Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(20.35)). * Волновое уравнение для позитрона. Для выяснения физического смысла решений с отрицательными значениями для энергий при наличии электромагнитного поля наряду стицами. В частности, электромагнитное взаимодействие (закон Кулона) можно рассматривать как результат взаимодействия между двумя зарядами через электромагнитный вакуум, когда один электрон испускает «псевдофотон», а другой — его поглощает. Таким образом, электрическое поле представляет собой возбужденное состояние электромагнитного вакуума. С другой стороны, вакуум представляет собой своеобразный резервуар, откуда «извлекаются» реальные частицы при их порождении и куда они епереходят» в результате аннигиляции. Электронно-позитронный вакуум по существу является знакомым нзм фоном электронов в состояниях с отрицательной энергией.
К сожалению, он не имеет классического аналога н поэтому не допускает полуклассической интерпретации, которая возможна в случае электромагнитного вакуума. Кулоновское поле ядра может поляризовать этот вакуум (т. е, электроН находится как бы в диэлектрике), благодаря чему возникает дополнительная энергия взаимодействия, определяемая выражением: 318 Ч А С Т Ь 11 ТЕЛЯТИ ВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА с основным уравнением Дирака ) — — — — еФ вЂ” с 1юа 1 —.
— — — А )+ а 1 —. — — — А )+ дс дк с «1 ю(Т ду с Я! + а;~ — — — — А,)1 — Рютюсс ~ ф= О (22 30) запишем также и комплексно-сопряженное уравнение +аз( —; д, + — 'А,)1 — Рюл1юсю~ф'=О, (22.3!) (22.32) как видно, отличается от эрмитово-сопряженной Ф вЂ” (ф1 фю'тюА). (22.33) Заметим, что комплексно-сопряженное уравнение совершенно эквивалентно эрмитово-сопряженному уравнению 1р'~( — — ' д, — еФ) — с'(а1( —.
д — — А„)+ +а,( — дд — — Ад)+а,~ — д — — — А,)) — рют1сю~=О, (22.34) в чем нетрудно убедиться, если расписать в виде системы четырех уравнений как уравнение (22.31), так и уравнение (22.34) и учесть при этол1 правило действия оператора, стояшего после волновой функции д да+ Я д д1ю+ ф 1 ф~ д1 дю ' дк дк (22.351 Сделаем замену в комплексно-сопряженном уравнении Дирака ф" = юаюРюф (22.3б1 которое легко может а"= — а, а'=а, р"= т с и с функция быть получено, если учесть, что а', = а„ р„ а комплексно-сопряженная волновая (ф", Ф, ф= 312 й 22.
Полное решение уравнении Днрлнл Тогда, учитывая правило коммутаций матриц Дирака, мы най- дем для волновой функции уравнение +аз( э др + с Ае)+ 3(( Р де+ е А) 1 Р тес ((зте = О, (22.37) которое описывает движение позитрона, поскольку отличается от основного (22.30) заменои заряда е на — е. Кроме того, прнГа ! — с нимая во внимание, что состояние зр(г, г) =е " зр(г) трактуется как состояние с положительнои энергией, а состояние — в — „ 1Е! зр*(г, э) = е " ф*(г) как состояние с отрицательной энергией, мы должны у функции ф трактовать знак энергии иначе, чем у функции ф*. Иными словами, состояние с положительной энергией уравнения (22.37) следует отнести уже к позитронам, а состояния с отрицательной энергией — к электронам.
* Понятие о теореме Людерса — Паули. Заметим, что уравнение Дирака должно быть инварнантным относительно слабого обращения времени (СТ-преобразование), сводящегося к совместному зарядово-сопряженному преобразованию (е — е — е, С-преобразование) и сильному обрагцению времени (э'-н — э, Ф -н — Ф, Т-преобразование).
