Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Поскольку амплитуда этих колебаний при энергиях электрона порядка ! Бэн может достигнуть порядка нескольких миллиметров, то такое движение представляет собой своеобразный «макроатом» а (амплитуда макроскопическая, законы колебания квантовые). ' См: Т Вел ь тон. Сн «Сдвиг уровней атомных электронов», под ред.
Д. Д Иваненко М, ИЛ, 1950 » Смл А. А. Соколов В С. Т у м а н о в ЖЭТФ, 39, 302 11956) . ' См; А. А. Соколов, Д. Д. Иваиенко, И. М. Тернов. Докл АН СССР, 1!1, 334, 1956 См. также сб под ред. А. А. С около на и И. М. Т е рвии в а «Сгигхротрониое иэлуненнем М, «Наук«», 195ь. й 22. Полное реп~ение уравнении Дирака Благодаря действию флуктуационной силы (со стороны рождающихся в вакууме реальных фотонов) мы можем лишь предсказать (в рамках соотношения неопределенности) координату и импульс электрона, совершающего квантовые бетатронные колебания '.
Таким образом, если в классической теории мы всегда можем выбрать некоторую замкнутую область, содержащую конечное число материальных точек (или конечное число степеней свободы), для описания движения которых можно сформулировать точные классические уравнения движения (однозначная предсказуемость или динамическая закономерность), то в квантовой теории этого сделать уже невозможно, поскольку даже движение одного электрона можно описывать лишь с учетом флуктуационных ударов со стороны поля вакуумных фотонов, обладающих бесконечным числом степеней свободы (предсказуемость с определенной вероятностью или статистическая закономерность).
Благодаря этому в основе теории даже одного электрона должна лежать статистическая закономерность. Только в том случае, когда разброс, даваемый флуктуациями вакуума, настолько мал, что рассматриваемые эксперименты не позволяют его обнаружить, мы можем говорить о динамической закономерности. Во всяком случае, статистический характер поведения электрона должен определять собой объективное проявление закономерностей микромира. Конкретные же способы описания этих статистических закономерностей могут быть различны. Модель Вельтона, а также введение флуктуационной силы для описания «макроатома» мы рассматриваем лишь как весьма наглядную иллюстрацию некоторых выводов современной квантовой теории поля. $22. ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В настоящем параграфе мы хотим более подробно исследовать полное решение уравнения Дирака, учитывая не только состояния с положительной, но также и с отрицательной энергией.
В связи с этим заметим, что анализ решений с отрицательной энергией привел к предсказанию существования познтрона, т. е. к открытию нового фундаментального свойства элементарных частиц, а именно к сушествовзнию античастиц и возможности превращения одних элементарных частиц в другие ' Это похоже на движение броуновской частипы, получаитщей флук~уа пиоиные удары со стороны хаотически двписущихсн иодекул. аов Ч А С Т Ь П РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Решение уравнения Дирака для свободной частицы с учетом положительных и отрицательных энергий. Исследуем прежде всего уравнение Дирака для свободной частицы, когорое имеет вид: (22.1) где гамильтониан определяется выражением: Н = —, (ат) + р,-гп,с'. Ьс (22.2) Свободное движение можно рассматривать как частный случай движения под действием центральных сил, и поэтому должен соблюдаться закон сохранения полного момента [см.
(19.4)] ,) = (гр] + — Ьо = сопз(. 1 2 (22.3) На языке квантовой механики это означает, что полный момент количесгва движения должен коммутировать с гамильтонианом. Мы можем избавиться от орбитального момента )гр], если возьмем проекцию полного момента на направление импульса, поскольку проекция орбитального момента на направление импульса обращается в нуль: (р ]гр] ) = р (ур, — зр„) + р„(гр — хр,) + р, (хр„— ур„) = О.
Для дальнейших расчетов нам более удобно ввести оператор проекции момента количества движения на направление импульса (в единицах '/ха) 6=2 — = (за) (нт) (яр) , Р'ГХ (22.4) (22,5) где (22.6) где импульс р = ВЙ и собственное значение оператора Чх ра в но — /г'. Ззот оператор, очевидно, должен коммутировать с гамильтонианом (22.2), в чем нетрудно убедиться с помощью непосредс1венной проверки Но — БН = О, Частное решение уравнения Дирака мы будем искать в виде (ф) ~>е-мак!+ Ас 1 В 22, Полное решение уравнения Дираиа — четырехрядная матрица, Ез — объем основного параллелепипеда, а составляющие волнового вектора г2(Ф!ЬзАз) связаны с целыми числами и!, из, и, = О, .ь1, ч-2, и-З,... соотношениЯми 2и )г!= ~ и, и г.
д. (см. 5 4, решение уравнения Шредингера в случае свободного движения). Энергия Е связана с величинами К= 'У'Ь'+М, lг= )г/г +й,+Ь', и соотношением: Е = сйсК, тес ко= Ь (22.7) причем параметр в остается пока что неопределенным. Учитывая коммутацию оператора Б с гамильтонианом (22.2), мы можем волновую функцию подчинить дополнительному условию: — ф (Ф) =- зф (Ь), (иу) (22.8) (зй — Ьз) Ь!,,=)г1 Ьз, (з!г + из) Ьз.
