Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Частота возбуждения атомов равна т„„. (о) Л'воо„,б (о), где Мв — плотность атомов в основном состоянии, частота снятия возбУждениЯ т,у,„(о) — Л1,оо,ув, (о), 111, — плотность возбУДтдениых атомов. Свяжем сечения возбуждения (о„,б) и тушения возбуждения (а, ) атомов электронным ударом, используя принцип деу(ального равновесия, который приводит к соотношению (П.2.9) между сечениями прямого и обратного переходов, На основе этого получим связь между функциями распределения для медленных и быстрых электронов: 111в ) () .А'в ( ( ~/ в 2"АЕ) ~ ~/ 2ДД гл.
ь зхгяженные частицы в глзгр с ъ„имеет вид д(р еЕ д + — "'"' д —" (1) дрР)» д/', »Е д(р — + — соз М вЂ”,' д» та да (2.30) (,(о, 1)=,,'» 1, „(о)е'"'р', (,(о, 1)==~я'.,~, „е' "'. Прп этом система уравнений (2.30) примет вид дгз (д , е~' д(1,, „+1,„. ) В соответствии с проведенным анализом, в этой системе уравнений можно ограничиться элементом 1, „для сферически симметричной части функции распределения и элементами ), „Г", для несимметричной части. Остальные члены разложения по порядку Решение этой системы уравнений при произвольном соотношении между входящими в нее параметрами затруднительно.
Мы рассмотрим два предельных случая в зависимости от соотношения между частотой электромагнитного поля а» и частотой изменения энергии электрона 1/т (1„(1,) ~„(т). Если частота электромагнитного поля мала, о»т< 1, то членами дед(, дГ,)дг в системе уравнений (2.30) можно пренебречь по сравнению с членами !„()р) и р» ), соответственно. При этих условиях система уравнений для (, и 1, имеет тот же вид, что и в стационарном случае. Поэтому функция распределения электронов по скоростям дается выражениями (2.24), причем в этих выражениях следует заменить Е иа Е сова»г. Практический интерес представляет другой предельный случай, когда ыт>) 1.
Поскольку 1гт — частота обмена энергией между электроном и атомами, то в этом случае энергия, передаваемая от электрона атомам за один период, составляет малую долю энергии электронов. Поэтому энергия электронов в течение периода колебаний изменяется только за счет взаимодействия с электромагнитным полем. Так как эта энергия вкладывается и забирается у электронов, соответствующих несимметричной части функции распределения 1„то сферически симметричная часть функции распределения 1, не зависит от времени. Используем приведенные соображения для решения системы уравнений (2,30) при ыт)) 1. Разложим функцию распределения электронов в ряд Фурье: $3.
дВижение электРОИОВ В Газе ВО Внешнем поле 127 величины будут связаны с этими членами соотношениями 1о, о (<оо о т )~о — ооо (') (2Ю" П ~(2т.г1)оооо-( т-„'("' и ! (, о+тт)"" Ро е нь .ц (оо )о ("')" Ц 1( -(О'»'-,,'1"' оо = 1 ОгРаничившнсь членами РазложениЯ 1,, === („~ь, ~,, фУнкдии распределения, приводим систему уравнении (2.30) к виду (й.+ „)~,,,+,'~ — "„~':О, (2.31) ( — йо+тт)(о, +Š— ~ - О, еЕ Р'(о что дает уравнение для 1,: Решение этого уравнения в частном случае, когда о'о,(4) определяется упругим соударением электрона с атомами газа, имеет вид 1,(о) = Сехр ( — ~ ~ Т+ ' ', ~ попо(о 1, (2.32а) 6то (ооо -, 'тт) где С вЂ” константа нормировки.
Несимметричная часть функции распределения в этом частном случае имеет вид ~, (о, 1)=: — ', (т созш(+ыз(по)1) ~" . (2.32б) т (ооо+тт) о Задача 2.32. Найти температуру электронов для слабоионизованной плазмы, находящейся В поле сверхвысокой частоты. Плотность электронов велика, так что обмен энергией между электронами происходит гораздо интенсивнее, чем между электронами и атомами, частота электромагнитного поля ы велика по сравнению с частотой обмена энергией между отдельным электроном я атомами.
Чтобы учесть столкновения между электронами, мы должны ввести в первое из уравнений системы (2.31) интеграл электрон- электронных столкновений. При этом два других уравнения системы (2.31) остаются без изменения. Так как измене~не энер- гл. з зхияжвниыв частицы в глав гни электрона в результате столкновения с электронами происходит интенсивнее, чем при соударении с атомами, то первое из уравнений системы (2.31), как и в задаче 2.22, дает, что интеграл электрон-электронных столкновений равен нулю. Это приводит к максвелловской функции распределения электронов по энергиям (см. задачу 2.22). Второе и третье уравнения системы (2.31) сохраняются, так что о=тается в силе и выражение (2.32б). Оио дает возможность определить дрейфовую скорость электронов пу: еЕ / (уу соз чу/+ мужья)~ "' ')= зт,("' Здесь Т, — температура электронов, усреднение по скоростям, которое мы обозначили ( >, проводится с максвелловской функцией распределения электронов.
