Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Задача о ротаторе является частным случаем движения под действием центральных снл, когда потенциальная энергия постоянна. Не нарушая общности, эту постоянную величину мы можем положить равной нулю Г(а) = О. Тогда полная энергия равна его кинетической энергии н>,а'ф' и 2 а для обобщенного импульса имеем: дГ р,= — = и>оа <р 2 т йч Производя квантование по Бору, необходимо положить Р„= Ляа, где п =О, 1, 2, 3, 4, ...
— квантовое число. Тогда для энергии по Бору находим: инй2 .,7 и где 7= и>иа2 — момент инерции. й 12. Ротатор 1аа Ротатор представляет собой простейшу1о модель вращательного движения. В частности, модель ротатора с успехом используется для описания движения двухатомных молекул ', а также для описания вращательного движения ядер. Кваитовомехаиическое рассмотрение. Поскольку задача о ро. тагоре является задачей на центральные силы, угловая часть описывается шаровыми функциями, а для определения радиальной функции согласно (11.21) имеем: (!2 !) Здесь мы положили потенциальную энергию равной нулю и подставили согласно (1!.51) 1=1(1+!).
Поскольку для ротагора г=а=сопз1, функция Л(г) =1т(а) =сопч1, т. е, Чт)г(а) =О. Отсюда для энергии Е, найдем значение лэ( (1+ 1) 1гч (1-1- 1) 2лэ от (! 2.2) ' В этом случае момент инерции слелует положить равным т 2 У тйг, + ~нага, тле т, и глт — массы атомов, а г, и гт — нх расстоянии ло центра инерции 11' Согласно (!2.2) энергия ротатора Е~ зависит только от орбитального квантового числа 1, магнитное же квантовое число, характеризующее проекцию момента Л на ось г (т. е. ориентацию момента в пространстве), в выражение для Е, не в~одит.
Однако соответствующие собственному значению Е, собственные функции г1 [см. (!1.67)! зависят еще и от ль Поско-ьку лт мол ст изменяться от — 1 до +1 (см. (! !.63)], каждому значению энергии Е~ будет соответствовать (21+ 1) взаимно ортогональных собственных функций, описывающих состояния ротатора, отлича1ощиеся лишь ориентацией момента Е относительно оси г.
В этом случае говорят, что уровень энергии Е, является (21+ !)-кратно вырожденным. При 1 = О мы имеем однократно вырожденный уровень, который называют просто невы рожденным. Вообще состояние системы (или данный уровень) называют Л'-кратно вырожденным, если одному и тому же собственному значению энергии соответствует М линейно независив ых а и яю Фунты. " Вырождение энергетических уровней ротатора физически связано с тем обстоятельством, что ротатор представляет собой си- !64 Ч А СТЬ ! НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА стему, обладающую центральной симметрией, вследствие которой асе напвавлеиия, проходящие через начало координат, оказываются эавноценными. Из этих же соображений следует, что это вырождение должно иметь место для любых центральпосимметричных систем.
Если же существует какое-то выделенное направление, определяемое, например, направлением магнитного поля, то центральная симметрия нарушается и возможные направления для момента 1, становятся уже неравнозначными, благодаря чему вырождение либо снимается полностью, либо кратность его уменьшается. Состояние, соответствующее 1=0, называют з-состоянием, с 1= ! Называют р-состоянием. Для Н-состояния 1=2. Для 1-состояния 1=3.
Для д-состояния 1=4 и т. д. Рассмотрим более подробно з- и р-состояния ротатора. Поскольку в з-состоянии 1=т =О, согласно (!!.67) собственная функция Уо, соответствующая нулевому собственному значению энергии Ел=О, будет равна: о ! Уо= У 4н (!2.3) Отсюда для плотности вероятности ~у,'!' найдем: ) У~Г= —,'„. (12. 4) (! 2.6) Плотности вероятности определяются при этом фбр)нулами: 1Г' !' = ! У2 !' = 3 !по б, (! 2.8) ~ ),о!л 3 созе О.
(!ч О) Величина ~ У~ !Ез!и ба!д шр представляет собой вероятность обнаружить частицу на сфере постоянного радиуса в области углов гр и о+Йу, О н б+Ю. Поскольку квадрат модуля ~ У~ ~ не В р-состоянии 1= 1, а квантовое число т может принимать трй значения — 1, О, + !. Следовательно, собственному значению ьо энергии Е, = — соответствуют три собственные функции: 1 7 У~ = — 1/ 3 е-ы з!пб, ()) 2".5) о / 3 У~ = )/ — соз и, 4л У~ = 1/ — е т з!пд. ! /'3 (! 2.7) Л/ зн $12.
Ротатор ) аута /) ~уг Фиг. !2Л. Распределение плотности вероятности для ротатора. зависит от угла р, вероятность обнаружить частнпу в одном и том же интервале углов спр становится одинаковой. В силу этого произведение ( Уг !' 2н з1п 6 Ю соответствует плотности вероятности обнаружить частипу между углами 6 и 6+Ю. Графически распределение плотности вероятности (12.4), 112.8) и 112.9) представлены на фиг. !2.1, причем, учитывая независимость модуля ~ У~ ~ от угла ~р, изображение дано только в плоскости уг. Чтобы получить полную картину, график нужно вращать вокруг оси г. Как видно из !12.4) и фиг. 12.1,а, направление момента С относительно оси г для ротатора в а-состоянии не зависит от угла 6. Это и понятно, так как момент )-т=йт1(1+!) в этом слу- чае равен нулю.
