Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 29
Текст из файла (страница 29)
На основе этого, решая уравнение Пуассона, получим Е 4п)У,еЛх, х ) Лх, так что уравнение движения для электронов, находящихся справа от поверхности раздела, принимает вид ,„-+4лйве' й Это уравнение характеризует колебательное движение электронной компоненты относительно границы раздела с частотой /" 4плое~ (3.3) З Ь МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПЛАЗМЕ Рассмотренный тип колебаний носит название плазменных илн ленгмюровских колебаний, Задача 3.3.
Получить дисперсионное соотношение для плазменных волн, которые отвечают движению электронной компоненты в плазме. Столкновением электронов с частицами плазмы пренебречь. Составим функцию распределения электронов в плазме из двух частей: Г" = 1, (о)+1' (о). Первое слагаемое соответствует функции распределения в отсутствие плазменных колебаний, второе слагаемое определяется наличием плазменных колебаний и мало по сравнению с первым. Учитывая малость колебаний, получим из кинетического уравнения (1.5) следующее уравнение для функции распределения (', отвечающей колебаниям: д1 — + еЧ~' — — ' = О. д~', ЕЕ' д(о хо др (3.4) К этому уравнению добавим уравнение Пуассона йи Е' = — 4пеУ ~ ~' с(то.
(3 5) Здесь функция распределения нормирована на единицу: ~ ~Ито= 1. При написании уравнений (3.4) и (3,5) мы считали, что внешние поля отсутствуют. Представим зависимость 1', Е' от времени и координаты в виде плоской волны ехр[1 (лг — орг)]. Учтем продольность волны (векторы Е' и Й имеют одинаковое направление). Исключая величины ~' и Е' из системы уравнений (3.4), (3.5), получим следующее дисперсионное соотношение для плазменных волн: о (' — доо Фо =1 оь ( до о р» — о»'а (3.6) ох д(о о — 'дро х ооо [ дрх х Ао ),„~(А — оо Подь1нтегРальнаЯ фУнкциЯ 1имеет полюс пРи ох = Бо/й.
Обход этого полюса дает возможность определить мнимую часть Будем считать, что переменные в кинетическом уравнении для функции распределения электронов по скоростям в отсутствие поля разделяются, так что она может быть представлена в виде [(а) =1'(о„) ор(ор). Тогда дисперсионное соотношение (3.5) принимает вид ГЛ. 3. ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ интеграла: +" дГо доа ма ~ до„" .
сон д(а ) причем первый интеграл берется в смысле главного значения разлагая подынтегральное выражение для малых значений волновых векторов, получим оа аа оч д(о ~-~ /о„.а) и . оч д(о л~О Ограничившись первыми членами разложения, имеем — 1+ 3 —, (и,> +1н —, — ~ = 1.
Оаа ~ ааа,) Йа ОАХа а (а/О Или, учитывая, что йа <па) (( ооа, найдем данное рассмотрение приемлемо при о д Задача 3.4. Выяснить, при каком условии в звуковой волне, распространяющейся в газе, выполняются адиабатические условия. где Т вЂ температу газа, х †е теплопроводность, с †тепло- Р емкость единицы объема газа при постоянном давлении. Как следует из этого уравнения, характерное время, за которое тепло передается на расстояние порядка г, оказывается порядка гас„(н. При этом теплоемкость единицы объема газа порядка плотности частиц Ж, характерное расстояние, которое мы должны использовать при оценке времени выравнивания, порядка длины звуковой волны 1/й (й — волновой вектор волны).
Таким образом, условие Это имеет место в случае, если за время прохождения звуковой волной не успевает произойти обмен энергией между областями сжатия и разрежения газа. При этом согласно адиабатическим условиям области сжатия и области разрежения газа бчдут обладать разной температурой. Оценим, какое время т „„ необходимо для выравнивания этих температур, и сравним его с характерным временем, за которое сжатие газа в данной точке пространства сменяется разрежением. Последняя величина порядка 1!ь, где ао †часто волны.
Как видно, условия данной задачи выполняются при выполнении соотношения оот „„)) 1. Уравнение распространения тепла имеет вид — (с Т) = 7(нЧТ), д $ Ь МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПЛАЗМЕ 159 адиабатичности звуковой волны имеет вид: тр„„У(йри, отер„„й(в)йрн» 1.
Теплопроводность газа х порядка пг(п (см. задачу 1.20), где и — характерное сечение столкновения частиц газа, ог-'и' Т1М— тепловая скорость частиц газа (Т вЂ” температура газа, лт — масса частиц газа). Вводя длину пробега частиц газа Х вЂ” 1/Уп и используя дисперсионное соотношение между частотой звуковой волны и ее волновым вектором ы огй, запишем условие адиабатичности звуковой волны в виде: И ~!. Мы получилн, что адиабатические условия в звуковой волне выполняются, если длина звуковой волны много больше длины свободного пробега частиц газа. Задача 3.5. Выяснить условие адиабатичности плазменных волн, распространяющихся в слабоионизованном газе.
