Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Однако разность их (в первом прибли- жении пропорциональная У) может стать конечной величиной. В частности, при взаимодействии электрона атома водорода с электромагнитным вакуумом эта разность и обусловливает, лэмбовский сдвиг уровней, т. е. сдвиг уровня 2зм вверх относи- тельно уровня 2руь которые, как мы отмечали, по теории Ди- рака должны бь ть слившимнся. часть и еелятивистскля квлитовхя механика Согласно формулам (103) и (10.4) волновое уравнение, описывающее движение электронов с учетом наличия квантового поля фотонов, имеет вид: (21.1) где = — — (А р).
мм Вектор-потенциал вторично квантованного поля А мы разобьем на две часги: А=А +А, (21.2) где оператор А = —, ~ 1/ — "' а(х)е-'"~ (21.3) описывает поглощение, а оператор А = — ь ~~~/ — ""' а+(х)еии (21.4) — испускание фотонов. В наших расчетах рассматривается нерелятивистский случай, для которого основной вклад дает дипольное приближение, и поэтрму мы положили е '"'= 1. Допустим, что нам известно решение уравнения (21.1) без учета вакуумных членов (Г = О) ре (1) ~ч~ С „~в е ~~п'~ и' (21.5) причем собственные функции удовлетворяют стационарному уравнению Шредингера г о о Н Фа =Ел фв. Лм = (21.6) Далее предположим, что электрон находится в состоянии и, т. е. ~ь„(1) — ф„е ' л .
(21.?) (21.8) которые и обусловливают лэмбовский сдвиг уровней. Тогда при учете вакуумных членов во втором порядке теории возмущения отличными от нуля (в случае отсугсгвия фотонов )т' = О) остаются лишь комбинации (см. (95!)): о (х) ае (х) б хчхч й 21. Лэмяовсиий сдвиг уровней 301 Энергию второго гриближения Е„'согласно (15.84) следует вычислять по формуле. Ел = ) ф'„(1)( — ' (А р)) ф„'(1) г('х, (21.9) причем, чтобы осуществить комбинацию (21.8), мы должны прп вычислении ф„в энергии возмущения Г оставись члены, пропорциональные лишь А'. Тогда, полагая ф(1)=Ф.(1)+Ф. (1) (2!.10) и принимая во внимание, что фл(1) является решением уравнео ния (21.1) с У' = О, для определения эо„(!) полу ~аем уравнение, в котором оставлены лишь члены первого порядка малости — — — — Н) фл(1)= Й д о'1 дг —,, ~1/ — (а (х)р)ф,е ' (сл ").
(21.11) х Решение уравнения (21.!1) ищем в виде Ф,(!) = ~~ ~~ С„-(х)ф„-е х л" (21.12) причем используя равенство (2!.6), имеем: с Сл.(х) д(со+ оэ„„)ф„= —,, ~сс —" Х глссб ' л" Х (а (х) р) ф„, (2!.13) где Е„„— Ел И,ил = Умножая все равенство на фм и учитывая условие ортоиормированности о о э фл фл-с" х = бл л-, найдем для коэффициента С„(х) следующее выражение: С„(х) = е Г2лсй (а" (х) р„,„) глосЕ Л х Ь(оэ -г мл,л) Подставляя (21.12) в (21.9) и учитывая (21.!4), а также перестановочные соотношения (21.8), получаем выражение длп часть и итлятивистская квантовая механика дополнительной энергии: ~ [(р„„р,н„) — (хо)р,) (хо)з ° )] (21 15) В дальнейшем сделаем переход от суммы к интеграл — — „„, ) с( = —, ! Г(ох'е(х (21.