В самом деле, в случае СТ-преобразования уравнение (22.30) принимает вид: — ) д д Г Уа д е — — — еФ вЂ” с~а ~ — — + — А )+ дэ дк с +аз( —, д + — А„)+аз~, д + — А,)1 — р~т~с~~з)=0. (22.38) Последнее уравнение в результате замены ф- оззр* переходит в комплексно-сопряженное уравнение (22.31) (аналогично комплексно-сопряженное уравнение переходит в основное). Можно также показать инвариантность уравнения Дирака относительно инверсии пространства (г — г, А- — А, Р-преобразование). В самом деле, в результате Р-преобразования уравнение Ди. рака принимает вид: ~( ) д Г /6 д е — — — — еФ+с|са,( —.— — — А 1+ дГ дк с к/ +аз( —.— д — — „, Ае)+ "э( д — Ак)) РзтвсэТф=О. (22.39) ч х с т ь и еелятивистскхя квлнтовхя мехлиикл Сделав в этом уравнении замену ф- рзф, мы преобразуем его к первоначальному виду (22.30).
Таким образом, уравнение Дирака должно быть инвариантиым относительно совместного тройного СТР-преобразования (теорема Людерса — Паули). * Волновое уравнение для нейтрино. Для описания движения частиц сс спнном, равным половине, и массой покоя, равной нулю (нейтрино), можно использовать либо уравнение с двухрядными матрицами Паули (уравнение Вейля), либо уравнение Дирака, расшепляюшееся иа два независимых уравнения. В самом деле, как видно из (18.1), квадоатный корень при та = 0 может быть извлечен с помощью двухрядных матриц Паули, и поэтому вместо уравнения Дирака можно написать !'р '! уравнение с двухкомпонентной функцией ~р = ~ ! (уравнение %з Бейля): (Š— с(п'р)) ~р = О.
(22.40) Это уравнение в противоположность уравнению Дирака не инвариантно относительно инверсии пространства, поскольку после замены р - — р мы никакими преобразованиями волновой функции не сможем вернуть его к первоначальному виду. С другой стороны, для частиц с тв = 0 четырехкомпонентное уравнение Дирака разбивается на два независимых волновых уравнения.
Для первого решения выбираем Е зО= 6= !Е! ' (22.41) т. е. будем считать, что частицы с положительной энергией а = ! (нейтрино) обладают левой спиральностью, а с отрицательной в= †(антинейтрино) — правой. Тогда для второго решения имеем; Е з. =в=— о 3 !Е! ° (22. 42) т е., наоборот, частицы с положительной энергией е = 1 (нейтрино) должны обладать правой спиральносзью, а с отрицательной (антииейтрино) — левой.
Соотношения (22.41) и (22.42) остаются инвариантными относительно преобразований Лоренца. Это видно из равенств 122.20) и (22.21), где следует положить Р, = 1. В связи с открытием явлений, известных под названием не- сохранения четности, что оказалось связанным со спиральностыо нейтрино, Ли и Янг, а также Ландау предложили массу нейтрино й 22. Полине решение уРавнения дивана положить равной нулю, а для его описания взять двухкомпонентное уравнение Вейля. Неинвариаптность уравнения Вейля относительно Р-преобразования опп предложили скомпенсировать пеинвариантностью относительно С-преобразования (при переходе нейтрино к анти- нейтрино спиральность нейтрино должна измениться).
Таким образом, уравнение Бейля должно остаться инвариантным относительно совместного СР-преобразования (комбинированная инверсия), а также Т-преобразования для того, чтобы выполнялась теорема Людерса — Паули (СРТ=сопз1). С другой стороны, для описания нейтрино можно также взять уравнение Дирака с массой покоя, равной нулю, и выделить в пем нейтрино определенной спиральности. Однако в четырехкомпонеитнои теории наряду с одним решением (нейтрино — левовинтовое, аптинейтрино — правовинтовое) имеется второе совершенно равноправное решение (нейтрино — правовинтовое, антинейтрино — левовинтовое).