Считать при этом, что температура электронов не совпадает с температурой газа и обмен энергией между электронами происходит быстрее, чем между электронами и атомами. Критерий применимости адиабатических условий в волне был получен в предыдущей задаче и имеет вид <~ 1. Используем оценку теплоемкости единицы объема электронного газа ср У„и оценку для теплопроводности, обусловленной электронами, х У,о,/Уп„- Ж,п,), где Ж,— плотность электронов, и,— их характерная скорость, Ф вЂ” плотность частиц газа, А-1(Уτ— длина пробега электронов в газе, а„— характерное сечение соударения электронов с атомами. На осйове этих оценок получим: „ ХАР— ((1.
Введем радиус Дебая — Гюккеля гп п,лз, (вр — плазменная частота, которая порядка частоты ы рассматриваемых плазменных колебаний). Получим следующий критерий аднабатичности плазменных колебаний: ХАБР (< 1. Заметим, что плазменные колебания распространяются в газе, если их плазменная частота в, значительно превышает частоту упругого соударения электронов с частицами газа: в,>) й(п,п„п,!Х. Этот критерий можно записать в виде: Х>) Гр. ГЛ. 3, ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ Отсюда следует, что во всяком случае, если даже длина волны плазменных колебаний превышает или сравнима с длиной пробега электронов в газе (Ивь1), то для плазменных колебаний, распространяющихся в слабоионизованном газе, выполняются адиабатические условия.
! Задача 3.6. Получить дисперсионное соотношение для второй ветви колебаний плазмы, возникающих при отсутствии внешних полей,— ионного звука. Ионный звук представляет собой колебания, связанные с движением тяжелой компоненты плазмы — ионов. Перемещение ионов создает электрическое поле, в котором и происходит колебание ионной компоненты. При этом электроны, как более легкая компонента, успевают быстро перераспределяться, т. е. их пространственное распределение определяется законом Больцмана: ~ =~ ехР1,т ) =~ '11+т ) Здесь У, — плотность электронов, Т, — температура электронной компоненты, У,— средняя плотность заряженных частиц в плазме, р — потенциал электрического поля, обусловленный колебаниями плазмы. Малость колебаний позволила нам произвести разложение в показателе экспоненты. Далее мы представим параметры ионной компоненты плазмы с учетом малых колебаний в следующем виде: АГ )у +АГ гр -во Ге„еыв -во,р,р' и -ива Здесь У,— плотность ионов, а>,— средняя скорость ионов, потенциал электРического полЯ.
Величины Уо Ге'„~Р' пРеДставлЯют собой амплитуды колебаний для соответствующих величин, которые связаны с колебаниями ионной компоненты. Используя уравнения, связывающие параметры ионной компоненты, мы далее получим дисперсионное соотношение между частотой в и волновым вектором Й рассматриваемых колебаний. Подставим введенные соотношения для параметров плазмы в уравнение непрерывности для ионов, которое имеет вид дМ; д — '+ — (ФГЫ~Г) О.
Получим. следующее соотношение между амплитудой колебаний для параметров ионной компоненты: ыК й)увпч. (3.8а) (3.8б) Далее используем уравнение движения для ионной компоненты' Евэв М вЂ” '=еЕ= — е7<р (М вЂ” масса иона). Получим ш= Мви' ар'. Ф Ь МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПЛАЗМЕ 161 Уравнение Пуассона имеет вид е(1я Е = бер = 4пе(Ае1 й1е)' Подставляя в него представленные ранее соотношения для плотности электронов и ионов, получим с учетом пространственного распределения электрического потенциала и распределения Больцмана для плотности электронов: (3.8в) Исключая из найденной системы уравнений амплитуды колебаний для плотности и средней скорости ионов, а также потенциала электрического поля, приходим к следующему дисперсионному соотношению: Здесь гр — 7 Т,у4ЛК,Б' — радиус Дебая — Гюккеля, причем мы считаем, что температура электронов значительно превышает температуру ионов.
Рассматриваемый тип колебания, связанный с движением ионной компоненты, носит название ионного звука. В случае, если длина волны для ионного звука велика по сравнению с радиусом Дебая — Гюккеля, то полученное дисперсионное соотношение принимает внд ы =- '1' Т, ~М /г и по своей форме совпадает с дисперсионным соотношением для обычного звука. Эту аналогию нетрудно продолжить, ибо взаимодействие заряженных частиц . в плазме экранируется на расстоянии порядка радиуса Дебая — Гюккеля, н на характерных расстояниях порядка длины волны оказывается короткодействующим, как и в газе.
При этом электронная компонента влияет на характер распределения полей и поэтому скорость распространения ионного звука определяется температурой электронов. В другом предельном случае, когда длина волны колебаний ионной компоненты значительно превышает радиус Дебая — Гюккеля, колебание определяется дальнодействующим кулоновским взаимодействием ионов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