Покоящаяся же материальная точка может с равной вероятностью надодпться в любом месте сферической поверхности радиуса а, т. е. все положения рогатора возможны и равноправны. Классического аналога а-состояние не имеет. Из !! 2.8) и фиг. 12.1, б следует, что наиболее вероятной из всея траекторий ротзтора в р состоянии с 1=1 и гл= л ! является та, ьоторая расположена з плоскости 1ху), прн;ем состояния с тп=! и с гп= — 1 отличаются одно от другого направлением оси твв ч А с т ь г непелятнВнстскАя кВАнтоВАя мехАникА вращения: при т=1 ротатор обладает правым вращением (момент количества движения (.
параллелен оси г), а при нг= — !в левым (момент А антипараллелен оси г). При 1=1 и т=О наиболее вероятной орбитой ротатора является та орбита, которая лежит в плоскости, проходящей через ось г [см. (12.9) и фиг. 12.1, е). При этом момент направлен перпендикулярно осн г. Аналогичным способом легко исследовать состояния с 1=2 (пять значений пг=О, ч-1, "=2), с 1=3 и т. д, (12.10) Если при каком-либо изменении квантовых чисел матричный элемент равен нулю, то такие переходы запрещены (излучения не будет) '.
Зная привила отбора, можно сразу найти как частоту, так и интенсивность излучения [см. (9.8б)[. Введем в (!2.10) вместо координат х, у и г (т. е. вместо т) слсдующие переменные: (12.11) (12.12) (12.13) г=асозб, Е = х + гу = а яп бе'е, т! = х — гу = а з)п б е-"т. С физической точки зрения это эквивалентно разложению движения ротатора на три части: на колебание вдоль оси г,описываемое составляющей г, а также на лежащие в плоскости ху правое и левое вращения.
характеризуемые соответственно составляющими $ и тб при этом в совокупности все три составляю щне должны описывать полное движение материальной точки по сфере. Определение правил отбора в новых переменных сведется к вычислению следующих матричных элементов: (г), =).(Уг, ) созбУ, ЕЮ, (е),„, = ~ (Уг, ) япбе'ЕУ> гЮ, (т)),„м = ~(У>, )*з!и бе 'ТУ,"г(ег, (12.14) (12. ! 5) (12.16) где ради простоты мы положили а=).
' Точнее, длн аьпрепгеннмх переколов во.можно менее вероптное мульти вольное гнапрнмер, нвалр>вольное) налученпе (см. Ь !О> Правила отбора. Для того чтобы найти правила отбора, необходимо вычислить матричные элементы !87 $ 12. Ротатор Ъ читывая рекуррентные соотношения между шаровыми функциями: соа()У! = АУ! !+ ВУ! !, (12.17) вбнде ""У! =А У!е +В У!-7 . (12.18) а также условие ортонормированностн для шаровых функций (11.68), имеем (г)!'" =Ьтт(АЬ! ге! -1-Вбг !-!) (9), =б,», +!(А+б! !э!+ В+б! ! !), (т))~~' = б»ч г-! (А-бг, г+! + В-Ьл ! — !).
(12. 18) (12.20) (12.21) (2!)! з ( ~ т (! — гл)(! — т — 1) ! т т ) 2! !! (! — т)! 1 2 (2! — !) Тогда, сократая все равенство на е (1 — л ) и приравнивая в левых и правых частях коэффициенты при хз +' и х' ' (приравнивание козффипиентов при остальных степенях х ничего нового не лает), получаем: /(1-1-1 — т) (!+! + т) (2! + 1) (2!+ 3) / (1+ т) (! — т) У (2!+!)(2! — 1) ' Аналогичным путем находим: (12.!7а) А (),т) (!2 !8а) В (1, т)-ж Из этих формул легко найти численные значения для отличных от нуля матричных элементов (а=1)! / 1!+!)х — тз (2! + 3)(2! + 1) (12ляа) г-з, т "— т' 12! + 1)(2! — !) (» ,е)ьь ь * ' / " + т т)(! — ) (2! + 3) (2! + !) (х т !у)! „!-1, »;э ! (! ~ т) (! — ! ж т) (2! .г !) (2! — 1) 112.20а) Примечание Коэффициенты А и В могут быть найдены сравнителько просто. х(ля этого в формулу (12,17) следует подставить разложения (1187), положив в иих: 166 часть т ньвелятнвистскля квантовая механика Лпт =т — т'=О, Л1= ! — !'= гс 1 (12.22) б) соответствующие правому вращению: (! 2.23) Лт= — 1, Л1=-~-1 в) соответствующие левому вращению: (12 24) Лт = + 1, !л! = -~- 1.
Таним образом, разрешенными будут только те переходы, длн которых излзснепия магнитного квантового числа т и орбитального квантового числа ! равны !лт = О, .+. 1, (12 25) Л1= ь1. (12 26) Заметим, что зти же правила отбора для квантовых нсел т и ! имеют лзссто для любых центрально-симметричных си.тем и, в частности, для атома водорода. Зная правила отбора, найдем для ротатора возможные частоты излучения (или поглощения) Ес — ЕР нти = 2пчат = Л (12.27) Подставляя сюда выражение для энергии Е~ [см.
(1221] и учитывая, что в данном случае момент инерции ротатора остается неизменным, формулу (1227) можно привести к виду 2' 12.28) Отсюда на основании (12.26) получаем: Л гик~ ~ = — 1, У (12. 29) Ь «то аж = — ! (!+ 1)а (12.30) пРичем в последних двьл равенствах мы должны всюду взи ь нли только верлние или только нижние знаки Отсюда получаем следующие правила отбора: а) соответствующие колебаниям вдоль оси гт $ !2 Ротатор 169 причем частота о>с,о вЂ~ соответ- Е Ф ствует переходу с верхнего энергетического уровня на нижний "ооз = ооооа (т. е. сверху вниз), а голо ь наоборот, снизу вверх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
