Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 30
Текст из файла (страница 30)
о Верхний предел интегрирования в правой части для короткодействующего потенциала мы имеем право распространить до бесконечности и при малых значениях 6~-з!п6~ ограничиться лишь линейными членами относительно е'. В правой части последнего равенства в фтпкции и' мы вообще можем пренебречь )т, т. е. положить и'=и. Тогда, подставляя в правую часть равенства выражение (!2.41) и полагая С~=й [см.
(12.56)], получаем: 6,= — ',' ~ )тгу(е ~ (йг) е(г. (12.60) о Формулы (12.58) и (!2.60) и определяют асимптотическое поведение радиальной части волновой функции при малых значениях 6~ (6!<<1). й 1З„ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПО'ДОБНОГО АТОМА (проблема Кеплера) Исследование движения одного электрона в кулоновском поле ядра (водородоподобный атом) с помощью квантовой механики открывает путь к изучению структуры атома вообще. Эта теория представляет собой в математическом отношении квантовое обобщение классической теории двяжения планеты вокруг Солнца (проблема Кеплера).
Она интересна еще и в методическом отношении, так как наряду с задачей гармонического оспиллятора и ротатора допускает точные решения. Собственные функции и собственные значения энергии. Энергия взаимодействия электрона с ядром равна: иео т 1ТВ Ч А С Т Ъ 1 НГРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА где г — расстояние между ними, Л вЂ” порядковый номер атома (для водорода 2= 1, для гелия #=2 и т. д.), а заряд электрона и заряд ядра равны соответственно — ео и Ееа.
Во многих задачах ядро в атоме можно считать покояшимся ', куда естественно поместить и начало координат. Тогда угловую часть уг волновой функции ф можно считать известной (см. (1!.67)), а для нахождения уровней энергии н радиальной части гг(г) воспользоваться уравнением (!1.21), которое внашем случае принимает вид 2>пэ 1 Ее~ 321 (1+ 1) 1 2тэг' (13.2) Введем эффективную потенциальную энергию электрона 2: Хе~о й 1(1-1- 1) г 2ги г' (1 З.З) 2тэг' первый член которой обусловлен кулоновским взаимодействием, а второй — центробежными силами. Графически Уаеф представлена на фиг. 13.!. Из этого графика, в частности, следует, что если полная энергия электрона отрицате.чьна Е(0, то его движение будет происходить в области, ограниченной с обеих сторон потенциальными барьерами (классический аналог — эллиптические орбиты), благодаря чему энергетический спектр должен иметь дискретный характер. также (11.70)! (13,3а) Учитывая, далее, что для центральных сил р сопз1, можем написаты т Ее„ )эфф + 2 э Для того чтобы обобщить это выражение на квантовый случай, следует вместо рт подстави>ь его квантовое значение р = 821(1+1).
То>но так ке 2 2 Ф 1 1й в формуле (13.2) выра>кение,— 1 — Тг> мо>ьно согласно класснгеско6. Те2и>э'> г / р,. ории трактовать как — — ' 2п>э ' Стрзго говоря, неподвижныэ> может оставаться только центр тяжести системы Однзто, учитывая, что масса самого легкого атома водорода примерно в 1340 раз тяжелее электрона, центр тяжести должен лежать от ядра на расстоянии в 1840 раз меньшем, чем от электрона, т. е. в первом приближении можяо считать, что оп совцадает с положением ядра, куда мы и помешаем начало координат. Поправки, которые вносит учет движения ядра, мы рассмотрим в конце этого параграфа ' Попытаемся дать интерпретацию выражения (!3 3) с точки зрения классической теории.
Будем исходить из классичесного соотношения [см. й )3. Теорию аодородоподобиого атома (проблема Кеплера) )77 ~мости аффекергии (сплош- я: +!) 2 аз.га хоа аол- При Е>0 барьер справа (г- оо) будет отсутствовать и по. ложение электрона со стороны больших г становится неограниченным (классический аналог — гиперболические орбиты).
Так как в атоме положение электрона должно быть ограниченным некоторым значением г.,„; (эллиптические орбиты), то при построении теории атома следует считать Е(0. Тогда уравнение (13.2) принимает вид г(та г г(г — + — — +( — '1+ — — 2 ) В=0, лай 2 гИ г' 2В г((ж !)) г (13 А) где телла а 2теЕ ,,— - =В>0 и — —,, = А>0.
