Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Тогда не границе плазмы внутри нее давление равно р„а вне плазмы полное давление составляет Н'!8п. Пусть радиус столба равен Г„„так что напряженность магнитного поля, создаваемая током Л на границе столба, равна Н вЂ” 25~сг,. Приравнивая выражения для давления вне и внутри плазмы, имеем тй 2пс'ее откуда о „. Г' 2п Задача 2.48. Слабоионизованная плазма, содержащая ионы двух изотопов массой гл, и т„создается в газе, который находится в цилиндрической трубке с радиальным электрическим полем напряженностью Е и продольным магнитным полем Н (установка типа «Гомополяр»).
В пределе высокой напряженности магнитного и электрического поля определить разность токов для ионов разных изотопов в радиальном направлении. Уравнение движения для ионов первого изотопа имеет вид и, — '= ЕЕ+ — ' ~тп,Н1 — р,я),т+ Здесь е~, †средн скорость ионов первого изотопа, первые два слагаемые предстаеляют собой силу, действующую на ион со стороны электрического и магнитного поля соответственно; третье слагаемое — сила трения из-за столкновения ионов с частицами газа, р — приведенная масса иона и частицы газа. Если приведенные массы иона и частицы газа для двух изотопов ионов близки (р, = р,— р), то мало отличаются и частоты столкновений ч для иона каждого из изотопов с частицами газа.
В дальнейшем мы будем считать это условие выполненным, т. е. частота столкновения иона с частицами газа т одинакова для обоих изотопов. Последнее слагаемое в данном уравнении представляет собой центробежную силу, так что ж, †касательн компонента скорости, р †ради-вектор, проведенный от оси цилиндра в перпендикулярном к ней направлении. $4. ПЛАЗМА ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ Уравнение движения для ионов второго изотопа имеет такой же вид с точностью до замены индексов у скорости и массы иона.
Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только уравнения для иона первого изотопа, а полученный результат используем и для второго изотопа. В связи с этим для простоты записи индекс у скорости иона, характеризующий номер изотопа, будем опускать. Представленное уравнение следует решить в пределе больших полей, когда частота ларморовской прецессии для иона есн — еН/епс значительно превышает частоту столкновений иона с частицами газа т, сан Ъ ве и радиус Лармора для иона много меньше характерных размеров системы, ц'в~сан (( Р. Учитывая последнее соотношение, мы пренебрегаем зависимостью входящих в уравнение параметров от расстояния рдо оси и не включаем в уравнение действующие на ион малые силы, не зависящие от его массы (например, силу, возникающую из-за неоднородного распределения плотности ионов по радиусу). Учитывая представленные соотношения, разложим скорость иона по степеням 1(Н, представив ее в виде ш= шве'-(-цгв>+...
В нулевом приближении уравнение принимает вид ЕЕ + — ш',МН = О„ Е и его решение ц4в'= — с —. В первом приближении это уравне- ние в компонентах запишется следующим образом: ( <в>)в — — шо' — рвчэц> = О, где пФрв> — компонента скорости вдоль вектора р. Решая эту си- стему уравнений с учетом, что еН(рс>)т, получим ов втсв св, (к7')' Рв с'Е' Шс = евыв р = Гпв евыв, Подобное выражение получим для средней скорости ионов вто- рого изотопа в направлении радиуса трубки: ртсвЕв р в евНвр При таком движении ионов происходит некоторое разделение изо- топов, так что ионы более легкого изотопа распределяются ближе к центру, чем более тяжелого.
Глава 3 ВОЛНЫ В ПЛДЗМВ Дальнодействующее кулоповское взаимодействие заряженных частиц в плазме влияет не только на ее статические характеристики, но и отражается на волновых свойствах плазмы. Сами колебательные движения плазмы, зависящие от характера внешних полей н распределения плазмы в пространстве, а также распределения заряженных частиц по скоростям, весьма многообразны.
Колебания в плазме играют более заметную роль, чем роль акустических колебаний в процессах, протекающих в газе. Это обусловлено дальнодействующим взаимодействием заряженных частиц в плазме; и по этой причине многие процессы поглощения и переработки вводимой в плазму энергии, а также процессы установления равновесия, протекают через возбуждение волн в плазме. В результа|е в плазме развивается широкий спектр колебаний, в которых может быть сосредоточена значительная энергия и которые могут влиять как на процессы установления равновесия, так и на усредненные характеристики плазмы. Поэтому волны в плазме играют особо важную роль. 5 1.
Малые колебания в плазме Малые колебания в плазме отвечают случаю малой интенсивности волн, когда волновые движения не влияют на равновесные свойства плазмы. Тогда волны в плазме могут быть рассмотрены как возмущения, накладываемые на равновесные свойства плазмы, и при определении равновесных характеристик в плазме наличием волн можно пренебречь. По этой же причине взаимодействием волн с разной длиной волны также можно пренебречь. В соответствии с этим каждая характеристика плазмы при исследовании волн может быть представлена в виде А =А,+А,еы"'- о где А,— данная величина в отсутствие колебаний, А,— амплитуда колебаний, й — волновой вектор рассматриваемой волны, связанный с длиной волны соотношением Й=-2п~Х, а — частота волны.
