Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 56
Текст из файла (страница 56)
С учетом же спина симметричное сосгояние соответствует спину, равному нулю, а антисимметричное — единице (см. б 24), и позтому подобное гмешение будег носнгь чисто формальныи характер, тем более что переход с изменением спина относи~ся к запрещенным. ч а Г т ь нг теОРия мнОГих чхглиц т. е. состояние системы описывается уже нс функцией и, а функцией р. Это говорит о том, что если в момент времени (=О олин из электронов находился в состоянии пь а другой— в состоЯнии аь то по истечении пРомемсУтка вРемени т, наоборот, первый электрон окажется в состоянии и„, а второй — в состоянии пь Время т, за которое происходит «обмен» электронными состояниями, называется временем «обмена».
Оио связангу с обменной энергией Л простым соотношением. я ив чб (23.68) В частности, отсюда следует, что если обменная энергия отсутствует (А=О), то т=оо, В заключение укажем, что обменная энергия играет заметную роль только в том случае, когда волновые функции, а ил!осте с тем и плотности вероятностей различных состояний перекрываются между собой'. Если же перекрытие волновых функции незначительно, то обменная энергия практически исчезает. Все это напоминает собой перекачку энсргии от одного связанного маятника к другому. Известно, что если в начальный момент качается только один из связанных маятников, го через некоторый промежуток времени его амплитуда станет равной нулю, поскольку вся энергия колебаний перейдет ко второму маятнику.
При этом время обмена энергисй колебаний зависит от соотношения между собственными частотами колебания маятников, достигая максимального значения, когда эти частоты совпадают (случай резонанса). Следует подчеркнуть, гто приведенная аналогия является чисто внешней и имеет место только в силу проявления волновых свойств в обоих явлениях.
й 24. УЧЕТ СПИНА В ГЕЛИЕПО- ДОБНЫХ АТОМАХ Симметричные и антисимметричные состояния. Как было указано в начале 4 23, квантовая теория многих одинаковых частиц обладает рядом специфических особенностей, не имеющих классического аналога. Основная особенность связана с принципом тождественности, согласно которому состояние системы ' !!росгые расчеты вокачываю1, что в атоме гелия время обмена двух электронов, находяншхся соответсгвегшо в состоиниях !1 и 2» имеет порядок 1О " сек. Если же второб электрон у.!влить в состояние !ОЫ 1о ~ гла волновые фуикнин фактически не бтатт нерекрыват ся н время обмена уис.ы ываегся до нескольких ле1, 1. е р,1чес1.н ло бссконе 1иоспг 337 й 24. Учет спина а гелиепоаобных атомах остается неизменным прн обмене частиц местами.
Рассмотрим проявление этих свойств на простейшем примере двух тождественных частиц. Состояние отдельной частицы с радиус-вектором г будем характеризовать тремя пространственными квантовыми числами (и — главное, ! — орбитальное, гп — магнитное), обозначаемыми сокращенно через и, и четвертым спиновым квантовым числом 5. Волновая функция двух частиц согласно упрощенным обозначениям имеет вид: Ч"(п15,г,; П252гт), где индексы ! и 2 относятся соответственно к первой н второй частице. Введем далее оператор перестановки частиц Р, действие которого на волновую функцию заключается в том, что он меняет местами квантовые числа Пгз, и П252' у частиц, т. е. Ртр(пгз,гг; пезтгт) =Ч'(П252гц П15~гт).
(24.2) Нетрудно найти собственные значения этого оператора РЧ'(пгзггп п252Г2) =) Чг(П15~гг, П252гх). (24.3) В самом деле, как следует из (24.2)„двукратное применение этого оператора Р должно привести систему к исходному сгстоянию Р Ч (п,згг~', П252Г2) =Чг(п~з~г~', П252Г2). (24.4) С другой стороны, из (24.3) следует, по Р'Ч'(п~з,г„п252Г2) =).'Чг(гг~з~г,; П252Г2), (24.5) Таким образом, собственные значения оператора перестановки раьны Х=-е 1, (24.Е) Этот результат означает, что при перестановке частиц местами волновая функция либо остается без изменений: Х=! (такне функции называются симметричными) Ч(а(П~5,Г,; П252Г2) =Ч"!П25,ГП П,С,Г,), (24.7) либо меняет знак Х= — ! (такие функции называются антисимметричными! Ч" (гг!5~ГП п252Г2) = — ! а (п252Г~,' п~51Г ) (24 и) Квантовая механика утверждает, что совокупность тождественных частиц может находиться в состояниях только с определенным типом симметрии.