(13.3) Вводя новую перемеяную р= 2 Т'А г, (13. 6) !2 Заа а-В получаем уравнение: Вм+ — )('+ ! — — + 2, г 1 В (((+!) ! 1 В = 0, (13.7) р 4 )лр р' где Г = (Й(/г(р). Исходя из графика для )г,фф, можно судить об общем характере решения. Ясно, что внутри ямы г„аа(г<г, „,„оно бу,!ет иметь колебательный характер, а вне ее (г- 0 и г оо) 178 Ч А С Т Ь 1. НЕРЕЛЯТИВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА возникнут как неограниченно возрастающие, так и убывающе.
решения. Необходимо подобрать такие условия, которые позволят исключить неограниченно возрастающие решения. Это требование так же, как и в задаче гармонического осциллятора, должно привести к нахождению дискретных уровней энергии электрона. Поскольку яма не обладает симметрией, асимптотические решения будем искать по отдельности, как при р О, так и при р — ~ оо.
Асимптотическое решение при р- о можно найти согласно (13.7) из уравнения ч ! Р— — Р =О, 4 (13.8) т. е. Р = Сит '~'о + С емо. (13.9) Чтобы исключить эксповенциально возрастающее решение, следует положить СЕ=О. Коэффициент же С~ может быть включен в общий нормировочный множитель волновой фуниции, и поэтому его можно приравнять единице. Тогда Р =е-чо (13.10) Для определения асимптотнческого решения при р- О на основании (13.7) будем иметь уравнение': р р (13.11) откуда, полагая Р,=рч, находим: д(д+1) — 1(1+1) =О, т.
е. д,=1, д,= — (1+1). Следовательно, Р,= С!й!+ Сяр-1-!. Полагая Ст — — О (при этом неограниченно возрастающее решение при р=О исключается), а С~=1, получаем: Рг=р'. (13. ) 3) Общее решение уравнения (13.7), которое можно также записать в виде + + —, рР О, перв Г ! В г(!+ !) ) (13.7а) Нр' ( 4 р)'А рэ выберем в форме Р=Р Ром.
(13.14) ! в ') При р -ьо члены — — и по порядку будут много меньше члена 4 УАр г!)+ !) , и поэтому могут быть отброшены. р' 13. теорие водородоподобпого атома (проблема кеплера) 179 В атом случае р)7 = рс ы е-'сопи = ои, (13.15) н для определения неизвестной функции и получаем уравнение и" + 2и' +! -1-= ~и =О. (13.16) и ! и 4 р)~А рт Замечая, что согласно (!3.!5) !по = — — р+(1+ 1)1п р, ! находила о' 1 С+! 1, !+1! — =()по)'= — — +, т. е. о'=( — — + — ') о. о 2 р ' ' ' (, 2 р ) Далее имеем: 1+1 С ! С+ ! 1е и- ! С+1 1(С+ !) оп= — —, о+( — — + — с о, а — = — — — + рт ! 2 р 1 ' и 4 р ,г Пользуясь найденными формулами, преобразуем !13.16) к виду г в рсс" +(2(1+1) — р)и'+! —,— ! — 1~и=О.
(13,!7) ! )сА Чтобы характер решения для Й в нуле и па бесконечности определяс!ся асимптотнческими формула ми (! 3.10) и (13. ! 3), необходимо найти усчовия, при которых функция и будет представлять собой некоторый конечный полипом степени )с без отри. цательных степ пей: и = ~~ а,р'. т=о (!3.!8) Р' ~ ит (= — ! 1 — о) + и~е с [м (У + 1) + 2 (т + 1) (1 -1- 1Н ~ = О. А в=в (13. 19) Отсюда, учитывая, что а„е, = О и ае чь О, получзем: = =й+1+ 1 = п. В УА (13.20) Здесь квантовое число и, на единицу больше суммы орбитального 1=0,1,2,3, ... и радиального с! = О, 1, 2, 3, ...
