Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 36
Текст из файла (страница 36)
С другой стороны, за время развития ионизационной неустойчивости не успевает произойти отвод тепла. Наша задача при установлении ионизационной неустойчиэостн— выяснить соотношение между законами изменения энергии электронной компоненты н плотности электронов.
Определим эту связь. Тепловыделение единицы объема в единицу времени равно ГЕ (( — плотность тока, Š— напряженность электрического поля). Пусть мы имеем возмущение плотности электронов й(;, которое въгзывает возмущение напряженности электрического поля Е' и средней скорости электронов тп'. При этом изменение энергии, получаемой электронами в единице объема в единицу времени равно )Р" = — еЖ' ио,Е,— е)о', и'Е,— еео', гп,Е', где индексом «Ъ отмечены невозмущенные значения параметров. Используем ранее полученное соотношение между напряженностью электрического поля и средней скоростью электронов.
Это соотношение в силу линейности связывающих данные параметры уразнений одинаково для невозмущенпых и возмущенных параметров и имеет вид тч ее Е == — — тп — — ~ ао„тао1. е На основе данного соотношения получим для изменения тепловыделения в единице объема в единицу времени за счет рассматриваемого возмущения я7' =.— йГ' тев, 'ч + 2Мотчп„чп' ч. Связь между возмущением плотности Л" и скорости электронов ш' получим из уравнения непрерывности для электронов, которое в силу медленности развития неустойчивости представим в стационарном виде: йч (Жеэ) О.
Подставляя зависимость возмущений от координаты г в виде е"А, где Ф вЂ волнов вектор рассматриваемого колебания, получим ~1о(чп й)+й' (гпой) --б. Зг. зхтиххнив и гаскхчкх волн в плазма 195 Следующая наша задача — исключить из выражения для изменения получаемой электронами энергии возмущенную скорость электронов тв'. Но для этого необходимо определить направление тп'.
Используем тот факт, что возмущение развивается медленно и поэтому является потенциальным, т. е. Е' =- — 7~9' (~р'— возмущение для потенциала электрического поля). Тогда, учитывая, что зависимость возмущенных параметров от координаты <р' — е'", получим: Е' = — 1Фр', т. е. векторы Е' и я лежат на одной линии (но не всегда совпадают по направлению). На основе этого, используя соотношение между величинами тв' и Е', получим тв' =сонэ( (Й вЂ” — '(Лгал)).
1 Умножая вектор тп' на себя, с точностью до знака найдем значение коэффициента пропорциональности, В результате выражение для вектора возмущения скорости представим в виде м' (М вЂ” (дан)) ми.р ч 1/ 2, 3 Подставим это выражение в соотношение, полученное из уравнения непрерывности. Это дает ш = =Р— — г ыл+т сова, чье/ 2 2 ха т где сова -=А,1й (и — угол между векторами Ф и тв,). Используем полученное соотношение в выражении для изменения энергии, приобретаемой электронами в единице объема в единицу времени. Получим К ' = Л1™а (1 — 2 соз' а+ ылт 51п 2а), причем это соотношение не зависит от выбранного знака в выражении для тв'.
Изменение энергии, отдаваемой электронами атомам газа в единице объема за единицу времени, определяется упругими соударениями электронов с атомами газа. Выражение для этой величины было найдено в предыдущей задаче, и с учетом соотношения между возмущениями температуры и плотностью электронов-составляет Л,'„у( т; е где %'„= то4тЖ,— энергия, рассеиваемая электронами в единице объема за единицу времени в результате соударения их с атомами. ГЛ. 3. ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ С учетом полученных соотношений приходим к следующему уравнению баланса для энергии электронной компоненты, содержащейся в единице обьема: — ~ — Ж Т ~ = йГ'шпет ~ — з~п2а — созек — — '~.
т,~ ее~э е е) е е Проанализируем выражение, находящееся в скобках в правой части полученного уравнения. Если это выражение положительно, то всякое случайное отклонение плотности электронов от равновесного значения продолжает увеличиваться, т. е. возникает неустойчивость. Данное выражение как функция направления волнового вектора для возникающего возмущения (пли угла а) имеет максимум при 1д 2а — — ы„,ет.
Для такого возмущения уравнение баланса для плотности энергии электронной компоненты приобретает вид й еТе ] " й еелеейв ( 1 ). Отсюда следует, что ионизационная неустойчивость при рассматриваемой конфигурации полей имеет порог. При заданных условиях задачи она имеет место, если ын!т)~Г 2Т,~3. При больших значениях параметра ы„,'т ионизационная неустойчивость возникает в случае возмущений, распространяющихся под углом 45" к направлению тока; при малых значениях этого параметра наиболее неустойчивые возмущения распространяются почти перпендикулярно к току. Задача 3.29. Исследовать возникновение токово-конвективной неустойчивости для слабоионизованной плазмы положительного столба газового разряда.
Плазма имеет цилиндрическую симметрию, вдоль оси цилиндра включено постоянное магнитное поле Ат', и электрическое поле Е„создающее ток электронов в газоразрядной плазме. Плазма неоднородна по радиусу, электроны и ионы плазмы замагничены. Рассматриваемую неустойчивость можно представить себе следующим образом. Допустим, в некотором сечении мы повернули электроны относительно ионов. Такое движение вызывает появление азимутального электрического поля, которое поддерживает возникновение этого движения. Теперь разберемся в характере рассматриваемой неустойчивости.
