Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Это приведет к следующему выражению для изменения энергии электронов в единицу времени в единице объема: а(и, е'е'У, г1~( ( 5!и (йео — в) ! оооо!п ((еоо — со) ! ~ Л' 2ае,)~ о ( Аоо — в (Асо — со)о сое! сио(асс — в) ! ! ~ с(ио. (!со — со где функция распределения электронов по скоростям нормирована на единицу и интеграл берется в смысле главного значения.
Устремим ! к нулю. При этом первое слагаемое обратится в нуль. Подынтегральные выражения последних двух слагаемых имеют особенность при и, =-в!й, так что в этих слагаемых перейдем к пределу ! О после интегрирования по скоростям. Поскольку Г ((Ре) Ь„ интеграл хе' ь," " берется в смысле главного значения, то эта величина конечна. Поэтому при ( О последнее слагаемое обращается в нуль и не вносит вклада в интеграл е(1(7,/Ж. При вычислении интеграла от второго слагаемого в подынтегральном выражении разложим функцию распределения Г(ио) по степеням и,— в(й. Интеграл от первого члена разложения равен нулю ГЛ. 3. ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ 182 в силу нечетности подынтегральной функции, от второго члена равен о о д!Гее е'Е' д( ! ео . Г Б!и (йео — ое) ! д! 2ж ' дох ~о =оей А ' о,~ йоо — ео -е.
ей Ге'ееоЕоео д! ( (' о!и г ЯгоЕоаЛ'е !д) 2йей~ до (ох=ойй,) г 2йойо до. ~о„оей' Интеграл от остальных членов разложения обращается в нуль при 1 — О. Изменение плотности энергии волны й7, равно да'о сЛ' д! и причем плотность энергии волны Ео Ео В' — — соз' (йх — !В1) = —. 4а 8я ' Изменение плотности энергии волны в единицу времени '.х~о>/й откуда ибо частота волны ой — ыо. В этом приближении данный результат совпадает с формулой (3.26). ! Задача 3.21. Рассмотреть возбуждение плазменных колебаний при движении в плазме монохроматического пучка электронов малой интенсивности.
Пувть пучок о'.Входит в плазму со скоростью и, плотность электронов плазмы равна Л1„ плотность электронов пучка Л!о, температура плазмы равна нулю, Наша задача получить дисперсионное соотношение для плазменных колебаний в этом случае и определить декремент нарастания этих колебаний. Как обычно, мы рассмотрим малые колебания и представим параметры пучка и плазмы в виде компоненты, имеющейся в отсутствие колебаний, плюс малая добавка за счет колебаний, которая меняется по гармоническому закону. Для электронов плазмы из уравнения непрерывности и уравнения движения получим: — иоФ;+ ИЖ,ю,' =-- О, — иотгв,' — —.
— ЕЕ', где и!,', У; — скорость электронов плазмы и плотноеть электронов плазмы, которые обусловлены колебаниями; Е' — напряженновть электрического поля, создаваемого за ечет колебаний. Исключая о 2. ЗАТУХАНИЕ И РАСКАЧКА ВОЛН В ПЛАЗМЕ 1ВЗ из этих уравнений скорость электронов, получим оьеВ' Подобным образом получаем систему уравнений для электронов пучка: — оооМ„'+ ЙиМ„'+ ЙМ„ш,' = О, — ооотш„'= — еЕ', где ш„', М'„ †скорос и плотность электронов пучка, обусловленная колебаниями. Исключая отсюда вызываемую колебаниями скорость электронов пучка, получим о'Аед' Мп — ( о )о Мл. Далее воспользуемся уравнением Пуассона, которое в данном случае имеет следующий вид: (яЕ' = — (4ле (М;+ М„'). Подставляя сюда выражения для величин М;, М„' и сокращая напряженность электрического поля, приходим к дисперсионному соотношению в форме: о1о + оооло~®о (3.28) (оо — Фи)о ' где ооо= (4ЯМоео)т)ие — частота плазменных колебаний длЯ электронов плазмы.
В отсутствие пучка (М„ = О) зто дисперсионное соотношение принимает вид оо = оо„ в который переходит формула (3.7) при нулевой температуре плазмы. Наиболее сильное взаимодействие пучка имеет место с волнами, у которых фазовая скорость оо/д близка к скорости пучка. Кроме того, частота плазменных волн близка к плазменной частоте. Поэтому далее мы рассмотрим волны с частотами оо =ооо+6 Наибольшие значения коэффициента нарастания, являющегося мнимой частью 6, отвечают волнам, волновой вектор которых равен (е=ооо/и.
Подставляя данное разложение с указанным значением волнового вектора в дисперснонное соотношение и разлагая по параметру 6/оо„ получим 6 оо л '" ее пол/з о(,2Жо7 где п — целое число. Поскольку (6/ойдо(=(М„)2М„)но<' 1, то выполненное разложение законно. Проанализируем полученный результат. Зависимость плотности электронов от времени н координат имеет вид М = М,+М;ехр( — ооо(+йх), $ 3.
ЗАТУХАНИЕ И РАСКАЧКА ВОЛН В ПЛАЗМЕ можно пренебречь по сравнению с ыздзз. Это дает ьз = йи (1-~д' йз,/зу,). Два других решения соответствукп ы )) йи. Для них вторым слагаемым в правой части дисперсионного соотношения (3,28) можно пренебречь по сравнению с первым, так что эти решения имеют вид Поскольку первые два решения мнимые, они не могут быть получены из рис.
