Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Кулоновская энергия взаимодействпч между двул!я электроналги [см, формулу (2339)] равна: К = е- ) рп (г,) рм (Г,) с(сх л=;) )Г,— Г,,' (24. 21) Спин-орбитальное же взаимодействие определяется выражением (см. (20.9)) с.с ~ГО Е" = (1.8) — см Яйся'и'. "с!НТГТ (( Г'7) о (24.22) Оно при 2=2 оказывается значигельно меньше кулоновского, поэтому для атома гелия осуществляется рессел — саунд рсовская связь. Как видно из последней формулы, порядок величины спин- орбитального взаимодействия сильно зависит от заряда ядра 2 ( 2!), так что для больших значений 2 (тяжелые элементы) величина Ес ' может оказаться существеннее, чем кулоновская.
В этом слУчае РеализУетсЯ (11)-свЯзьс Волновая функция атома гелия с учетом спина. Рассх!Отрих! более подробно волновую функцию атома гелия, где взаимодействие спинов и орбитальных моментов электронов должно носить характер рессел — саундерсовской связи. Поскольку в последнем случае независимо складываются орбитальные и спиновые моменты, волновая функция может быть записана в виде произведения двух частей, одна из которых зависит от спинов частиц, а другая — от их координат.
242 4 24 Учет спииа а теаиеподобиых итонах учтем, что волновая функция должна быть антисимметрична относительно перестановки четырех квантовых чисел Чт=С(эп з)тр (г, г) — — С(э„э,)ф (гы и,')= = — С(эл э,)тр (г„г), (24.23) причем здесь перестановка координат эквпватентни перестановке не четырех квантовых чисел (пространственных и спиновых), как в (24.9), а только трех пространственных Это реализуется в двух случаях.
либо в случае, когда функция является симметричной относительно спинов и антисимметричной относительно координат, либо наоборот. Поэтому мы имеем следу ютцие два типа решений '. Ч" = С'(э,, э,)ф;„(г,„г,), Ч" = С' (эг а ) "ф'„„(ге г,). (24. 24) (24. 25) Напомним, что координатная часть волновой функции нами получена (см. Э 23). При и, ~ ит имеем. (г, г)= =(и+и), ! ф"„„(гп гт) = =(и — о). (24.26) (24.27) где (г,) ф„(г,), и = тр„(г,) ф (г,). (24.28) Обратимся теперь к исследованию спинозой части волновой функции двух электронов. В случае связи Рессела — Саундерса, спиновые моменты складываются независимо от орбитальных, Спиновые функции для каждого электрона выберем в виде собственных функций оператора проекции сикпа на ось г 5 =— 2 ов' (24.
29) а также оператора квадрата спинового момента бт 5' = — ' (о', + о, '+ а-,'). (24.30) ' Обе фуикпии Ч" и Ч'" являются антисил~четричт1ымя при перестаиовке всех четырех кваитовых чисел В даииом случае вти иидексы определяют характер симметрии отиосительио простраиствеииых координат. 342 ч х с т ь ьн теояия многих чхстя ц Здесь двухрядные матрицы Паули о [см. (16.26)[ мы будем писать без штриха !! с, '1 Спияовая функция С =1 ( одной частицы удовлетворяет та[,с,!( ким образом двум уравнениям: Я,С= —,, о,С= —,оз[") =вЛ!( '), (24.31) 8~С = 4 (о, + о,'+ о,') (,1) = л'Л, ~,' ) .
(24.32) Учитывая, что о;'=1 и т. д., из уразнения (24.32) находим з — Матричное же уравчение (24.31) для аяределения Л, 4 ' эквивалентно системе двух однородных алгебраических уравнений: с, ( —,— Л,) =О, с, ~-2'-+ Л,) = О, (24.33) из которых следует, что существуют два решения, соответствующие двум возможным ориентациям спина относительно оси г; ! 1) Л, = †, , с, = 1, с, = О.
2 ' При этом спин направлен параллельно оси г. Волновая функция, принадлежащая собственному значению !/м имеет внд [см. (16.48)]: с( —,')=(,'); 2) Л, = — — с! = О, сз = 1. ! 2 В В этом случае спин направлен антипараллельно оси г. Соответствующая волновая функция равна С(-И=(',). (24.
35) В решениях (24.34) и (2435) в скобках у амплитуд С указано значение проекции спина на ось г. Нетрудно заметить, что обе спиновые части волновой функции удовлетворяют условию ортонормированности. Лействительно, если под сопря кенной (точнее, эрмитово-сопряженной) спиновой функцией понимать, как обычно, матрицу из одной строки = (с,с,), й 24. Учет спина а гелнепохобнмх атомах 343 то из (24.34) и (24.35) следует, что С ( — )С(2)=С ( — — )С(- — )=1, С ( — )С(- — )=б. Действие же матриц Паули на спиновые функции (24.34) и (24.35) будет следующим: о,С(+ —,) =С (-~--), о,С(-+-) = + гС(.+-), (24.36) о,С(-+ ) †.+ С (е — ).