16) Тогда после интегрирования по телесному углу с(ьа вектора хо с помощью равенства (10.55) мы приведем равенство (21.15) к виду: 2 еа Ч,ч' Г ысГы Еп — — — —,, ~а ! (РппР л). (2!.17) з и,'.е' ~а з (~+аз„,„) л Воспользуемся в дальнейшем следующим преобразованием; (21 18) Ы+ ыл'л ы+ ыл'» — 1 л ыпл (Рпп Рп и), ымаке б) у ) аот = ит„ж(р,„рпм)!п —. (21.20) И+ Ю, ыл л' л ВеРхний пРедел в обоих Равенствах сомакс хотЯ и стРемитси к бесконечности, однако, приравнивая оба равенства друг другу, Наколки, ЧТО ЧЛЕНЫ ПронорцИОНЭЛЬНЫЕ (П чтмапс В Обони ЧаСТНХ равенства, сокращаются. Тогда для определения частоты ыо, не зависящей от индексов и', находим: ып (Р,п Ры,) Гп! и л ! и 1п отав ъ~п з "л и (Рпл Рл л) и (21.21) ' Учитывая, что ыпп О, знак ютрих у суммы можно аообите снять, т.
е. распространить суммирование н на значение л л. и учтем, что в знаменателе мы можем исключить частоту ып „ из рассмотрения, если сопоставим друг с другом следующие два равенства ': 303 й 2П Лвмбовсввй савве уровней Принимая во внимание последние соотношения, мы можем выражение (21.17) для искомого сдвига уровня записать в виде: Еп = — — . о .~~ ~ Ао11 — "" )(Р 'Рии) (2122) 3 леое'и,, „( м-есоо~ Дальнейшие вычисления мы произведем по формуле (8.89), определяющей умножение матричных элементов у пил Ьпп=(а0)ил= ) фи аЬфи с('Х, имеющей место, когда операторы а и Ь не зависят от индекса и'. Тогда легко поназать, что йсе Рпп'Рп'и = Х Рпп'Рл'п (Рлп) =- (Р )ии (Рии) (2! .24) и и %'3 е %з л сои п (Рлп'Рл'л) = та соп'и (Рлл'Рл'п) = (У~)Г) и (21 25) л' п При выводе равенства (2!.25) мы приняли во внимание, что ео и=О.
(2! .26) Кроме того. левая часть равенства (21.25) была записана в сим- МЕ1РНЧНОМ ВИДЕ 1 1~з 1а (соп'пРпп'Рп'п + Рппко 'пРп'п) л' н, наконец, были использованы соотношения: Г и' и соилРпл = — Г ) фи (Елр — РЕл)фл---1ф.~(=+ ) — 1 —.")! """- 1 й = — — (Рр — рр)„„,, (21.27) а также Шперли= л (1'Р Р! )п„.
(2! .28) Учитывая равенства (21.24) и (21.25) для сдвига энергия, '(21.22) получаем: 1 е' ~ — 2((ре) „— (Рпп)о) ) со+ 3 свое и и~о'У), 1 ] (21291 о Ч А СТ и и РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАИИКА Последнее выражение содержит две части. Первая часть, пропорциональная (р')„„— (р„„)г, расходится по линейному закону сачаке 'г,ак было отмечено в начале параграфа, наблюдаемой величиной является лишь разность энергий взаимодействия электрона с вакуумом при наличии внешнего поля )' и без него, т.
е. она будет равна Е„'" = Е ()') — Е„ ()' =- О) = з а ( ) (п ""' (Рг(с)„„. (21.31) тас а Из формулы (21.3!) видно, что верхний предел дает лишь логаРифмическУю Расходимость (юмак, — ОО). Однако эта Расходимость связана с тем обстоятельством, что мы построили не- релятивистскую теорию, соответствующую сравнительно малым частотам. Если проделать аналогичные вычисления, используя для описания движения электрона релятивистское уравнение Дирака ', то для ю„,н, мы нашли бы конечное значение. В грубом приближении мы найдем эту частоту, если соответствующую энергию приравняем энергии покоя электрона а ~сачака гпос . (21.32) Последний критерий, который следует и из более точного рассмотрения, соответствует той частоте, при которой релятивистские эффекты начинают давать о себе знать, и поэтому дипольное приближение перестает быть основным.