Остальные обозначения те же, что и в предыдущей задаче. Напишем уравнение баланса энергии для отдельного электрона. Кинетическое уравнение для электрона, которое имеет вид д/ еЕ д/' — + — соз ьу/ — =! + 1 д/ м ее еа умножим на кинетическую энергию электрона упп'/2, проинтегрируем по скоростям электронов и усредним по времени. Так как, улуу согласно соотношению (1.15), ~ /„— йу= О, то получим ее — „, ( — "л / + еЕге соз = ы/ ~ — ' Е,.
Нэу. Здесь черта сверху означает усреднение по времени. Первый член в левой части соотношения, являющийся средним изменением средней энергии электро~а в единицу времени, по определению этой величины равен нулю. Используя выражение для дрейфовой скорости электрона и значения средних величин соя'М вЂ” 1/2, совы/з1пга1 — О, найдем выражение для второго слагаемого, которое характеризует собой среднюю энергию, получаемую от поля отдельным электроном в единицу времени: (еЕ1~ у ч у тУ еЕш соз ы/ = — ~ Вге ОР+ь~ у Величина, стоящая в левой части уравнения баланса энергии, которая представляет собой энергию, отдаваемую отдельным электроном газу в результате упругих соударений этого электрона с атомами газа, была вычислена в задаче 2.22.
Если воспользоваться полученным там значением, то это приведет к следующему выражению для раз~ости электронной (Т,) и атомной (Т) $3 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ГАЗЕ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ температур оее+тт~ В случае малых частот электромагнитного поля (ш1т„ф1) эта формула совпадает с результатом задачи 2.22, если в полученных в указанной задаче выражениях напряженность электрпческого поля Е заменить ее эффективным значением Е/)е 2. Прн больших частотах электромагнитного поля (ьз1Т )) 1) разность между электронной температурой и атомной не зависит от частоты соударений электрона с атомами и равна т,— т= — 1 ) . Задача 2.33.
Получить выражение для интеграла столкновений электронов друг с другом (интеграл столкновений Ландау). Существенное упрощение задачи в данном случае связано с тем, что основной вклад в диффузионное сечение столкновения двух электронов, находящихся в идеальной плазме, вносят прицельные параметры соударения, приводящие к рассеянию на малые углы.
Поэтому импульс электрона р за одно столкновение мало меняется по сравнению с его величиной н интеграл электрон- электронных столкновений 1„ может быть представлен как правая часть уравнения непрерывности 1„= — д11др. Однако, в отличие от уравнения Фоккера — Планка (1.67), величина 1' является теперь квадратичной функцией относительно функпни распределения электронов по скоростям. Представим интеграл межэлектронных столкновений в виде 1ее ~[Р (Р) Р(Р ) Г (Р+А) Ге(Р +А )3Х х%'(р+ —, р'+ —, А, А') Ыр'дА.
(2.33) Здесь А, А' — изменение импульсов первого и второго электронов при столкновении, %'(р+ —, р + —, А, А ) — вероятность А е А' е столкновения электронов, обладающих импульсами р, р' с переходом в состояние с импульсами р+А, р'+ А, приходящаяся на единицу времени и единицу объема, так что йгдА= = ~ Π— О' ~ сЬ, где О, О' — скорости электронов, ~Ь вЂ” дифференциальное сечение нх столкновения, приводящее к изменению импульса на величину А.
Мы представим вероятность ЯГ зависящей от полусуммы и разности импульсов данного электрона до и после столкновения. Это дает возможность наилучшим Образом учесть свойства симметрии вероятности %7, ибо эта величина |зо гл. к заряженные частицы в газе одинакова для прямых и обратных процессов. Отсюда [ йу (р+ а, р'+ л, А, А'~ = йу (р+ д, р + з, А, А ) ~ следует, что вероятность йà — четная функция А.
Из закона сохранения импульсов: А= — А'. Разложим подынтегральное выражение в (2.33), учитывая, что изменение импульса при столкновении электронов мало, так что )А)(<)р(. Члены нулевого порядка по А сокращаются. Члены первого порядка дают ~ г(р' ЫАЯ7 (г' — А, +) —, А;) . др1 ' др~ Здесь ) = —:- )" (р), (' =я ~(р'), рп р„— соответствующая компонента вектора, по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Поскольку %' — четная функция А и А, данный интеграл по пЛ равен нулю. Во втором приближении по А получим р ')А~(р"" р " +АА.
д) "~+АА~ "' ')+ 2 дробаря ' " дрь др; др',.др~ / + — ~А,. — +А; —,'~ ~А, — Г+Ае,' ))1. 2( ' др~ д, '!~ ьдрь Проинтегрируем ряд из этих членов по частям: — ( йр' г(АА А;К вЂ”, — + — ( Нр' г(АА;А )' —, =-' ~ (р (АА,А; —" — д,(тГ) =-О 2 ~ ар''(АА'Аа~йг,' ', + 2 ') ар ')АА'А дрсдри ' .! ' др~ дрь = —,1 дФпАА~Ы вЂ”,(% —,) =К др; др~ поскольку при р — оо ((р ) = †, = О. Используя это, получим Р 4' др' + дат д) ~+ А дУР др ь др;др~ ' " др; др~ = — — ( 4р'г(А) А;А,И' — ~'+А;Аз%7 —,1 —— ' ~ а~ (А )Р А,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