Она развивается достаточно медленно, так что при этом квазннейтральность плазмы сохраняется. Допустим, что мы создали малую неоднородность плазмы в направлении тока, т. е. плотность плазмы в соседних сечениях цилиндра различна. Поскольку через плазму протекает ток, который должен сохраняться, то уменьшение плотности плазмы в некотором о 2. ЗАТУХ ОННЕ И РАСКАЧКА ВОЛН В ПЛАЗМЕ !97 сечении должно компенсироваться возникновением дополнительного электрического поля. Теперь допустим, что мы создали «косое» возмущение плотности, так что для его компенсации возникает электрическое поле, направленное под некоторым углом к оси цилиндра.
Тогда азнмутально направленная компонента электрического поля заставит вращаться электроны и ионы, н при соответствующем направлении возмущения будет его усиливать, т. е. приведет к возникновению неустойчивости. Давайте получим дисперсионное соотношение для рассматриваемых возмущений. Плазма квазинейтральна н замагничена, так что электроны и ионы движутся во внешнем магнитном поле со скоростью тв =-. с— ( Роо) Но о где Š— напряженность электрического поля. Магнитным полем волны в силу медленности возмущения можно пренебречь. Кроме того, по этой причине поле потенциально, т.
е. Е=- — 7~, ~р— потенциал электрического поля. Используем условие сохранения плотности тока: /, == ХЕ„ где Х вЂ” проводимость плазмы, Е,— напряженность электрического поля вдоль оси г, которая направлена параллельно оси цилиндра. Напряженность электрического поля является суммой напряженностей внешнего поля и поля волны. Учитывая, что все характеристики волны пропорциональны ехр(цзг — ио(), имеем для напряженности электрического поля Е, = Е, — Ид. Проводимость плазмы пропорциональна плотности электронов, так что где Х„Фо — проводимость плазмы и плотность электронов при отсутствии возмущений; Х', Й; — те же величины, связанные с рассматриваемыми возмущениями.
С учетом полученных соотношений условие сохранения плотности тока в направлении поля представим в виде — Хо(й,~р+ ГЕ, = О, или — йд+ — ' Е, = О о Уравнение непрерывности для электронов имеет вид д~Ч д А'о — + б1у (йг, тв) — - Ю, —; = О. Здесь Й>,— коэффициент амбиполярной диффузии для плазмы. Прн этом мы пренебрегли диффузионным потоком электронов в направлении, перпендикулярном магнитному полю, считая диффузионный поток электронов в этом направлении малым. Огра- ГЛ. 3.
ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ 198 ничиваясь членами первого порядка малости и учитывая зависимость возмущенных параметров от времени и координаты, преОбразуем это уравнение к виду ( — мв -1- й',Ю,) У;+ ш„— ' = О, где ось х выбрана в направлении наиболее резкого изменения равновесной плотности. Из ранее полученных соотношений получим выражения для азимутальной скорости электронов гЕц с .
азгЕа А' Подставив его в полученное уравнение, приходим к следующему дисперсионному соотношению: аэ аЕа 1 Л!п Уа и~ дая + а где а а В рааью дх Отсюда следует, что рассматриваемая неустойчивость (1шы (О) развивается при соответствующем знаке отношения й„4,. Эта неустойчивость имеет порог по электрическому полю.
Что касается магнитного поля, то на него с самого начала наложено условие, что оно достаточно велико, При рассматриваемых соотношениях оптимальные условия для раскачки неустойчивости отвечают напряженности магнитного поля, для которой ларморовская частота вращения ионов сравнивается с частотой соударения ионов с частицами газа. Токовоконвсктивная неустойчивость имеет порог, который связан с диффузией заряженных частиц. Именно, если процесс диффузии происходит быстро, то диффузия рассасывает возмущения в плазме, не позволяя им развиваться. Задача 3.30.
Выяснить возможность появления неустойчивости в газоразрядной слабоионизованной плазме, в которой ток задается внешней цепью. Считать, что возникающее в плазме возмущение переносится вместе с током. При заданных условиях мы имеем слабоиоиизованную плазму, находящуюся в электрическом поле. Под действием этого поля в плазме поддерживается ток электронов. При этом, если сопротивление внешней цепи значительно превосходит сопротивление разрядного промежутка, то ток в разрядном промежутке не изменяется со временем. В такой системе могут возникнуть возмущения плотности электронов или друтих характеристик плазмы, которые переносятся вместе с электронами.
Наша задача — выяснить устойчивость системы относительно таких возмущений. Будем считать данные возмущения, которые распространяются вместе с током по оси х, малыми. Используем уравнение непре. ээ ЗАТУХАНИЕ И РАСКАЧКА ВОЛН В ПЛАЗМЕ 199 рывности и уравнение Пуассона.
Имеем дУ, дЕ' — '+б1У/ =О, д1 дк - — 4педг;, где А1;, Е' — изменение плотности электронов и напряженности электрического поля за счет возмущения, 1,— ток электронов, так что деУе ®д Знак минус в первом слагаемом учитывает, что дрейфовая скорость электронов направлена в сторону, противоположную электрическому полю, А1, †. Ага+ Аг, †полн плотность электронов, пе — дрейфовая скоррсть и Я вЂ коэффицие диффузии электронов. Подставляя зависимости для возмущений У;, Е' ° ехр (1йх — ио1) н считая возмущения малыми, получим днсперсионное соотношение для рассматриваемой волны: оэ = Йгп — 1'ЮЙ вЂ” а4лей1 —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