В частности, в природе реализуются либо симметричные состояния (волновая функция ' Это энаиньлснь паре тьноехс обеих частиц. 33 ;.и ь ь часть и! теонмя многих частиц 333 симметрична), либо состояния антисимметричные (волновая функция антисимметрична). Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна. Как известно, тождественные частицы могут обладать двумя принципиально различными статистическими свойствами.
Различия в статистических свойствах оказываются суШественно связанными со спином частиц. В частности, оказывается, что частицы с полуцелым спином ( з в единицах постошшой Планка 3; з= —,—, ...) подчн- 2 ' 2' няются статистике Ферми — Дирака (фермионы). К числу фермионов ожюсятся электроны, протоны, нейтроны, мю-мезоны, гипероны (спин у всех равен '(з).
В отличие от фермионов частицы с целым спином (з=0, 1, ...) подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна (бозоны). К числу бозонов относятся, например, пи-мезоны, ка-мезоны (спин равен 0), фотоны (спин равен 1) и т. д. Не имея возможности детально останавливаться на анализе статистических свойств совокупности частиц, укажем„что в случае статистики Бозе — Эйнштейна в каждом состоянии может находиться любое (без ограничения) число частиц. В случае же статистики Ферми — Дирака в каждом состоянии, характеризуемом четырьмя квантовыми числами, может находиться не более одной частицы. Эта характерная для фермионов особенность была установлена эмпирически Паули (1923) еще до создания квантовой стазистики и известна под названием п р и н ц и и а П а у л и (з а п р е т а П а у л и). Для того чтобы установить связь типа симметрии состояния со статистикой, рассмотрим систему двух частиц, каждая из которых описывается функциями ф„, (г,) ф„(г,).
Для описания фермионов мы должны составить из этих функций антисимметричное решение '. ра= (тр (г)ф (г) — ф (г)ф (г)), (24,9) поскольку состояние, когда обе частицы обладают одними н теми же квантовыми числами (24.10) п1 тта з1 дд ' Мм предполагаем, зто фуннннн ф„л н ф„, взаимно ортотональнм н норннрованм на едпннну. Позтому длн нормировки Ч'а введен множитель ! )У2 ' й 24. Учет спина и геанепоаобных атомах становится невозможным, так как волновая функция (24.9) обращается в нуль Ч" (и,з,г,; п,з,г ) = О, (24.
!! ) что находится в согласии с принципом Паули. Точно так же для описания бозонов следует взять симметричное решение = = (фл (т 1) фл л (~т) + фл (~~) фл (тт)), (24.12) которое не запрещает наличие в одном и том же квантовом состоянии [см. (24.10)) обеих частиц, поскольку Чт'(п1з1г~', п,з,г,)~0.
(24.13) ~=1, +!м а~+за (24.1 !) (24.15) а затем найти общий момент (целое число) У=А+Я. (24. 16) Такая связь носит названия !.5-с в я з и или связи Р е ос е л а — С а у н д е р с а. Она соответствует наличию двух независимых законов сохранения для орбитальных [см (24 14)) и спиновых [см. (24.15)] моментов. Чаще всего она осуществляется у легких элементов (см ниже) . Возможна и другая схема сложения моментов, а именно вначале можно сложить для каждого электрона спнновый и Связь Рессела — Саундерса и (д)-связь. Поскольку в дальнейшем мы будем иметь дело с двумя электронами, то для цх описания следует взять антисимметричное решение (24.9). Одной из важнейших задач, которая при этом возникает, яв|яется установление порядка сложения четырех моментов: двух орбитальных (11 и 1е) и двух спииовых (з, и зт).
По классической теории этот порядок был бы совершенно безразличен. По квантовой же теории это не так! Согласно векторной модели сложение векторов должно происходить пот такими углами, чтобы в геометрической сумме мы имели либо целое, либо полуцелое значения в зависимости от того, является ли алгебраическая сумма либо целым, либо полуцелым числом.
Поэтому сложение этих четырех векторов мы можем произвести дву мя путя ми. Сяачала сложить по отдельности орбитальные и спиновые моменты (в сумме мы должны иметь целые числа) аао Ч А С Т Ь !!! ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ орбитальный момент (полуцелые значения) (24 17) (24.18) 1! =Т!+э!, 6=(я+аз, а затем найти полный момент обоих электронов (целое знлчение) У=1!+6. (24 !9) Такая связь называется (11)-связью и встречается преимущественно у тяжелых элементов. Очевидно, что суммарное значение всех моментов в обоих случаях по квантовой геометрической модели может быть различным 1+8 ~7!+)ь (24 20) Осушествление той или друтой связи зависит от соотношения между кулоновской энергией двух электроноь н спин-орбитального взаимодействия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