з = !г !зЬ ь з. (сК вЂ” (го) Ь|,, = ИЬз, (оК+ го) Ьз,4 — зиЬ! з, (22.11) где 'г 3 ~! + !'гз и!2 = 1г! гиз Последним уравнениям мы сможем удовлетворить, если по- ложим в! Вз В! Вз (22. 12) где величина з представляет собой собственное значение оператора (22.4). Подставляя волновую функцию (22.5) в уравнения (22.8) и (22.1), мы найдем для определения матрицы Ь следующие два уравнения: (/гз — (п7г)) Ь = О, (22. 9) (сК вЂ” зргй — рзЬо) Ь = О. (22.10) Учитывая значения для матриц ал н р» (18.9) и (18.10), а также равенство !22.6), мы запишем два последних матричных уравнении в виде системы уравнении. а!а ч в с т ь и велвтивистсквя квантовая мекки ив в Тогда для определения А, т и Вьа получаем (зй — Ьт) В, = Ь'„В, (зй+ Ьз) Вг = ЬмВ~ (еК вЂ” /гв) А, =- зйА (еК + Ьв) Ат = зЬА~ ) (22.13) (22.13а) Из равенств (22.!3! легко найти собственные значения для з=-~-!, (22.14) а из (22.!За) значения для е= ч-1, (22,14а) т.
е. параметр е определяет знак энергии. Учитывая далее условие нормировки Ь+Ь = Ь~Ь~+ ЬтЬз+ Ьзбз+ ЬтЬ~ = (А~А1+ АтА )(В1В1+ В Вв) = 1, (22.! 5) наидем А = 1т,' 1 + е —. А = аз 17 1 — е— ав ьа 1 !' К > 2 Р' К ° (22.17) О В, = зе-'Ун У 1+ з сов 8, Вт=еч'т )Г! — зсоз8, где 8 и ~р являются сферическими углами волнового аскара !т(Ь,, = й з|п О е'в, Ьа = а соз 8). Для анализа полученных решений, не нарушая общности, мы направим импульс по оси г(8 = О, ср = О, Ь„= Ь„= О, Ь, = Ь!. Этому импульсу соответствуют четыре решения, отличающиеся друг от друга или знаком энергии (е = .4- 1), или спина (з = ш 1), которые дают следующие значения для матриц Ь: й 22. Полное реи»ение уравнения Янраиа Решение с е = 1 описывает случаи, когда спин направлен по импульсу, а е = — 1 — против импульса.
Знак величины е определяет знак энергии. Нетрудно показать, что эти матрицы удовлетворяют условию ортонормированности Ь+ (/г, е', а') Ь (/г, е, е) = Ь„Ь„. " Исследование спиновых свойств свободного электрона. Исследуем прежде всего спиновые свойства частиц, ограничиваясь лишь состояниями с положительными энергиями (е = 1). Тогда волновая функция (для случая, когда импульс направлен по оси г) принимает вид: чр (Ь, е = 1) = с, / а, О е- ох~+ ег (22 !3) +с Оказывается, можно ввести такое понятие спина, когда ие только его составляющая вдоль импульса, но и вообще любая составляющая спина (без орбитального момента) остается интегралом движения. Этот сохраняющийся в случае свободного движения спин равен (в единицах '/зЬ) ': о а (оа) о໠— Ь (оа! „о + (22.
19) ' Более полробно ем: Сб пол реа А Л Соколова и И. М, тир и о в в «Сиихротронпое излучение», л!., «Наука», ! Э66. Сохранение спина, определяемого равенством (22.19), следует из того обстоятельства, что его любая составляющая коммузирует с гамильтонианом (22.2). Если импульс направлен по оси г, то составляющая оператора оо по импульсу о" и составляющие, направленные а!з часть и оелятивистскзя квхнтовля маховика перпендикулярно к импульсу о'„и о"„, соответственно равны (аа) оо — — о з оо = р о . я 3 2' о'=ро; з 3 Обозначая собственные значения этого оператора через зо, находим: для продольной составляющей о Г + з аз= ) зр оззрс('х = С|С1 — С ~С для поперечных составляющих о з з1 = ~( 'г рзо ф с( х = С ~С1+ С~С ~ аз = 1(С ~С1 — С1С,).
Если мы выберем волновую функцию как сумму состояний, обладающих различной энергией (в том числе и отрицатель- ной), то при вычислении средних значений временные члены исчезнут, так как оператор обобщенного спина коммутируег с гамнльтонианом. Некоммутативпость же различных операто- ров, друг с другом являющихся в то же время интегралами дви- жения (т, е. коммутирующими с гамильтонианом), говорит о том, что система является вырожденной (заданному импульсу и энергии могут соответствовать различные направления спина), и поэтому средние значения вектора ьо зависят от различных комбинаций амплитуд С1 и С ь Можно показать, что вектор зо является трехмерным единичным вектором, так как(зз) +(зз) + +(зз) =(С~С~+С 1С з) =1 и при лоренцевых поворотах пре- образуется по закону /о з, = з,'сову+ зов(ну, — о о ° о о з сову зюпу з з где Р,— Рсозо Р) ! — Рз, Мпб сову= н ~ ззпу= н В = 7((), — йсозб)з+()з(! — йз)з(пзб).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
