Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 55
Текст из файла (страница 55)
е. ту энергию, которую необходимо затратить, чтобы вырвать из атома один электрон, находящийся на первой орбите. Лля однократно нонизованного атома гелия (т. е. водородоподобного атома) энергия связи электрона с ядром равна просто Е! (см. (23.37)1. Отсюда для энергии однократной ионизацин гелиеподобного атома находим: Еисм = Е, — Е = ~ (Š— — л ), (23.42) т. е. для гелия (2 = 2) будем иметь: 2 Е"'" = 0,75 — '.
ао ' (23. 43) Энергия ионизацин гелия хорошо известна из эксперимента г по (23.43а) а случае г»го радиус го на го и радиус го на гп Тогда найдем для (ЗЗ.ЗН) тот же резулюа!, если положим 4 — при г, (го, != го О при г) го. Такое расхождение теоретического значения с эксперимен- тальнымн данными связано с тем обстоятельством, что энергия 2 5 ее возмущения К = — — не очень мала по сравнению с нулевой 4 ао 4еп 2 энергией ! Е'! = — (нх отношение оказывается порядка г!2), а, Поэтому метод возмущений в данкой задаче позволяет сделать 3 33. Теория атома гелия беа учета соииоаыл состояииа 334 лишь ряд правильных качественных заключений. Точность же этого метода в количественном отношении, в силу того что К и '1Ео, сравнимы между собой, не очень велика.
Вариационный метод. Вариационные методы, развитые в работах Ритца, Хиллерааса и других, были с успехом использованы для нахождения энергий основных состояний атомов. Как известно, средняя энергия системы может быть найдена с помощью формулы (Е) = ~ ф*Нфс(ах. (23.44) Если волновую функцию представим в виде ф= Хс„ф„, (23.44а) где коэффициенты С„характеризуют вероятность пребывания электрона в состоянии п, то, как было показано в 3 7, среднее значение энергии определяется формулой [см.
(7.13)]; (Е? = ~1 С„гЕ„. и (23.45) Заменяя в последней сумме каждое собственное значение Е„ наименьшим собственным значением Еа и принимая во внимание, что для нормированных функций У1С„г = 1, и находим, что (23.4 6) Вариационный метод можно использовать в том случае, когда дополнительная энергия взаимодействия Е' соизмерима с энергией Е' нулевого приближения, благодаря чему метод возмущений не может дать хороших результатов.
При решении задачи вариационным методом в гамильтониапе Н уравнения (23.7) можно осгавить на равных правах не только основную часть, но и дополнительную энергию взаимодействия )г'. Затем следует подобрать пробну|о функцию ф как функцию некоторых параметров таким образом, чтобы интеграл мог быть вычислен точно. После этого энергия Е становится функцией введенных параметров. Минимальное значение агой функции должно приближагься к действительному. Ее ( ~ тр Нф с(зх Наименьшее же значение интеграла ) т(г'Нтр с(ах = Е"и' дает возможность определить верхний предел энергии основного состояния системы Е, ч=.
Е" я". Ч А С Т Ь П1 ТЕОРИЯ МИОГИХ ЧАСТИ И Наибольшая трудность в этой задаче заключается в выборе пробной функции. При выборе ее используется любая доступная информация о свойствах системы. В обшем случае нельзя указать определенного выбора пробной функции. Здесь порой вопрос решает изобретательность или, точнее, физическая, а также математическая интуиция автора. Очень часто пробные функции подбираются таким образом, чтобы они хотя бы по форме напоминали решения уравнении без возмушения.
Конкретно с помошыо вариационного метода решим задачу об определении низшего энергетического состояния атома гелия (Хиллераас, !927). Мы только что показали, как эта задача решается методом теории возмушений, и поэтому сможем сравнить результаты обоих методов В качестве пробной функции Хиллераас выбрал функцию основного состояния атома водорода (23.37), заменив в ней заряд 7 некоторым эффективным зарядом А'. Величина Л' и представляет собой тот неизвестный параме1р, когорый следует определить из вариационного принципа.
Пробная функция (23.47) Н=Т1+)71+ТЕ+(71+ Г. (23.48) где Т, и (7, (! = (, 2) определяются равенством (23.2), а потенциальная энегия возмущения !7' задается соотношением (23.5) Учитывая нормировку волновых функций, а также, что оба электрона находятся в одном и том же квантовом состоянии, когда (71) =(Тт), ((71) =((7Е), для среднего зна гения гампльтониана находим: (0) = (т,)+2!)7,)+((7), (23.49) где (71) = ! 1)1 (г,) ~ — 71~ 1(11(71) гмх, г ~То (Г„'= — 3 ф2(г) — Рх (23.50) (23. 50 з) ()") = ~ хр'",'(г,) ХФ1 (г ) — 1(~х.
(23.50б) так же как и функция (23.37), нормирована на единицу, поскольку ее нормировка не зависит от значения 2'. ГаА1ильтониаи же Н в соотношении (23.44) должен включать не только гамильтониан НЯ нулевого приближения, но и потенциальную энергию возмущения.