(1:!.21) 12' Подставляя (13.!8) в (13.!7) и группируя члены с одннако. выми степенями р, будем иметь: 180 ч л с т ь ! нвввлятивистскля квантовая мвхлвикл квантовых чисел, получило название г л а в н о г о к в а н т о в о ! о ч и с л а п. Оно может принимать значения п=1,2,3, .... (13.22) Принимая во внимание равенство (13.20), для определения неизвестных коэффициентов ае ряда (13.18) согласно (13.19) получаем рекуррентное соотношение; а,(й — т) = — а.э!(т+!) (и+2!+2). (13.23) Полагая в (13.18) коэффициент при старшей степени аз= ( — 1)" и вычисляя с помощью (13.23) все остальные коэффициенты, для функции и находим выражение: ь ! э й (й ж э) а ! " (" — 1) (й + з) (й + з — 1) э э !1 ( — !) гр ! ', (13.24) !!(й — !)!(й+ -!)! ' !=о где к=2!+1. Ряд (13.24) называется обобщенным полиномом Ла!ерра Яь(р) порядка Й и может быть представлен также в замкнутой форме '.
и = Яь(р) = е"р ' — (е-пр""). (13.28) л э Таким образом, для радиальной функции гс„г(г) окончательно имеем: !с„г(р) = С„ге "р Я„г ! (р), (! 3.26) где р=2)7Лг. ' Покажеэг, что функция и, записанная в замкнутой форме (13.251, дей. ствительно удовлетворяет уравнению (13.17). В самом деле, функция о=-е прьг' подчиняется уравнению рп'+ (р — й-з!п=о, в чем нетрудко тбедгпься, взяв ог о первую производную по р дифференцируя это уравнение (й-1-1) раз по правилу Лейбница, легко приведем его к виду рмьчэ! ! (р з ! 1)Ыьэп !.(й+1)о~э! О Отсюда, вволя новую функцию и =-о'"'е' о ', получаем для нее урзв.
пеппе рш" + !э+1 — рум +ям=о, совпзчаюшее с уравнением (1317) для функппи и (так как ( гэга) — г — 1 = э) Посколькг прв эшч легко показать, что ноэффициент при старшем члгч,г. (р" ! функции э ю=е р — (е ~о г) гг нр бу !ет гсвпзлать с соогссгсгвуюшпм коэффициентом равенства !1324), мы теч саь ым ток, чычю ~ спр„вс глнвшть соотг~поганив (1325!. 8 13 Теория аодородоподобного атома (проблема Кеплера) 181 )Г Принимая во внимание, что — = и, а также учитывая значение для В ]ем.
(13.5)], находим: р= — г, 23 (13.27) пао где величина по = йт/пгоеот ЯвлЯетсЯ РадиУсом пеРвой боРовской орбиты [см. ниже (!3.62)], Вычисляя коэффициент С„г иа условия нормировки, получаем: „,( "/ С„, = — ч.l' о Г и а о ) у и ( и ! ! ) ! ( П + ! И о (13,28) т. е Л р и и е ч а н н е. Как известно,условие нормировки для радиальной части волновой ф)нкпии имеет вид Отсюла, пользуясь теоремой о перебросе произволной (см.
П д)1, най, пао тз С~ ( ] ~ о '((»+ !]~ рн+»+з — йой (2!+ й+ !) ргг»».ш] л о детка аилеть, чоо остальные члены ряла лля функпии г2» лают нуль, так как от ннк бер)тся произволиые более высокого порядка, чеи соответствующий показатель со»певи р Используя палее известный интеграл е "роар=а1, о (13,29) г Р-„, г)~= 1. о Подставляя сюла вчесто )7»г его выражение (13.2б) и заменяя согласно пао [13.27) г на — р, получаем: 2Е ( о о!ео -о()зг»о»)И-~-!г о! 23) ) р е»» Р=1.
о Представим теперь один из полиномов оч» в вале ряла (13.24), оставив для другого замкнутую форму (13.25). Тогда условие нормировки, записанное выше, примет вид о ( пао ~з » С вЂ” ) ] Р( — 1) (Р" — й(»+2!+!) Р" '+ ...] (е-гр»»гге!) ар ар» о 'ч х с т ь г. ннавлятивистскдя квантовая механика легко находим для С,» выражение (13.28) '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