3.3. Поэтому в рассматриваемом предельном случае на графике представлены только два последних решения. При этом равное единице значение ординаты соответствует прямой 2, Существенно при этом, что во втором случае решения комплексные, так что одно из них отвечает раскачке колебаний электронным пучком. (Фазовая скорость колебаний Вз(й совпадает со скоростью электронов в пучке,) Очевидно, порог появления неустойчивости отвечает переходу от одного предельного случая к другому.
На рис. 3.3 это соответствует случаю, когда единичная ордината касается внутренней кривой графика (3.28) (прямая 3). Решение дисперсионного соотношения (3.28) в пороге появления неустойчивости (прямая 3) дает ( Аз ~з~з 'зз,~ ! -~- (А' Ччз) П' Отсюда находим соотношение между параметрами системы, при которых возможно появление неустойчивости: йи -~) ~ Аз)ыз)з!з )+ 3 (Алоиз При таком соотношении между параметрами в плазме имеются колебания, фазовая скорость которых зз/й совпадает со скоростью электронов в пучке, и поэтому такие колебания хорошо раскачиваются. Энергия электронного пучка в этом случае перерабатывается в энергию плазменных колебаний.
Задача 3.23. Электроны движутся относительно ионов в плазме со скоростью и. Определить порог возникновения неустойчивости, связанной с раскачкой плазменных колебаний. Считать, что скорость электронов в пучке значительно превышает тепловую скорость электронов. Дисперсиопное соотношение в этом случае подобно (3.28) с точностью до замены плазменной частоты электронов в первом слагаемом на плазменную частоту ионов и с учетом, что плотность 186 Гл. 3. Волны В плАзме электронов в пучке равна полной плотности электронов: во 2 во во +(в — 22и)22 где в', =-оаэи!М вЂ” квадрат плазменной частоты ионов, во — плазменная частота электронов, т, М вЂ” масса электронов и ионов соответственно.
Это уравнение эквивалентно днсперсионному соотношению (3.28), так что его анализ может быть проведен по той же схеме, которая была использована в предыдущей задаче. Перепишем дисперсионное соотношение в виде во отво(М (оо — йи)2+ в Порог возникновения неустойчивости согласно результатам предыдущей задачи находится вблизи йи жв,. В этой области параметров будем исследовать полученное дисперсионное соотношение. Положим йи::-- в, + Лв, где расстройка Лв (( в,. Кроме того, в((в,. На основе этого перепишем дисперсионное уравнение, учитывая в первом слагаемом правой части первые два члена РазложениЯ по степенЯм «2)во, Имеем 1= — + — + во 2вво «2й22/М (йи)о (ои)2 во Или, учитывая йи — во=бв((вв получим уравнение А«2 в, ооо т — 2 — +2 — + —,, — =О, во во которое удобно записать в виде + о т 2 М Порог неустойчивости отвечает решению этого уравнения, при котором одновременно ~'(в)=О.
В этой точке происходит переход от трех действительных решений уравнения ((в) = О к одному действительному и двум мнимым. Решение указанных уравнений дает 2 г и2 ~ 2~2 В= ВВ 220)=..— В =З 2 «~М) Таким образом, порог неустойчивости соответствует следующему соотношению между параметрами системы: и~< ~)+2 (ф .1 Данная неустойчивость электронного тока относительно ионов носит название неустойчивости Бунемана. Полученные результаты $2 ЗАТУХАНИЕ И РАСКАЧКА ВОЛН В ПЛАЗМЕ 187 находятся в полной аналогии с результатами предыдущей задачи с точностью до замены величин В2 — геи и Ж„/г1~, в предыдущей задаче на величины <о и т/М соответственно в данной задаче. Неустойчивость Бунемана связана с раскачкой колебаний ионов за счет взаимодействия ионов с пучком электронов, При этом мы считаем, что разброс электронов по скоростям мал по сравнению со скоростью электронного пучка.
Отметим, что рассматриваемые колебания ионов, взаимодействующие с электронным пучком, отличаются от ионного звука (3.9). ! Задача 3.24. Рассмотреть затухание свистящих атмосферик (см. задачу 3.13) в слабоионизованном газе, учитывая столкновение электронов с частицами газа. Свистящие атмосферики — колебания с частотой, много меньшей ларморовской частоты электронов, но много большей ларморовской частоты ионов. Дисперсионное соотношение для свистящих атмосферик получено в задаче 3.13.
Мы выведем его здесь с учетом столкновений электронов и частиц газа. Для этого в уравнении движения электронов необходимо учесть силу трения, обусловленную столкновением электронов с частицами газа. С учетом силы трения уравнение движения для электронов принимает вид ~ЕВе е т — '= — ЕЕ= 1хп ٠— глхп У; ш С е е е ( — Ю+у).2+Ь2НЦ(2~ — 4 Е=02 (3.29) где плотность тока электрона в волне г'=- — е22'еп2,. Пренебрегая пеРвым слагаемым в этом УРавнении (так как 2В((2оее), и под- ставляя найденное отсюда выражение для напряженности элек- трического поля в уравнение (3,22а), вместо (3.23) получим здесь тв, — средняя скорость электронов, Š— напряженность электрического поля волны, 0 — напряженность внешнего магнитного поля, у — частота столкновений электронов с частицами газа, и последнее слагаемое в правой части уравнения описывает силу трения, действующую на электроны в результате соударений с частицами газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
