрального силового поля и связано с равноправностью любых различных направлений, проходящих через начало координат. Вырождение же по орбитальному квантовому числу ! имеет м сто в теории Шредингера только в случае чисто куло»овского взаимодействия. Б других же центрально-симметричных системах вырождение по ! отсутствует, т. е. уровень энергии с заданным значением и расщепляется на п подуровней, отвечаюп1их разчичным 1'. Если же система находится еще и в некотором внешнем поле (например, в магнитно 1), снимающем центральную симметрию, то исчезает вырождение и по гн, т. е. энергетический уровень будет состоять в этом с.тучае из и' различных подуровней.
* Исследование вырождения по 1 для кулоиовского поля. С точки зрения формального математическо1о аппарата вырождение по ! связано с наличием в случае кулоиоаского поля еще одного оператора е, мы назовем его вектором эксцентриситета, который является интегралом движения и который не коммутирует с оператором (.а. В классическом приближении этот вектор имеет вид (13.34) (! 3.35) а = е1 + аз, где в, =, [Е)э], еа = —, Е = [гр]. л евщо ' В частности. квк мь1 увпдпч в дальнейшем, даже в атоме водорода уче, релятивистских эффекгов, ооъеыз я.ра или тан называемых вакуумных ноправон снимает вырождение по 1.
Аналогично в спектре щ лочаых металлов, имеющих на последнем слое один электрон, воздействие элентроиов, находящихся во внутренних слочх, снимает вырождение по й й 13. Теорлл аодородолодоблого атома (лроблема Кеплера) 185 Принимая во внимание, что в классическом случае Хео т.
= О Р = леот' = з Г' (13. 36) получаем: ае, 1 1Ег] 2 (~Р! 3' хео~ле глог (13. 37) Точно так же Иел гг' — г 1гг) (Ег) (13.37а) Не де ! с~ее — = — + — = О. ж лз Ф Для выяснения физического смысла вектора е умножим равенсгво (13.34) скалярно на вектор г и, учитывая (13.35), будем иметь: Ет (га) = — е + г. л го"'о Отсюда находим: и л),еое г— (13. 38) 1 — !е, соли ' т.
е. модуль вектора !е! играет роль экснентрнснтета и направ- лен от фокуса по большой оси к наиболее удаленной точке эл- липтической траектории. Абсолютную величину экспентриситета нетрудно найти, возводя равенство 113.34) в квадрат: 2 ( р Ле,,т 2Е'и а'=1+ а, Ле! — — — |=1+ л еол'е 2 ло г г' ~ еьло или 2Е'г" '+ л ео ле (13.39) т. е. при Е ( О мы будем иметь эллиптические орбиты (в ( 1), при Е > Π— гиперболические (е > !), а прн Е = Π— параболические (е = ! ) . Квантовое обобщение вектора экспентриситета е мы выберем в виде оператора (13.40) е=е,+а,, где а,= „, (((.р)-!р~!), 1 г 22еол о г (13.
1!) Отсюда находим закон сохранения для вектора эксцентриситета: Покажем, что в кулоновском поле, когда гамильтониан Н имеет вид яг ЛЕО Н=— (13.42) 2та оператор вектора эксцентриситета В сохраняется. В самом деле, учитывая изменение квантовых величин (13.43) ,иля которых имеют место по существу классические законы (см. (!3.36)), мы найдем: (13.44) Точно так же находим: или ЛВ2 ! /! г В/) — ' = — ! — р — — (кр) — — —,!. ж м0 ! г ы ~ ы ~' (13.46) Из (13.44) и (13.46) следует квантовый закон сохранения для оператора гн — = о. (13.
41) Однако оператор экспентриситета не коммутирует с квадратом орбигального момента. Действительно, взяв проекцию этогоопера~ора на ось г (1 р )-р р(-„+р( )+ —,, 2~Комо (13. 46) (13.49) й 1. — Е1. = — — В кт т д ~ .с 1.,е, — е„1., = О.
