Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В рассматриваемом случае внешняя сила 1г= ВЕес"'+ — (асЩ е Представив решение в виде тСсе'"е, получим систему уравнений для компонент скорости т (Сш + — ) сес, с ВЕ+ — сес„Н, !1 е т ~1СВ+ — ) ш = — — ш Н. т) е= е х При этом ось х направлена по электрическому полю, а ось г — по магнитному. Решение этой системы уравнений: еЕ ! ! ! -1 .+1„== — ~ —,+ ( + )1 еЕ Г! ! — 1 ш — Йес = — 1 — + с (С — шн) ') .е е Отсюда проводимость газа равна А, ). !+; 1!+(Сен — !ее)те+2/еет 1 где Х,=/!/,е*т/пс — проводимость в постоянном электрическом поле в отсутствие магнитного поля, /!/, †плотнос электронов, еэн= е ВН/те †ларморовск частота.
Из этой формулы следует, что Гл. 2. ЭАРяженные частицы В ГАзе в стационарном случае под действием магнитного поля проводимость газа уменьшается согласно формуле Х= —. ха !+<о'т" Это означает, что если частота столкновений мала, электрон движется по окружностям, что ограничивает его дрейфовую скорость. Пусть в„т)) К Будем изменить частоту электрического поля. Как видно, при ы =ыгт проводимость имеет максимум: Х = Ха/2.
Этот эффект носит название циклотронного резонанса. Электрон движется по окружности, причем частота электрического поля' совпадает с частотой вращения. Поэтому направление импульса, передаваемого от электрического поля свободному электрону, всегда совпадает с направлением движения, так что в отсутствие столкновений электрон должен был бы непрерывно увеличивать свою энергию (подобно электрону, движущемуся только в электрическом поле). Столкновения с атомами газа ограничивают энергию электрона и определяют проводимость газа. Задача 2.41.
К инертному газу добавлена присадка щелочного мегалла, которая слабо ионизуется. Определить, какое количество присадки обеспечит максимальную проводимость смеси при данном значении плотности инертного газа, температуре электрона и напряженности электрического поля при малых полях, если система находится в термодинамическом равновесии. Проводимость газа ранна 1 =У,ЕК, гле Л1,— плотность электронов, К вЂ” подвижность электронов.
При малой степени ионизации, согласно формуле Саха (2.!4), плотность электронов )т", №р', где ӄР— плотность атомов щелочного металла (присадки). Подвижность электронов при малых полях, полученная на основе формулы (2.246) для несимметричной части функции распределения (2.20), равна О причем частота столкновения 1 электронов с атомами =- п(М,о,'+У„ро„'р), где У,— плотность атомов инертного газа, о,", о,*,р — диффузйонное сечение упругого рассеяния электрона на атоме инертного газа и щелочного металла соответственно. Таким образом, проводимость Х=А)У„1,( — '". ' "',—, ~упэопР+ Л аоа З П. ПЛАЗМА ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ где А — некоторая константа. Дифференцируя это выражение по Л'„р, находим, что максимальная проводимость отвечает следующей плотности атомов присадки: Фпрппр — А1ппп) ,, Ре- и б1 = О.
(А/про„р+ Ф и ) Как следует отсюда, плотность атомов присадки Ф„,-л(,О,"!и,', . Поскольку сечение упругого рассеяния электрона на атомах инертного газа а' меньше сечения упругого рассеяния на атомах щелочного металла О'„р примерно на два порядка, то прн оптимальных условиях процентное содержание щелочного металла мало. ! Задача 2.42. Определить диэлектрическую проницаемость плазмы в т-приближении (задача 1.20).
Установим связь между диэлектрической проницаемостью и проводимостью плазмы. Проводимость плазмы Х вводится как коэффициент пропорциональности в законе Ома между компонентой плотности электрического тока ) и напряженностью электрического поля Е: —. Х„а(в, Й) е'1"™>ЕЕ. При этом зависимость напряженности электрического поля (как и плотности электрического тока) от координаты и времени определяется гармонической зависимостью (Еа не зависит от координаты и времени), индексы и и р в приведенных величинах являются компонентами х, у, г для соответствующих векторов и тензора. Будем считать по-прежнему, что электрические свойства плазмы определяются электронами, так что /= — ЕЖ,чв, где й(,— плотность электронов, чв — средняя скорость электронов.
Отсюда — ей(,ша=-Лаз(в, л) Еве'м™1. Представим теперь выражение для диэлектрической проницаемости, )1а = Еа+ 4НРа = Ваз (м, й) Еае'1А' Здесь Π— вектор диэлектрической индукции плазмы, Р— гюляризация единицы объема плазмы, которая представляет собой дипольный момент единицы объема плазмы, создаваемый под действием внешнего электрического поля. Учтем зависимость координаты отдельного электрона от времени, которая имеет вид г-=- г,+г'е 'а', где и,— не зависит от поля, а г' определяется движением электрона Во внешнем поле. Отсюда получаем для средней скорости электрона в электрическом поле ° -ы чв — -- — = — (от'е Лг гл.