В этом приближении наша задача состоит в установлении соотношения между частотой колебаний м и волновым вектором Ф. Такое соотношение носит название дисперсионного соотношения. Сам подход, в котором пренебрегается влиянием колебаний на свойства плазмы и взаимодействием между отдельными волнами, называется линейной теорией колебаний. $!. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПЛАЗМЕ Задача 3.1. Получить дисперснонное соотношение для звука, распространяющегося в неподвижном газе.
Воспользуемся для этой цели уравнением непрерывности (1.16) и уравнением Эйлера (1.18): дМ д д»,» 1 дР)» — -1- — П1п, ...= О, — '» -1- —. — ' = О, д1 дх» О» — дГ М Ъ д у — . Здесь о,— скорость направленного движения газа, п( — плот- ность газа, М вЂ” масса отдельной частицы газа, Рл» вЂ” тензор давлений, который, согласно формуле (1.17) для неподвижного газа, находящегося в термодинамическом равновесии, равен Р- —.
МЛ' <о,о»> = рб»», где р — давление газа. Учитывая малость амплитуды колебаний, представим пара- метры неподвижного газа в виде )у =- й1, + )(1'е~ 1»г о па = а' е' 1»" "о р = р» + р' е~ 1» -»» 1 Здесь й1„ р„ †плотнос и давление газа в отсутствие колеба- ний, величины )у', р' и о' отвечают отклонению от равновесия. Подставляя этн соотношения в уравнения (3.1), получим сле- дующую систему уравнений: — изИ'+ Й7»'„о' — — О, — йао'+ — нйр' —.= О. Отсюда получаем дисперсионное соотношение »» Р' ы» А1 М'' Связь между величинами р' и Л' найдем из закона адиабатического изменения параметров газа в процессе распространения звука рп1-т - сопз(, где у = с иск и с, с„— теплоемкость газа при постоянном давлении и объеме, соответственно.
Это дает р'/р,: уй ')п1,. Далее, воспользовавшись уравнением состояния идеального газа р, = И„Т (Т вЂ” температура газа), приводим дисперсионное соотношение к виду „= Ц/уТ)М. (3.2) Как видно, скорость звука в газе ~/ уТ7М оказывается порядка тепловой скорости частиц. ! Задача 3.2. Определить частоту колебаний электронной компоненты квазинейтральной плазмы в случае бесконечной длины волны. Наряду с рассмотренными в предыдущих задачах типами волн, которые распространяются в различных средах, в плазме возникают специфические колебания.
Один из таких типов колебаний, который связан с движением электронов, мы рассмотрим в данной задаче. Физика этого типа колебаний состоит в следующем Если сместить все электроны в некоторой области Гл. э. Волны В плазме пространства, то в плазме возникают электрические поля, которые возвращают электроны к их равновесному распределению. Колебания электронов под действием этих полей и приводят к появлению плазменных колебаний. В отличие от электромагнитных волн, плазменные колебания, как и звук, относятся к продольным волнам, ибо направление, в котором происходят колебания напряженности электрического поля, совпадают с направлением распространения волны.
Данное условие задачи соответствует тому, что, начиная с некоторой плоскости х=-О, мы сдвинули все электроны плазмы бесконечных размеров влево на расстояние Ьх. Тогда вблизи плоскости х = 0 образовался положительно заряженный слой плазмы шириной Лх, а иа бесконечности — слой отрицательно заряженной плазмы той же толщины. Под действием этих слоев в плазме возникает электрическое поле, которое влияет на заряженные частицы и стремится их сдвинуть так, чтобы ликвидировать слои с избыточным зарядом, т.
е. возникают колебания плазмы. Мы рассмотрим тот тип колебаний, который определяется движением электронной компоненты, а ионы не успевают за электронами и поэтому не участвуют в рассматриваемом типе колебаний. При нахождении частоты колебаний мы воспользуемся системой координат, в которой плазма, находящаяся слева от границы раздела (х < 0), покоится. Уравнение движения для электронов, находящихся справа от границы раздела, имеет вид у и — „, (х+Лх) = — тйх= — еЕ, Ж2 где х — координата электрона, е, т — его заряд и масса, Е— напряженность электрического поля, возникающего под действием слоев с избыточным зарядом.
Добавим сюда уравнение Пуассона ее ( 4пУ,е, 0(х(йх, ех ( О, Лх<х, здесь Ж,— равновесная плотность заряженных частиц в плазме. Поскольку в рассматриваемой системе координат при х < 0 направленное движение отсутствует, то при х < 0 имеем Е = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