!За Ч Л С Т Ь [ НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !. = —,(Н(. — !.Н) = 6, ! ( Ле;, Кеэ ~ Ееэг р= — (нр — рн)= — !р — — — р)= =й 1 з Раскрывая последнее выра>кение, получаем: ле, 1!! а г! — '= — — ! — р — —,(гр) — —.— !. г 1 э з)' нетр;дпо получить следующие правила коммутации: а 1 „е, — е,( „ = — е, (13.50) (13.51) й 13. Теория водородоподобногп атома (проблема Кеплера) 187 Отсюда, в частности, следует, что оператор е„хотя и коммутирует с гамильтонианом Н и проекцией момента 1„но он не коммутирует с оператором ) з> 257,, +Г> ) ((3.52) что автоматически ведет к вырождению по й являющемуся специ- фической особенностью лишь для кулоновского поля, поскольку для других центральных сил мы не можем ввести сохраняющий- ся оператор е.
ф, (Е) = ~чр~ С ф (Е). > Из последнего соотношения следует, что система должна быть вырождена по !. В связи с этим напомним, что вырожленяе по квантовому числу т, свойственное для любых центральных снл (см. й !2], было связано также с наличием оператора Е >Ь>Е>, который коммутвровал с гамнльтонианом Н и 1.>, но не коммутировал с опсратороч ьь имеющим собственное значенк> лт (более подробно см. 8 12 формулу (!2.37)1 Заметим, что проблему Кеплера наряду со сферическими координа>амн, когда сохраняются операторы Н, 1.', ь, (квантовые числа и, 1, ш), мы но>не» решать также в параболических координатах, когда сохраняются операторы Н, е., 1., (квантовые числа и, в, т).
Физически это означает, что при одной и той же энергии возможны различные орбиты, отличающиеся друг от друга различными значениями эксцентриситета е. Для определения эксцентриситета возведем равенство (!3.40) в квадрат. Тогда мы будем иметь >: е' = 1 + а, (!.'+ I>з) Н, 2 3 еошо ((3.53) где Н вЂ” гамильтониан системы [см. ()3.42)1 ' >зля >ого ч>обы доказать соо>ношение (13.53), мы можем оператор, (13.40) представить в виде ! г 2 Ееооя>е г Примечание. Заметим, что наличие двух операторов е, и (,>, коммутнрую>цих с Н, должно дать при одной н тои же энергии Е два решения для волновой функции: фх(Е), ф (Е), где 6>Х и 6'1(1+1) являются соответственно собственными значениями операторов е, и Ез. С одной стороны, эти решен>и не.
могут совпадать друг с другом, так как операторы е, н (.> не коммутпруюг между собой, а с лругой — любое решение, соответствуюшее заданному значению Е, может быть представлено как сумма частных решений, т. е. !33 ч а г. ть 1 нерелятивистскчя квантовая механика Учитывая, что для водородоподобного атома собственные значения операторов !4 и 1.' соответственно равны (13.54) л!ы найдем' (13.55) Отсюда видно, что экспентрпситет достигает минимального значения при ! = и — ! е,„п = ')Г (13.56) и при классическом сопоставлении соответствует круговым орбитам В частности, при и = ! (наинизшее энергетическое состояние) экспентриситет е обращается в нуль (е = 0).
Поскольку в этом случае орбитальный мапгитный момент не дает преимущественного направления (заметим, что в з-состоянии ! = пт =О), поэтому мы по существу будем иметь равновероятное пребывание электрона па сфере. Для всех других состояний (и = = 2, 3, 4, ...) минимальное значение для е будет отлично от нуля при ! =и — 1 = 1, 2, 3, ...). В этом случае мы будем иметь преиы)гпсственную ориентапию орбиты внутри некоторого телесного угла, характеризуемого квантовым числом пт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
