Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Подставляя выраженную отсюда напряженность электрического поля в уравнение (3.32), получим д'М Т, деле! т!Че де —, е (оо! О дм М дхе М дхе е е)= Если в полученном уравнении пренебречь последним слагаемым, то, учитывая гармоническую зависимость плотности ионов от времени и координаты, мы придем к дисперсно~ному соотношению (3.10), устанавливающему связь между частотой т! и волновым вектором й! ионного звука: Для учета взаимодействия ионного звука с плазменными колебаниями необходимо проследить за движением электронов в поле слабой плазменной волны. Для этой цели воспользуемся уравнением Максвелла (см. задачу 3.9) для электрического поля слабой плазменной волны, учитывая, что ее магнитное поле равно нулю.
Имеем дЕ' — +4л)' = О, д! где Е' — электрическое поле слабой плазменной волны, 1' — создаваемая ею плотность тока. При анализе этого уравнения для простоты будем пренебрегать тепловым движением электронов, которое приводит лишь к малой $ 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ 205 поправке для частоты колебаний (см. формулу (3.7)). В этом случае в выражении для плотности тока можно пренебречь изменением плотности электронов под действием давления электронов за счет рассматриваемой плазменной волны, и плотность электронов будет равна Ж, + )У; (Ж, включает в себя равновесную плотность заряженных частиц и изменение плотности под действием первоначальной плазменной волны, Ж; †колебан плотности, связанные с движением ионов).
Соответственно, скорость электронов равна и,+о', (и„, и,' — скорость электронов, движущихся под действием первоначальной н слабой плазменнон волны). Отсюда для плотности тока, создаваемого слабой плазменной волной, получаем (' — — е(Ж,+У;) (с,+и,')+ей,п, = — ег7,о,'— г(У;и„ причем квадратичными членами по малой амплитуде колебаний мы пренебрегли. Рассматриваемое уравнение Максвелла принимает внд дЕ' 4пеlУео — 4пел7 и', б Для уравнения движения электронов имеем т дие — = — ЕЕ . Н Исключая из этих уравнений напряженность электрического поля слабой плазменной волны, приходим к следующему уравнению для скорости электронов под действием слабой плазменной волны (3.35) Здесь ы, (4п)У,е' т)н' — частота плазменных колебаний, полученная в пренебрежении тепловым движением электронов.
Как видно, не учитывая взаимодействие слабой плазменной волны с первоначальной плазменной волной и ионным звуком (это соответствует пренебрежению последним членом в уравнении (3.35)), мы получим, что частота слабой плазменной волны совпадает с плазменной частотой, что отвечает использованным предположениям. Решим совместно систему уравнений (3.34), (3,35), Зададим искомые величины в виде и, —.. и„з|п(й,х — ы,(), п,=асоз(л,х — ы,г), Ж~--- ЬЖ, соз(й;х — азф, где а, 6 — медленно меняющиеся амплитуды колебаний, сз„л,— частота и волновой вектор слабой плазменной волны; со,, л;— частота н волновой вектор ионного звука, У, †равновесн плот- Гл. 3. волны В плАзме ность заряженных частиц, причем в уравнении (3.35) полагаем Ж,-= Л'е.
Учитывая медленность изменения амплитуды волны и одинаковую зависимость слагаемых от координаты и времени, из уравнений (3,34), (3.35) получаем юе юе+ю1 йе де+а. (3.36) Это условие аналогично параметрическому резонансу, когда мы имеем систему двух связанных осцилляторов. Поэтому неустойчивость, к которой мы далее придем, является одним из типов параметрической неустойчивости. С учетом медленности изменения амплитуд колебаний и условий (3.36) система уравнений (3.34), (3.35) переходит в следующие уравнения для амплитуд колебаний: да ые да пей! — = — — еиЬ, — = — — гиа.
д! 4 е ' д! 4Л4ы. Решение этих уравнений соответствует раскачке колебаний (а, Ь ет') с инкрементом атме ! е !яме еЕе у — е!.е — ' и й -= — ете — ' — я . 4 У М ! ' У Таким образом, плазменное колебание неустойчиво и может распасться на плазменное колебание меньшей частоты и ионный звук. Такая неустойчивость носит название распадной. При этом инкремент нарастания новых колебаний пропорционален амплитуде распадающейся волны. Задача 3.34. При большой амплитуде волны *) возникает зависимость частоты волны от ее амплитуды, которая имеет внд ю рй) + аЕ', где ю (й) — зависимость частоты волны от волнового вектора й в пределе малой амплитуды, Š— характеристика, связанная с амплитудой колебаний (например, напряженность электрического поля, создаваемого волной).