Подставляя ю„акс из (2!.32) в формулу (21.31), находим: ,„( и ) (РгР) (п ~со' (21. 33) Применим полученную формулу для определения сдвига ров ~ей в атоме водорода. Полагая в атоме водорода е о Г ' Более подробно см: А А. Соколов. Введение в квантовую электродинамику. М., Чаизматгиз, !958, стр. 398. и не зависит от )г.
Вторая часть, пропорциональная )т, расходится лишь по логарифмическому закону =1п (21.30) о 300 й 21. Лаыбовский сдвиг уоовней имеем: Ча) 1= 4пе-'„б (т'). Отсюда (Чт)/)„„= 4пет ~ ф+(г)б(г) ф„(г)агах= 4пеа!тр (О) /а (21.34) Из последней формулы видно, что этот сдвиг имеет место только для з-состояний (! = О), поскольку для рь пг-, 1- и т, д. (! = 1, 2, 3...) состояний в нерелятивистском приближении !ф„(0) !а = О, Учитывая, что для е-состояний согласно (12.4) и (13.28а) ! ф (О) !а = Р;ю ! Уоо!- нпоп (21.35) а также, что в грубом приближении из (21.2!) следует !аЕ)гр ! Лв ! еото со о— й 2аала мы найдем с помощью формулы (2!.ЗЗ) в атоме водорода следующее значение для сдвига гьа-уровня относительно рь-уровня '. аак 8 а оа 2ла (21.36) Последняя формула впервые была получена Бете, Отсюда для сдвига 2ача-состояния (и = 2) получаем следующее численное значение: Ел=я = 1040 Мец, которое сравнительно хорошо совпадает с экспериментальными данными для лэмбовского сдвига уровней (см.
2 20) Е",„', = 1057,77 Л4гц. ' Как только что было отмечено, в нерелятивистском приближении вакуумные члены уровень ру не сдвигают. 20 зав, аав Более точные расчеты, проделанные по квантовой теории поля, в которых, кроме флуктуаций электромагнитного поля, учитывались еше поляризация электронно-позитронного вакуума, а также релятивистские члены более высокого порядка, дают теоретическое значение для лэмбовского сдвига уровней Е;,",о=1057,19 Мгц, отличающееся от экспериментального менее чем на 1 Мгц.
ч хг т ь п»тлятивигтскля квантовая механика Наглядную интерпретацию влияния вакуумных эффектов на движение электронов дал Вельтон '. Он рассмотрел движение электрона методами классической теории с учетом воздействия квантовых флуктуаций электромагнитного поля. Как показывает довольно несложный расчет, под влиянием взаимодействия с полем «нерожденных» фотонов электрон движется подобно броуновской частице с определенным средним квадратом смещения. Вакуумные колебания приводят к некоторой эффективной размазанности точечного электрона, благодаря челгу величина соответствующего радиуса электрона становится средним геометрическим между классическим радиусом электрона и комп- тоновской длиной волны гл«с нг«с гн«с Наличие подобного эффективного радиуса и приводит к лэмбовскому сдвигу уровней, поскольку кулоновский закон взаимодействия электрона с ядром должен быть дополнен поправкой на конечный радиус электрона.
Как было показано в дальнейшем А. А. Соколовым совместно с В. С. Тумановым а, развивая метод Вельтона, можно попытаться дать новое обоснование статистического характера квантовой механики, имея в виду, что электрон при своем движении (например, в атоме) должен наподобие броуновской частицы еще взаимодействовать с флуктуациями электромагнитного вакуума. В связи с этим укажем также, что особенно отчетливо флуктуационная интерпретация статистического характера квантовых эффектов проявляется при анализе явления так называемого «светящегося» электрона (синхротронное излучение). Электрон, движущийся с ультрарелятивнстскими скоростями в магнитном поле, начинает флуктуационно излучать кванты света, благодаря чему на его непрерывное движение, вычисленное по классической теории, начинают накладываться флуктуационные удары, приводящие к раскачке радиальных и вертикальных колебаний (бетатронные колебания).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
