Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В одном из них раскачка колебаний обусловлена различным характером взаимодействия отдельных групп заряженных частиц с волнами. Такие неустойчивости, которые в конечном счете приводят к перераспределению заряженных частиц по скоростям, носят название кинетических неустойчивостей. Примером кинетической неустойчивости является пучковая неустойчивость, которая возникает при прохождении пучка электронов в плазме.
В этом случае электроны пучка резонансно взаимодействуют с плазменными колебаниями и, раскачивая их, замедляются. Другие типы неустойчивостей вызывают пространственное перераспределение заряженных частиц в плазме. Среди них наиболее быстро развиваются гидродинамические неустойчивости. Они возникают, если пространственное распределение плазмы неустойчиво по отношению к малым перемещениям. В этом случае при развитии неустойчивости происходит распад пространственной конфигурации плазмы. Более медленными являются диссипативная или перегревная неустойчивость, основу которой составляет повышенное выделение энергии в некоторой области плазмы прн малых возмущениях, а эгот эффект далее усиливает возникшее возмущение плазмы.
Еше более медленными оказываются дрейфовые неустойчивости, которые развиваются за времена ухода заряженных частиц из плазмы. Развитие неустойчивости приводит к тому, что нарастающие волны достигают конечной амплитуды, которая определяется их $2. зхтуххнне и РАскхчкА Волн В плхзме !77 взаимодействием с частицами и другими типами волн плазмы. В результате в плазме может быть возбуждено болыпое число волн и шумов, взаимодействие которых с плазмой приводит к нерегулярному поведению электрических полей, возникающих в плазме, а также других параметров плазмы. Такое состояние плазмы называется турбулентным.
При этом в колебаниях и шумах плазмы сосредоточена конечная энергия, которая может быть сравнима с тепловой энергией плазмы. Для анализа явлений, характеризующих возникновение н развитие турбулентности плазмы, необходимо исследование взаимодействия волн конечной амплитуды с плазмой и друг с другом. Эти взаимодействия приводят к целому ряду своеобразных и изящных эффектов. К их числу, в частности, относится модуля.
ционная неустойчивость, которая связана с распадом пакета волн, .распространяющегося в плазме, на отдельные сгустки †солито Задача 3.17. Исследовать затухание плазменных волн в бесстолкновительной плазме. Представим частоту плазменных колебаний в виде оа=йеоо †(б, Согласно дисперсионному соотношению (3,7), для коэффициента /ОΠ— АОо затухания плазменных волн ( — <1( получим пооо д "О'о Р)о ~ (3.26) Если величина — ~ отрицательна, то знак 6 соответствует д)о дРо„. о =~о/О затуханию волны. Этот тнп затухания носит название затухания Ландау.
В частности, при максвелловской функции распределения коэффициент затухания Ь равен (3.27) / Как следует отсюда, при гого -(я!Во,))~ Т~т~~ 1 коэффициент за-. тухания много меньше частоты плазменных волн. Если величина — ~ положительна, то коэффициент затуо д)о дох о =ооы ханна отрицателен н волна усиливается. Она забирает энергию от электронов и нарастает до тех пор, пока не станут существенными нелинейные эффекты, обусловленные взаимодействием между волной и частицами. Таким образом, распределение электронов с положительной производной функции распределения неустойчиво по отношению к появлению плазменных волн.
Такая ситуация имеет место, если в плазму запускается пучок электронов. Даже в отсутствие столкновений с частицами газа электроны замедляются, отдавая свою энергию быстро нарастающим плазменным волнам. Такой тип неустойчивости носит название, пучковой неустойчивости. гтв гл. з. волны в плхзма Выясним физику затухания и раскачки колебаний. Для этого перейдем в систему координат, в которой волна покоится.
Те электроны, энергия которых в системе координат, связанной с волной, меньше амплитуды колебаний ()е (рис. 3.2), захватыва- ются потенциальной ямой. ддалааааа ааааарааааааааааааарво Они находятся в этой яме, забирая и возвращая энергию волне до тех пор, поярааеаааа ка обмен энергией с друааааа»аааааааа а гимн электронами не вы- Ъ~ ведет их из этого состоявв. ния. Если скорость элект'р рона, захваченного волной, несколько превышает фазовую скорость волны, то, отражаясь от стенок поРис.
3.2. Взаимодействие плазменных волн тенциальной ямы, он отс злектронгми. дает энергию волне. Действительно, пусть электрон со скоростью оф+и отразился от стенки потенциальной ямы. Прн упругом рассеянии от стенки ямы он меняет скорость и на — и в системе координат, связанной с волной. Изменение энергии электрона в лабораторной системе координат равно '/есп (оф — и)' — хает (не+ и)' = — 2тофи, так что он отдает энергию волне. Захваченные электроны, скорость которых меньше фазовой скорости волны, приобретают энергию от волны.
Чтобы определить знак обмена энергией между волной н всеми электронами, проинтегрируем изменение энергии по всем захваченным электронам. Имеем о, ') р(эф+и)Леди=- —,1 ') идее».зи, и,= ~/ — ', а» -а» ибо изменение энергии одного электрона Ле = — 2глэфи при взаимодействии с волной — нечетная функция скорости и. Таким образом, знак обмена энергией между электронами и волной определяется знаком производной — ~ .