(24.37) 3 =а ( —',+ —,'(оо )). (24.38) Здесь штрих и два штриха у матриц Паули означают, что эти матрицы должны действовать на спииовые функции соответственно первого(С (.+ — / / и второго(С (.+ — ) ) электронов, ,( 111 ( „( !1 2// 2/ Из спиновых функций обоих электронов мы можем составить три симметричные комбинации: с,-с( — )с ( — ), с, с( — — )с( — — ), -'=й [ '(-,') ",(--,')+ '(- ) и( )1 (24.39) и одну антисимметричную С' = ~ — (С' ( — ) С" ( — — ) — С' ( — — ) С" ( — )1. (24,40) Для того чтобы найти ориентацию спина относительно оси в, подействуем на спиновые симметричные функции оператором (24.37).
При наличии двух электронов оператор проекции полного спина на ось г, а также оператор квадрата полного спина соответственно равны: 3, = 3, + 3," = 2 Ь (оз + оз'), часть ссг тгогия миогмг чагтяп 344 помощью равенств (24.36) можно показнсь 8.С' = лс ° Я,Са = — аСь Я Сг=б, (24. 41) (24.42) (24.43) т. е. в состоянии С, спины обоих электронов направлены по оси а(л~)), в состоянии Св — против оси а(гс„с) и з состоянии Сс — перпендикулярно к осн а(:-Ф).
Для того чтобы найти абсолютное значение общего спина, воспользуемся соотношением, которое легко получить, учитывая (24.36) '. Я С з =- Лв ~ — -т —.(и'оп)~ С'с, т. =(г'5(3+ 1) С(. г, т, (24.44) где 5=1, т. е. общий спин симметричного состояния равен единице (спины обоих электронов параллельны). При действии спииовых операторов иа антисимметричную спиновую комбинацию (24.40) аналогичным путем легко показать, что 8'Сг = л ( — + — (о'и ')~ С' = О, Я,С'= О, (24. 45) (24. 46) т е, антисимметричное спиновое состояние Са описывает случай, когда спины обоих электроиоз направлены антипараллельно друг другу. В случае, если оба электрона находятся в одном и том же состоянии пс=пт, существует только одно решение с симмегрнчной координатной частью '. Ч" = С' (зь зз) ф"', тл = и =- ср„(гс)ф (г,), (24.
47) (24. 48) (сгз+озп)Сс=С ~ — )пгС ( — ), С ( — )пзС ( —,)=2С ( — )Сп( — )=2С" (оп")С",=оС'фо,"С" ( —,') ь..;С'~ —,,') и.,"С" (-') опс'( — );"Сп('~= С'( — 2 ) С" ~ — — ) — С' ( — 2 ) С" ~ — —,) + С ( 2 ) С ( —,) = С", (24 49) н т. д. гСм примечание н формуле (2425Ь ' Учитывая (24.ЗГ>), пс еленине равенства могут быть вычислены примерно по еледуюспей стене: 34$ 4 24. Учет спина в гелнепоиобных атомах гЫ Фиг.
24Л, Ориентаоия спинов злеитроиов в атоме гелия -е, с)от»ааелий >тарагелий ~ Пара-, ортогелкй. Мы получили волновые функции, которые характеризуют две системы состояний. Одна система состояний (парагелий), когда волновая функция симметрична относительно перестановки координат [см. (24.25)) и общий спин равен нулю, другая (ортогелий), когда волновая функция антиснмметрична относительно перестановки координат (см. (24.24)] и общий спин равен единице (фиг.
24.!). Заметим, что оба типа атомов гелия: парагелий и ортогелий — являются замкнутыми, т. е. не переходящими друг в друга. В замкнутости обеих систем можно убедиться непосредственным расчетом. 1хейсгвительно, матричный элемент, соответствующий дипольному переходу пз ортогелия в парагелий (г,,) = ~ й>" (г,т,) (т, + гт) тр' (г,гз) й'х = = ( т)' (г,г,) (г, + г,) т)>я (г,г,) пат = = — ~ ф* (г,т'>) (г, + г,) з)' (г>гт) с(ах, (24.50) оказывается равным нулю, поскольку ' (гс.
а ) = (ге. а) = О. (21 51) Вместе с тем не исключено взаимное преврап>ение этих состояний при воздействии третьих частиц. Например, в результате бомбардировки ортогелия электронами место выбитого электрона мо кет заменить другой с противоположной ориентацией спина. Энергетический спектр атома гелия. Общий орбптальныи момент А в результате сложения орбитальных моментов двух электронов т> и (т (рессел — саундерсовская связь) должен принимать целочисленные значения. В частном случае, если ' В (24 ЗО) мы произвели замену переменных интегрировании и иосполь- аоичлнсь сиоас>иом симме>),ии волновых Фунииий.
34З Ч А С Т и !!!. ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ 1! = 1а = ! (оба электрона в р-состоянии), общий орбитальный момент может быть равным 1.=2, ), О. Это соответствует сложению моментов по векторной модели: 1) 1. = 2. Моменты параллельны: 1! )"!' 1Я У. = 1! + 1, = 2. 2) У, = !. Складываемые моменты расположены под углом 60'! У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