а заеяжвнныв частицы в гхзв г вот (г' — вт) + в(1+в'т') ' В частности, в пределе высоких частот электрического поля оггт))! имеем з=! — во(вг. диэлектрическая проницаемость не зависит от частоты соударений, ибо средняя скорость электрона определяется частотой поля. В другом предельном случае малой частоты электрического поля ат~ ! тензор диэлектрической проницаемости имеет вид ' "7' О в(1+ ант ) г гт а (1+ огйтг) в(1+ анто) гогоантг заз (в й О) бав— в(!+айте) так что поляризация плазмы равна Р = — и к г;е '"' = — — ' тп, где сумма берется по электронам, находящимся в единице объема. Отсюда находим 4п(еУ ао (~ б ), 1„„ 6 а — — 1, если а=-р и б„а- — -О, если и ~!). Сравнивая полученные соотношения, находим связь между тен- зорами диэлектрической проницаемости и проводимости плазмы: в=й в+ — ~ а (2.41) Используем значения тензора проводимости для слабоионизован- ного газа, движущегося в переменном электрическом поле и постоянном магнитном поле, направленном вдоль оси з.
Считая, что проводимость слабоионизованного газа определяется электро- нами, и используя результаты задачи 2.38, получим для тензора диэлектрической проницаемости е з(в, й = 0) — 6 а=- вот (! — огт) 'аоант' О 1!+(вн — в') то+2!ат) в 11+(ан — вг) то+2!ат) в 'аот ан аоот (г'--ат) [!+ (вн — аг)то+2!ат) а 11+(вн — аг) тг+2гат1 в г г О О О а (1 — Йот) Здесь во=-(4пйее",т)ганг — плазменная частота, вн — -еН(тс — лар- моровская частота. При отсутствии магнитного поля иедиагональные элементы теизора диэлектрической проницаемости равны нулю, а диаго- нальные элементы равны О 4. ПЛАЗМА ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ Будем считать, что мы внесли в плазму электрическое поле малой напряженности, зависящее от координаты и времени по закону Ее'<" — 'о.
Это вызовет появление тока в плазме, который пропорционален этой величине. Вычислив коэффициент пропорциональности между плотностью тока и напряженностью электрического поля, мы определим проводимость плазмы, отвечающую рассматриваемой частоте и волновому вектору. Будем считать, как и ранее, что электрический ток в плазме определяется электронами. Зададим функцию распределения по скоростям в виде е<о>+ бее> >ее-оь>> Первый член этого разложения определяется решением ранее представленного кинетического уравнения, В следующем приближении для рассматриваемого кинетического уравнения учтем появление электрического поля.
Эго приближение имеет следующий внд: еЕ д>ьо> д>' — йо б>'+ >>ет> б>".— — — = — — . и> ди т Решая это уравнение, получим еЕ ддо> Г. . 1 ! -х б~ = — — >! оо> — >»т> — — ) и> ди т) Отсюда находим, что введение слабого электрического поля приводит к появлению электрического тока в плазме, плотность которого равна (Е ь >ее-оь>> дььо» ,т = — еб> т>! е!и = — ' д! .
4!т>, е — ~п~ 3 м — »и-!->ут где У вЂ” плотность электронов, функция распределения нормиро- ВаНа На ЕДИНИЦУ (~ >>о>>ХО=! ), В результате получаем для тензора проводимости плазмы д> о> иьь — ьь и А>,ео ~ диа ь>л .! о> — »и+!/т ' (2.42а! Задача 2.43. Связать проводимость и диэлектрическую проницаемость плазмы в отсутствие внешних полей с невозмущенной функцией распределения электронов по скоростям, используя т-приближение.
Функция распределенйя электронов по скоростям в отсутствие внешних полей в т-приближении является решением кинетического уравнения Больцмана: д~ 1 — /о -+ИЧ= — —. д> 146 гл. а ззеяжанные члстиць> в глзя Соответственно, для тензора диэлектрической проницаемости плазмы на основе соотношения (2.41) получим ддо> о Г" — „"' з„а(о>, й) = 6 а-1- — ' ) (2. 42б) где и, =- )> 4пй>,е')т — плазменная частота. В частности, в случае й О, вычисляя интеграл по частям, д>>о> — о(т> — — б,а, имеем 'Р а( А О) 6 )! м Ф1' что совпадаег с ранее полученными результатами.
Задача 2.44. Вычислить скорость диссипации энергии от внешнего источника в слабоионизованном газе, находящемся в скрещенных переменном электрическом и постоянном магнитном полях. Энергия, поглощаемая единицей объема слабоионизованного газа в единицу времени, равна >Е, где у' — плотность электрического тока в газе, возникающая под действием внешнего электрического поля напряженностью Е. В постоянном электрическом поле согласно закону Ома (==Х,Е, где Х,— проводимость слабоионизованного газа в постоянном электрическом поле.
Отсюда находим ,1Е= >)о= ХоЕ'> где джоулево тепло до=Х,Е' представляет собой энергию, поглощаемую единицей объема газа в единицу времени. В случае переменного поля представим напряженность электрического поля в виде Е(г 1) — ) Ее> >оо-оо>> + Е е-> <оо — ооо~ >> г' 2 Прн таком способе записи мы учли, что Е(», Г) является действительной величиной, а множитель' 1$' 2 введен так, чтобы величина Е в данном выражении характеризовала среднюю плотность электрической энергии в плазме таким же образом, как и напряженность постоянного электрического поля.
На основе закона Ома в рассматриваемом случае для плотности электрического тока можно записать: 1,„(», 1) -= =[Х,,а(о>, Ф) Еаео>"'-"о+Х а( — о>, — >г)Еае-Ыо'-"'>). 1 При этом из условия действительности плотности электрического тока следует, что Х„а (а>, й) — Х„'а ( — а>, — Ф) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