Выло бы весьма странным, если бы второе решение не имело никакого физического применения. Недавно наряду с электронным нейтрино (т. е. нейтрино вылетает с позитроном, а антинейтрино — с электроном) было огкрыто второе, так называемое мюонное нейтрино, которое, повидимому, и зписывается вторым решением уравнения Дирака. В этом случае с отрицательным мюоном должно вылетать правовинтовое нейтрино, а с электроном — правовинтовое антипейтрино. По этой теории электроны (е ] и отрипательный мюон 1(а ) должны обладать различным лептонным зарядом (электрон — нейтринным, а отрицательный апоон — антннейтринным), и поэтому распад р = е + у должен быть запрещенным.
21 э. а а ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ ч 23. ТЕОРИЯ АТОМА ГЕЛИЯ БЕЗ УЧЕТА СПИ НОВЫХ СОСТОЯНИИ Основные положения. Атом гелия представляет собой простейший многоэлектроиный атом. Вокруг его ядра с 2 = 2 движутся два электрона. Однако уже в такой простой системе отчетливо проявляются основные качественные особенности квантовой теории многих частиц, В классической теории при наличии двух электронов всегда можно одному электрону приписать индекс 1, а второму — индекс 2, а затем проследить от начала до конца за движением каждого из этих электронов по отдельности. Согласно квантовой теории только в том случае, когда электроны находятся на большом расстоянии друг от друга, практически их можно перенумеровать. Когда электроны 1 и 2 находятся настолько близко друг к другу, что имеются такие точки в пространстве, где обе волновые функции отличны от нуля, в силу тождественности электронов мы не сможем различить, в какой точке пространства находится электрон 1 и в какой электрон 2.
Подобная неразличимость (или тождественность) электронов является специфической особенностью микромира. Она приводит к специфическим обменным силам, не имеющим классического аналога. Кроме того, в атомах со многими электронами доминирующее значение приобретают спииовые свойства, которые пи в классической, ни в боровской теории не учитываются. Кстати заметим, что только в атоме с одним электроном спиновые силы играют роль поправок, которыми в первом приближении вообще можно пренебречь.
Поэтому теория Бора смогла объяснить ряд явлений только в водородоподобных атомах с одним электроном. Теорию же атомов с двумя и более электронами по боровской теории построить было нельзя, так как в ней нельзя учесть ни обменных сил, ни сливовых состояний. Чтобы уяснить сущность квантовой теории многих тождественных частиц со всеми ее особенностями, рассмотрим более й 23. Теория атома гелин бев учета спиновых состояний 323 подробно проблему гелиеподобных атомов, каковыми являются, например, сам нейтральный атом гелия, однократно ионизованный атом (.)т, дважды ионнзованный атом Ве" и т. д. Основные уравнения.
Прежде всего выясним физическую природу обменных сил, связанную с тождественностью, т. е. с неразличимостью электронов. В этом парагг графе мы не будем учитывать спиновых свойств частиц '. Фиг. 23.1. Атом гелия. Допустим, что положение первого и второго электронов характеризуется соответственно радиус-векторами г, и гт (при этом нх начало совпадает с неподвижным ядром) (фиг. 23.1). Состояния с квантовыми числами (ль 1ь т~) и (аы 1м птт) соответственно будем обозначать ради краткости через и, н ит, подразумеван под ними совокупность квантовых чисел (и, 1, т).
Для определения дик!кения каждого нз электронов в отдельности без учета взаимодействия между ними мы имеем уравнение Шредингера вида (Е,. — Н!) тр„(г!) = О, (23.1) где Н! = Т1+ )г1, Т! = 2 ~ —. 7!), )г! = — —, (23,2) г! а индекс 1 принимает два значения: 1 = 1 — в случае первого электрона и 1 = 2 — в случае второго. Для энергии Е„ при этом получаются значения (см. э 13) Ел! = (23.3) н! ~ ф*„ (г)чр„ (г)с(ах = б„ „ (2'3. 4) ' Это можно сделать, гак как задача в данном приближении допускает реп~ение в виде разделяющихся пространственных и спиновых переменных. Спин частип мы учтем в 3 24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