Рассмотрим одномерный волновой пакет, составленный из волн с малым разбросом !И волновых векторов (ез)г< 'й). Прн большой амплитуде волны в результате взаимодействия этот пакет может сжаться или распасться на ряд отдельных волновых сгустков. Это явление носит название модуляционной неустойчивости. Показать, что модуляционная неустойчивость может иметь место при выполнении условия 'гв ~ () д„ дй где о, — групповая скорость волны.
*) Имеются в виду различные колебания плазмы, такие, как плазменные колебания, ионный звук, магнитозвуковые волны и т. д. ЗЗ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ 207 Рассмотрим расплывание одномерного пакета волн. Имеем для амплитуды волны в точке рл а (х, г) =.'У, 'а (/г) ехр (йх — ко() (а(й) — амплитуда волны с волновым вектором й). Пусть й,— средний волновой вектор рассматриваемого пакета. Проведем разложение частоты волны: Рл=га(~)+ЯЕ'=РР(йр)+ — ~ (й — йр)+ — —, ~ (й — 6,)*+иЕ'=— О+ ГР( 0)+ 2 да ~ ( 0) +сРЕ дм где ра,=гр(й,), п„р= — — групповая скорость волны.
Используя это разложение, получим а(х, г) = ~„а(л) ех1~1(л — й,)(х — х,) — Ирхр— ГР— 1(а — ар) да ~ Р— (сРЕ (х) Р1, где х,=п,р1. Из полученного выражения следует, что пакет невзаимодей- ствующих волн, который движется с групповой скоростью, рас- плывается на расстояние порядка его размера 1 — 1,~Лй за р дргр~ время порядка т ~ЛНР— Р ) . Последнее слагаемое в эксподь / ненте, отвечающее нелинейному взаимодействию волн, приводит к модуляции волнового пакета.
При этом сжатие волнового пакета или его распад на отдельные волновые сгустки может иметь только в случае, если последнее и предпоследнее слагаемые в экспоненте имеют разный знак. Только в этом случае нели- нейное взаимодействие волн может компенсировать расплывание пакета. Отсюда находим, что модуляционная неустойчивость может развиваться только при выполнении условия дртр а — (О, дФ Это условие носит название критерия Лайтхилла.
Задача 3.35. Исследовать распространение нелинейных длинноволновых колебаний типа звуковой волны в плазме. Дисперсионное соотношение для этих волн имеет вид .=,„,й(1 ф), (3.38) причем для рассматриваемых длин волн йгр((1. Получить для таких волн уравнение, учитывающее дисперсию и нелинейность. Гл. 3. Волны В плАзме Проанализируем уравнение Эйлера (1.18) для скорости движения частиц в волне: др др Р— +о — — — =О. рц дх М Здесь г (х, 1) — скорость частиц в продольной волне, направленная вдоль оси х; р — сила, действуюшая на частицу плазмы; М вЂ” масса частицьь В линейном приближении, считая скорость частиц в волне малой по сравнению с характерными скоростями, представим о=о„р+о', так что о„,— скорость волны, о' — скорость частиц плазмы в системе коордйнат, где волна покоится, причем о'((огр.
Поэтому в линейном приближении имеем дге дм Р '+,, ' — =О. дР гР дх М При этом последнее слагаемое является линейным оператором относительно о'. В гармоническом приближении о' ехр (Йх — 1рэГ). Определим вид оператора р(М, потребовав, чтобы уравнение Эйлера привело нас к дисперсионному соотношению, указанному в условии задачи. В результате получим др' ( ды гр дго' дг гР (, дх 2 дхР ) Последнее слагаемое учитывает слабую дисперсию длинно- волновых колебаний. Теперь учтем нелинейность волн небольшой амплитудьь Она определяется вторым слагаемым, в котором в линейном приближении мы заменили скорость частицы плазмы о на скорость волны о„. Вернем это слагаемое к первоначальному виду, включив таким образом в уравнение нелинейность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