Если эта произ- д) дах еф водная отрицательна, т. е. медленных электронов больше, чем быстрых, то электроны забирают энергию от волны н волна затухает. Прн положительном знаке — ~ электроны отдают энерд/ дох»ф гню волне, амплитуда волны увеличивается н возникает неустойчивость. Используя простые соображения, мы не могли определить величину коэффнцнента затухания, нбо при этом мы не учитывалн обмена энергией между электроном н волной, когда элект- 52. ЗАТУХАНИЕ И РАСКАЧКА ВОЛН В ПЛАЗМЕ 179 рон движется внутри потенциальной ямы. Однако из этой простой физической картины можно получить критерий применимости формулы (3.26), что трудно определить нз других соображений. Как видно, двигаясь в правой части потенциальной ямы, электрон отдает энергию волне, поскольку компонента скорости электрона вдоль волны со временем уменьшается.
Но, перейдя в левую часть потенциальной ямы, электрон забирает энергию от волны. Если бы не было столкновений между электронами, то захваченный электрон бесконечно долго колебался бы в потенциальной яме, обмениваясь энергией с волной и меняя свою скорость по периодическому закону. Однако при выводе формулы (3.2б) мы считали, что функция распределения электронов по скоростям не зависит от волны.
Это означает, что частота установления равновесия электронов по скоростям т значительно превышает частоту колебания отдельного электрона в потенциальной яме в (в(~т). Частота колебания электрона ы и,Ф ~ГеИ„'тя *Р' еЕ'Ют (Е' ((ой), здесь Е' — напряженность поля в волне, й — волновой вектор волны. Отсюда еЕ'<~ тч'(й, где ч — частота столкновения электронов с электронами нли другими частицами плазмы, приводящая к обмену энергией порядка еЕ'('л.
Задача 3.18. Определить коэффициент затухания плазменных, колебаний в результате столкновения электронов с частицами плазмы, Для интеграла столкновений использовать т-приближение (см. задачу 1.20). Дисперсионное соотношение для продольных колебаний представим в виде е (ы, Й) = О. Действительно, возникновение случайных полей в плазме вызываег перемещение заряженных частиц, что компенсирует действие этих полей. Поэтому электрическая индукпия, отвечающая собственным колебаниям плазмы, равна нулю. Для изотропной плазмы это условие соответствует обращению в нуль диэлектрической проницаемости. В рассматриваемом случае для диэлектрической проницаемости плазмы используем формулу (2.426).
Подстановка этого выражения в дисперсионное соотношение в пределе й — 0 дает щй 1= м (м+ ~/т) ' 1ВО ГЛ. 3 ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ Учитывая в этом соотношении, что в,т>) 1, перепишем его в виде га — - во ~во~т в ва ~ Р~. Как видно, ро.ль столкновений сводится к тому, что в правую часть дисперсионного соотношения (3.7) для плазменных колеба- ний следует добавить член — 1в,(т. Таким образом, столкновения электронов с частицами плазмы приводят к затуханию плазменных волн с инкрементом затухания 1)(2т).
Плазменные колебания существуют, если выполняется условие в,т>) 1. ! Задача 3.19. Показать, что электрон-электронные столкновения в идеальной плазме не могут привести к коэффициенту затухания плазменных колебаний, сравнимому с их частотой. Коэффициент затухания плазменных колебаний, обусловленный электрон-электронными соударениями, порядка частоты столкно- вения между электронами, 6 Л'оп, где Л' — плотность электронов, о — T77пг — характерная скорость столкновения электронов, и е'/То †сечен соударения электронов, обусловленное куло- новским взаимодействием между ними. Сравнивая частоту столкно- вений с частотой плазменных колебаний, находим 6 Х ГеТ~теа~ То /еаза ~ По1 ва ва «') ~< ! Задача 3.20.
Определить коэффициент затухания плазменных колебаний на основании уравнения даи кения отдельного электрона в поле волны. Уравнение движения электрона в поле волны имеет вид ~ох пг — ' = — еЕ)соз'(ах — в1), ш где Š— напряженность «поля в волне. Мы рассматриваем волны малой амплитуды, так что это уравнение можно решать по тео- рии возмущений, причем малый параметр теории возмущений про- порционален Е. Представим скорость электрона в виде разложения и„= о,+ о, + па+..., где о„- Е". Получим из уравнения движения пг — '=О, — = — еЕ сов(йх,— вг), Леа м Лоо ш ' ег пг — „' = — еЕ «сов«а(х,+х ) — в() — соз(йх,— в1)) = = еЕйх, э|п (йхо — вг) = еЕй 5 з1п (йх,— вг) и, е(г, а где координата электрона х=хо+хо+..., а х, отвечает нулевому приближению, х,+х,— первому приближению и т.
д. При этом при 1=0 о,=сопз1 и о,=во =... =-О„=О. 52. ЗАТУХАНИЕ Н РАСКАЧКА ВОЛН В ПЛАЗМЕ Изменение энергии электрона в единицу времени с точностью до членов Е' равно ае ас„аст ИР! А~о — = ти . —" = ти — „+ ти — + то —. т л и о д! е е! о д! Решим уравнения движения для электрона и найдем величины, необходимые для определения выражения е(е(с(!. Имеем в нулевом приближении: х, =- и,г+а, где а — координата электрона в началь- ный момент времени.
Отсюда в первом приближении еЕ 5!и [(Асо — в) (+аь1 — ми аь еЕ ) соо Аа — соо (Аа+(Асс — в) (1 ! 5!п Аа( «е '! ((еео — в)' х! = ~ и, с(! о Усредним величину Ие!й по начальному положению электрона а. Так как з!пйа==созйа — О, з и'йа=-созойа — 1)2, то получаем Й е Е (5!и (!есо — в) ! Роьеоп (есо — в) ! со(е! сао,(ьао — в) (~ е(! 2 1,еао — в + +' (есо (Аоо — в)о Найденное выражение усредним по скоростям электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