Тогда имеем: й 28. Теория атома гелии вез учета сиииоимх состоиииа 333 В формуле (23.50) величина (Т,) представляет собой среднее значение кинетической энергии водородоподобного атома с порядковым номером а', когда электрон находится в низшем состоянии. Это среднее значение, как известно, связано с соответствующей полной энергией водородоподобного атома соотношением 7 - ео (Т1) = — Е, = 2ао (23.52) Точно так же мы получили бы среднее значение для потенциальной энергии водородоподобного атома, которая, как известно, равна удвоенной полной энергии (((т~) =-2Е,), если в формуле (23.50а) вместо Л поставили бы а'.
Следовательно, можем написатгя 2 с2ео ((/1) = —,2Е, =— ао (23.53) Отсюда для среднего значения энергии согласно формуле (23.49) находим выражение ео г 5 Е(Л ) = — ' ~г" — МГ+ — ' г ), ао 8 (23. 54) являющееся функцией параметра Г. Определим теперь значение параметра 2', соответствтющее минимуму энергии системы. Дифференцируя выражение для Е(Г) по л' и приравнивая нулю полученное выражение, находим; 5 2'= Л вЂ” — ' 16 ' Отсюда для минимальной энергии электронов в атоме гелия получаем: Ечо" = — (7.
— —,551 — '. (23. 55) При этом для энергии ионизации имеем: за, (, 4 128,)' Поскольку интеграл (23.50б) точно совпадает с интегралом (23.38), если в последнем положить 2 = 2', для (ог') согласно (23.39) имеем: 5 2еот (Р'> = — —. (23.5! ) 8 ао аз4 Ч А С Т Ь !2! ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ В частности, в случае атома гелия (Г. = 2) е2 Е"'" = 0,85 —. (23.5б) Это значение значительно ближе к экспериментальному 1см. (23.43а)), чем (23.43), найденное методом теории возмущений. Хиллераас впоследствии получил еще лучшее совпадение с экспериментом, вводя не один, а несколько вариационных параметров. Результат (23.55) для Е""" находит простую физическую интерпретацию, а именно: действие одаого электрона на другой сводится к экранировке положительного заряда ядра.
Вариационный метод можно использовать также для нахождения верхнего предела энергий одного или нескольких возбужденных состояний. Для этого пробную функцию следует выбрать таким образом, чтобы она была ортогональной всем волновым функциям более низких состояний.
(23.59) соотношение (23.58) можно представить в виде — („+„)е- — А 1 )' 2 2)з(1) = —,(и — О)е-'"'ыь!. 1 'Г а (23.60) * Исследование обменной энергии. Остановимся несколько подробнее на выяснении физической сущности полученной нами выше обменной энергии (23.24), которая, как мы уже упоми- нали, представляет собой среднее значение кулоповской энер- гии взаимодействия двух электронов, когда оба они находятся г, смешанных состояниях, т. е. частично в состоянии и! и ча- ст !чно в состоянии п2. Согласно формулам (23.30) и (23.32) об2цая энергия системы связана с кулоновской энергией К и обменной 4 соотношением: Е=ЕЯ+К Л, (23.57) ПРИЧЕМ ЗДЕСЬ ЗНаК ПЛЮС СООтВЕтСтВУЕт фс, а МИНУС вЂ” 2Р' Чтобы проанализировать обменную энергию более детально, рассмотрим поведение системы с течением времени при уче2е обменной энергии.
Волновые функции симметричного и анти- симметричного состояний можно записать в виде; г с ' Ес! ф (1)=фа А и 2р (()=фа " . (23.58) Вводя обозначения Ес+К Л = 02, —,=6, й й 23. Теория атома гелия без учета спиновых состояний ЗЗЗ Рассмотрим состояние системы, описываемое суперпознцией решений фс(1) и зра(1) '. Чг(!) = С'ф'(1) + С'ф'(1), (23.61) Нетрудно убедиться в том, что функция Ч" (1) представляет собой общее решение уравнения Шредингера (23.7) для первого приближения теории возмущений. Предположим далее, что в начальный момент времени (1=0) один из электронов находится в состоянии пн а второй— в состоянии пз. Тогда функция Ч'(0) = =. ((С'+ С') и + (С' — С') ц) (23.62) )2 должна быть равной функции и. Отсюда следует, что = (С'+ С') = 1, У2- а С'--Се=О, или С'= С'= =. 'г 2 (23.63) Из последних равенств для функции (23.6!) находим: Чг(1)=е-гиг(исозМ вЂ” (аз(пб!)=ерл '(С„и+С„о], (23.64) где С„= соз И, С„= — г з!п И.
(23.65) Очевидно, что амплитуды С„и С„, удовлетворяющие условию нормировки 1 С, !з +! С, !' = 1, (23.66) характеризуют соответственно вероятности пребывания системы в состояяии, описываемом либо функцией и, либо функцией ц. При 1=0 коэффициент С,=О, С =1. Это означает, что система в начальный момент времени находилась в состоянии, описываемом функцией и. Однако, спустя время (23.67) коэффициенты С„и С, согласно (23.65) становятся равными С„=О и С„= — г, ' Такая суперпозиция симметри шого и антисимметричного состояния возможна лишь без учета спина частиц, когда мы не можем указать физического различия между ними.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
